江苏省射阳中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知点，则直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列，则45是该数列中第（ ）项
A. B. C. D.
3. 已知集合，，则的非空真子集的个数为（ ）
A. 16B. 15C. 14D. 6
4. 已知复平面内，复数对应的点满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，均为单位向量，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
7. 已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 若数列的通项公式为，则（ ）
A. 该数列仅有6个正数项B. 该数列有无限多个负数项
C. 该数列的最大项就是函数的最大值D. 是该数列中的一项.
10. 走路是“最简单、最优良锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 这一星期内甲的日步数的中位数为11600
B. 这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差
C. 这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D. 这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030
11. 函数在区间的图象如下图，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数最小正周期为B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于对称D. 函数在单调递减
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知直线，若，则实数______.
13. 已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是______.
14. 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 求下列各曲线的标准方程
（1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程．
（2）已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程．
16. 在等差数列中，的前项的和为．
（1）求数列通项公式；
（2）求取最大值时的值；
（3）设，求．
17. 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.
18. 已知数列满足，且．
（1）求，，；
（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）已知数列满足，其前项和，求
19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
（2）设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.