四川省成都市第七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市第七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上，试卷作答无效）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定义可求得集合.
因为集合，，则.
故选：D.
2. 已知，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式的性质求解．
因为，所以，又，所以
所以．
故选：B．
3. 对于实数x，“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个不等式解集的包含关系，判定结论.
不等式的解集，不等式的解集，
由，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 下列命题中真命题的个数是（）
①命题“，”的否定为“，”；
②“”是“”的充要条件；
③集合，表示同一集合．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题．
①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确；
②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件，错误；
③集合，不是同一集合．错误，
正确的命题只有一个．
故选：B.
5. 已知实数满足，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程有解，可得判别式大于等于零可求解.
由题意知，关于x的一元二次方程有解，则，
即，解得或.
所以的取值范围是.
故选：C.
6. 已知正实数满足.则的最小值为（）
A. 3B. 9C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
a，b均为正实数，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
7. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围，
由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，，
则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
8. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
不等式可化为，分，两种情况讨论即可.
不等式可化为（*）．
当时，（*）式即．
即．
又（当时取等号）
（当时取等号）．
所以，
当时，（*）式为，．
又（当时取等号），
（当时取等号），所以．
综上，．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式求最值，是一道有一定难度的题.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误.
对于A，，
，，，
，即，A正确；
对于B，，
，，，
，即，B正确；
对于C，当，，，时，，C错误；
对于D，当，，，时，，D错误.
故选：AB.
10. 下列说法不正确的是（）
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 集合，若，则实数的取值集合为
C. 集合，，若，则的值为0或4
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，写出命题的否定即可；对于B，当时即可排除；对于C，根据,则，再分类讨论即可；对于D，根据,则,然后根据子集公式计算即可.
对于A，命题“，都有”的否定是“，都有”，故A错误；
对于B，因为,
所以，
因为，
所以当时，，
当时，或，解得或，
综上，实数的取值集合为，故B错误；
对于C，因为,所以，
因为，
当时，即或，
若时，成立，
若时，不成立，
当时，成立，
综上，的值为或，故C正确；
对于D，因为,所以,
因为,即集合的子集个数为。
所以集合的个数为，故D正确.
故选：AB.
11. 已知，均为正实数，且，则（）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
分析】对A，利用基本不等式即可解得；
对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；
对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；
对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.
因为，均为正实数，且，
对A, ，当且仅当时取“=”，正确；
对B，，当且仅当时取“=”，错误；
对C，
，当且仅当时取“=”，正确；
对D，
，设，
则上式，
当且仅当时取“=”，正确；
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请将正确答案写往答题卡上，试卷作答无效）
12. 设集合满足，则满足条件的所有的数目为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】列出所有满足条件的集合的情况，即可得问题的答案.
由题意知中必含有2和4，1和3可以选也可不选，则满足条件的所有的情况如下：
，，，.
所以满足条件的所有的数目为.
故答案为：4
13. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数可得在区间上有解，转化为求函数的最小值即可求.
,
不等式，即在区间上有解.
设，，
则，
令，
设，,
，则在区间上单调递增，
故，即.
故要使在区间上有解，则.
即实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可.
若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴递减，在递增，
，对称轴，
①即时，0,1递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，，所以，故；
③即时，在[0，1]递减，，
所以，解得，综上.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.
四、解答题（共77分，请将解答过程写在答题卡对应的位置）
15. 已知集合．
（1）若，求集合和；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），，;
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入化简集合，再求，，即可；
（2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案.
【小问1】
解：当时，
，，
，
，;
【小问2】
∵，∴，
∴或，
即或，
故实数的取值范围为．
16. 解下列不等式：
（1）
（2）解关于的不等式
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】化分式不等式为整式不等式进而结合一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1】
原不等式可化为，即，
所以，等价于，
解得，
所以原不等式的解集为.
【小问2】
，
不等式等价于，
若，则，解得，
若，解得，
若的两根为，
若，即时，解得或，
若，即时，，解得，
若，即时，解得或；
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
17. 关于方程
（1）若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围；
（2）若方程至少有一个非负实根，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可；
（2）分方程有两非负实根，有一负实根和一零根，有一正一负实根，三种情况结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可.
【小问1】
若方程一个根在内，另一个根在内，
令，
则，解得，
即的取值范围是.
【小问2】
①若方程有两非负实根，则，解得；
②若方程有一负实根，一零根，则，，无解；
③若方程有一正一负实根，则，解得.
综上所述，的取值范围为.
18. 已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知
（1）求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式：
（2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）；
（2）当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
【解析】
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；
（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解.
【小问1】
由题得利润等于收入减去成本.
当时，；
当时，.
【小问2】
当时，时，；
当时，，
当且仅当，即时，，
时，的最大值为6104万元，
即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
19. 关于的方程
（1）若方程无实根，求的取值范围；
（2）若方程有4个不等实根，求的取值范围；
（3）若，且满足试判断方程根的个数.
【答案】（1）
（2）答案见解析（3）6个实根.
【解析】
【分析】（1）令，则，若原方程无实根，则无实根或实根均小于零，分情况讨论即可；
（2）根据函数的图象，可知或时，时，时一个值对应不同的值的个数，分情况求解即可；
（3）根据已知条件结合基本不等式可得，即可求解
【小问1】
令，则，
原方程转化为（*），
原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零，
令，
①若（*）式无实根，则，
解得，
②两根均为负，则，
解得，
综合①②，可知的取值范围是；
【小问2】
作函数的图象，
可知或时，每一个值对应2个不同的值，
时一个值对应3个不同的值，
时一个值对应4个不同的值，
要使原方程有四个不等实根，
①（*）式一根为零，另一根大于，无解；
②（*）有两不等根且两根均大于，则，解得；
④（*）式有有1实根在0,1之间，另一根小于零则；
解得；
综上所述，取值范围为；
【小问3】
因为，
所以，
因为为正实数，所以，
可得，即，
所以，即，
当且仅当即，时等号成立，
故，此时有，
故（*）式有两不等实根且一根在0,1之间，另一根大于1，
故原方程有6个实根.
【点睛】关键点点睛：根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.