2022-2023学年四川省成都市第七中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市第七中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，若，则的取值范围为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a的范围判断作答.

【详解】集合，，因，

于是得，因此有，

所以的取值范围是.

故选：A

2．命题“，使”的否定是

A．，使 B．，使

C．，使 D．，使

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.

【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,

故选C.

【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.

3．函数的定义域是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由分式及对数成立的条件可得，解不等式可求答案．

【详解】由题意可得，

解不等式可得，﹣1＜x≤1

∴函数的定义域为（﹣1，1]

故选C.

【点睛】本题考查了含有对数与分式的函数的定义域的求解，是基础题．

4．已知，则的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.

详解：由指数函数的性质可知：，，，

且，，据此可知：，

综上可得：.

本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

5．设函数，用二分法求的一个近似解时，第步确定了一个区间为，到第步时，求得的近似解所在的区间应该是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二分法可得出结果.

【详解】，，，第步所得零点所在区间为；

取区间的中点，，

因此，第步求得的近似解所在的区间应该是.

故选：C.

【点睛】本题考查利用二分法求方程近似解所在区间，解题的关键就是要熟悉二分法求解函数零点所在区间的基本步骤，考查计算能力，属于基础题.

6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与且在同一坐标系中的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据参数对于指数函数与对数函数图象的影响，逐项检验，可得答案.

【详解】对于A，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故A错误；

对于B，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递增，故B错误；

对于C，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故C正确；

对于D，由指数函数的图象，可得，则，即函数在上单调递减，故D错误；

故选：C.

7．已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性以及单调性整理不等式，可得答案.

【详解】由偶函数的图象经过点，即，则，且，

由当时，不等式恒成立，即，，则函数在上单调递减，

故，，，，，或，解得，

故选：B.

8．设，其中．若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则的取值范围为

A．R B． C． D．

【答案】D

【详解】设，，

因为设，对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，

∴函数必须为连续函数，即在x=0时，两段的函数值相等，

∴(3−a)2=a2−k，即−6a+9+k=0，即k=6a−9，

且函数在y轴两侧必须是单调的，

由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即，

且两个函数的图象在轴上交于同一点，即，，

所以，在上有解，从而，故答案为D.

【解析】二次函数的图象和性质.

二、多选题

9．已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】由正数，，结合基本不等式依次判断选项，即可得结果.

【详解】对于A， ，当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，，，当且仅当时，等号成立，故D错误；

故选：ABC

10．关于的方程有两个大于的实数根的充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由一元二次方程根的分布列式求解，再由充分条件的概念判断，

【详解】设，若的方程有两个大于的实数根，

由，解得，

故，满足题意，

故选：AB

11．已知函数的两个零点分别为，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案.

【详解】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：

则，，即，，故D错误；

由图可知，且，，则，

由，，则，即，可得，即，

故A、C正确，B错误.

故选：AC.

12．已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.

【详解】由于，

，，，，

即函数的定义域为

当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故C正确；

当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故D正确；

即当时，函数的值域也为，故，故B正确；

当时，函数值，故A错误；

故选：BCD

【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.

三、填空题

13．已知_____________．

【答案】

【分析】令，求出后可求的值.

【详解】令,则,所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查复合函数中外函数的函数值，可用整体思想来处理即令，求出的值可得，本题属于基础题.

14．给出下列结论：

①函数为偶函数；

②的值域是；

③已知幂函数的图像经过点，则的值为2；

④函数的图象过定点；

其中正确的序号是___________.

【答案】①③④

【分析】对于①，根据偶函数的定义，可得答案；对于②，根据二次函数的性质，可得答案；

对于③，利用待定系数法求函数解析式，可得答案；对于④，根据指数函数性质，可得答案.

【详解】对于①，由函数，易知其定义域为，且，则函数为偶函数，故①正确；

对于②，由函数，易知该函数为开口向上且对称轴为轴的二次函数，

则在上单调递减，在上单调递增，即在上，，，

故函数在上的值域为，故②错误；

对于③，由幂函数定义，可设，由函数经过，则，解得，

即，，故③正确；

对于④，由函数，则，故④正确.

故答案为：①③④.

15．已知函数，则该函数的单调递增区间为___________.

【答案】或者填

【分析】求出函数的定义域，根据幂函数、对数函数、二次函数的单调性，结合复合函数的单调性即可求解．

【详解】，

解得，

故函数f(x)的定义域为．

在时单调递增；在时单调递减；在时单调递增，在时单调递减，

故根据复合函数的单调性可知f(x)在上单调递增．

故答案为：

16．若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是_________.

【答案】

【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求.

【详解】令

I.当时，函数显然单调递增，

所以，，

由题意可得，

这与矛盾，故舍去；

II，当时， 在单调递减，单调递增，

①.当时，即，所以，

 由题意可得，

这与矛盾（舍去）.

②．当时，即，

所以，

，

由题意得，

a.当时，此时，

所以

，故，

而 ，故，

b.当时，此时，所以

，

故，

而，

故.

③．当时，即，

所以，，

由题意可得，

这与矛盾，

综上所述：.

故答案为：

【点睛】本题考查了对勾函数的单调性、利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算法则，可得答案；

（2）根据对数运算法则，可得答案.

【详解】（1）原式；

（2）原式.

18．函数.

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)判断并证明函数在定义域上的单调性.

【答案】(1)为奇函数，证明见解析；

(2)在上为减函数，证明见解析.

【分析】（1）由奇偶函数的定义即可证明；

（2）由函数单调性的定义即可证明.

【详解】（1）为奇函数，

，定义域为，关于原点对称，

又，

所以函数为奇函数.

（2）在上为减函数，，

任取且，

则

，

即.

因此，函数在上为减函数.

19．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动".为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的.

(1)求函数的关系式；

(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几小时？（参考：）

【答案】(1)

(2)至少需过滤30小时

【分析】（1）根据题意，利用函数模型，建立方程，求得答案；

（2）由题意，建立不等式，根据对数运算，可得答案.

【详解】（1）根据题意，得，解得.

（2）由，得，两边取以10为底的对数，并整理，

得，又，即.

因此，至少需过滤30小时.

20．已知函数,

（Ⅰ） 若函数在上有最大值，求实数的值;

（Ⅱ） 若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【分析】（Ⅰ）由题，，令，转化为关于的二次函数求参数范围

（Ⅱ）由（Ⅰ），令，因为函数在上有且只有一个零点，所以的图像在上与轴只有一个交点，进而得到答案．

【详解】（Ⅰ）由题，因为

所以令，对称轴为

当时， 解得（舍）

当时，，解得

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ），令，对称轴为

因为函数在上有且只有一个零点，

所以的图像在上与轴只有一个交点

所以 ，解得

或者即，整理解得

当时，与轴有两个交点，故舍

综上或

【点睛】本题考查函数的综合应用，解题的关键是得出，函数有一个零点即函数图像轴只有一个交点，属于一般题．

21．已知函数是偶函数.

(1)求的值；

(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由偶函数的定义即可求得；

（2）分离常数，利用单调性求的范围即可.

【详解】（1）因为函数是偶函数、

则满足，

所以

即，

所以，解得.

（2）由（1）可知，，

对于任意恒成立，代入可得，

所以对于任意恒成立，

令，

因为，所以由对数函数的图像与性质可得，

所以.

22．已知函数，其中为实数．

（Ⅰ）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（ 且 ）使得，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；（Ⅲ）见解析

【分析】（Ⅰ）由题可知

当时，，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值；

（Ⅱ）因为在上为增函数，分，，三种情况讨论即可

（Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数，所以 ，令，分，两种情况具体讨论即可．

【详解】解：

(Ⅰ) 当时，

所以当时有最小值为 ；

当时，由得，

所以当时，函数的最小值为

（Ⅱ）因为在上为增函数，

若，则在上为增函数，符合题意；

若，不合题意；

若，则，从而

综上，实数的取值范围为或．

（Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数，

所以 ，令

1、若 ，则，由 知且

所以

令 ，则 在 ，上为增函数，

在，上为减函数

(1)当时，且 ,

则 在 ，上为增函数，在，上为减函数

从而当且

所以 或

(2)当时，且 ,

则 在 ，上为增函数，在上为减函数

从而当且

所以 或

(3)当时，且 , 则 在 ，上为增函数，

从而当且

所以 或

2、若 ，则，且

因为

综上所述，

当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为．

【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目．