福建省三明第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试题（原卷版）

这是一份福建省三明第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ）

A. B. C. D.
2. 若构成空间一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量
B. 若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直
C. 是任意一个平面的一个法向量
D. 一个平面的法向量是不唯一的
4. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ）

A 1B. 2C. 4D. 8
7. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）.
A. B. 1C. D.
8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ）

A.
B. 当时，
C. 若，，则
D. 平行六面体的体积
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则，使得D. 若，则
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则向量，夹角是锐角
B. 空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
11. 在四面体中，已知，，则（ ）
A. 直线AC与DB所成的角为
B. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为
C. 平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为
D. 若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知向量，，且，则________．
13. 已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________.
14. 正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
16. 已知空间三点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若，，求．
17. 如图，在平行六面体中，，.

（1）求体对角线的长度；
（2）求证：四边形为正方形.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，.
（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
（1）证明：向量是平面的法向量；
（2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.