四川省成都市第七中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 化为弧度是， 不等式的解集是， 已知函数，则， 已知，，则， 已知，则的大小关系为， 某市一天内的气温， 若定义在上的函数同时满足， 下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。

1. 化为弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可
【详解】（弧度）．
故选：A
2. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．
【详解】解：不等式，可化为，解得，
即不等式的解集为．
故选：C．
3. 已知函数，则（ ）
A. －7B. －5C. －3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】按题意取值即可
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，利用同角公式计算得解.
【详解】由，得，而，
所以.
故选：D
5. 已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（ ）
A. 2个B. 3个
C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.
【详解】由数表可知，.
则，，，
又函数的图象是连续不断的，
由零点存在性定理可知，函数分别在上至少各一个零点，
因此在区间上的零点至少有3个．
故选：B.
6. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.
【详解】由题意，，
所以的大小关系为.
故选：D.
7. 某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象确定的变化趋势，确定正确选项．
【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，
从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，
是常数，该常数为2，只有D满足，
故选：D．
8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，故在上单调递减，并得到在上为偶函数，分和两种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】不妨设，，
故，
令，故在上单调递减，
其中定义域，
又在上为奇函数，
故，
所以在上为偶函数，
当，即时，
，
即，，
故，
又，故，
解得或，
与求交集得到空集；
当即时，
，
即，，
故，
又，故，解得或，
与取交集得.
故选：B
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 命题p：，，则命题p的否定是，
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”是真命题
D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.
【详解】命题p的否定是，，故A正确；
不能推出，例如，但；
也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
当时，，故C错误；
关于x的方程有一正一负根，
所以“”是“关于x方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角的终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【解析】
【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为且为第二象限角，
故是第二象限角，A错；
对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，
因此，该扇形面积为，B对；
对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对；
对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错.
故选：BC.
11. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（ ）
①由图1和图2面积相等得；
②由可得；
③由可得；
④由可得.
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案.
【详解】对于①：由图1和图2面积相等得，所以，故①正确；
对于②：因为，所以，所以，
设图3中内接正方形边长为t，根据三角形相似可得，解得，
所以，
因为，所以，整理可得，故②正确；
对于③：因为为斜边的中点，所以，
因为，所以，整理得，故③正确；
对于④：因为，所以，整理得：，故④正确；
故选：ABCD
【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得的表达式，根据图形及题意，得到的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数的图象关于直线x＝1对称
C. 存在实数a，使得函数有三个不同的零点
D. 存在实数a，使得关于x的不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】对函数变形，并分析函数的性质，再判断选项ABC，利用函数性质解不等式判断D作答.
【详解】，函数的定义域为R，
对于A，当时，，而，在上都单调递增，
因此函数在上单调递增，A错误；
对于B，因为，因此函数的图象关于直线x＝1对称，B正确；
对于C，对任意实数a，由选项A知，函数在上单调递增，则函数在上最多一个零点，
由对称性知，函数在上最多一个零点，因此函数在R上最多两个零点，C错误；
对于D，当时，，而，
由对称性及选项A知，在上单调递减，当时，得，
当时，得，即的解集为，
所以存在实数a，使得关于x的不等式的解集为，D正确.
故选：BD
【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.
第II卷（非选择题）
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 计算：______.
【答案】##-0.25
【解析】
【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.
【详解】由题意
.
故答案为：.
14. 已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据定义域求出的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.
【详解】因为函数的定义域是，
所以为的两个根，
所以则，
即，
令，则在单调递减，
令，
则为开口向下，对称轴为的抛物线，且，
所以时，单调递增；时，单调递减；
因为，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
15. 已知，分别是关于的方程，的根，则________
【答案】2023
【解析】
【分析】令，画出函数的图象，由图象的对称性即可得出答案.
【详解】由已知条件有，，
令，画出函数的图象，
曲线和关于直线对称，曲线关于，
设曲线分别与交于点，
则点关于直线对称，
而点关于直线对称点为，即为点，
则，所以.
故答案为：2023.
16. 已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定内的最大值为，从而可得，再分离参变量即可求实数a的取值范围.
【详解】取则有，所以，
取则有，
所以为奇函数，
任意则，
因为，
所以，
令，
则有，
即，
所以在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，
令，所以，
所以，
因为对任意，恒成立，
所以对任意恒成立，
分离变量可得，
因为函数对任意恒成立，
所以，
所以解得，
故答案为:.
四．解答题：本题共6小题.17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设为实数，，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】17. ，或
18.
【解析】
【分析】（1）先求出集合，由交集、并集和补集的定义求解即可；
（2）由交集的定义求解即可.
【小问1详解】
由可得：，则，
所以，
当时，，
所以，
或.
【小问2详解】
易知恒成立，即
或
解得或
所以.
18. 已知点在角的终边上，且．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.
（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.
【小问1详解】
由三角函数的定义知：，则，
于是解得，得.
【小问2详解】
已知终边过点得，
于是有.
19. 杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？
【答案】（1）
（2）在时，运动员体力有最小值5200kJ
【解析】
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【小问1详解】
由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
【小问2详解】
①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有；
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值5200kJ．
20. 我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
（1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；
（2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．
【答案】（1）证明见解析
（2）为减函数，答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题，证明为奇函数即可；
（2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知
，后分类讨论的值解不等式即可.
【小问1详解】
证明：由题意，只需证明为奇函数，
又，
易知函数定义域为.，所以为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形．
【小问2详解】
易知为增函数，且，对任意的恒成立，
所以为减函数. 又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即，
所以原不等式等价于，
所以，即，
由解得，
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为或．
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.
本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.
21. 定义：对于函数，当时，值域为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒值映射区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.
【答案】21.
22.
23. 和
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求得在上的解析式，结合，从而求解函数的解析式；
（2）根据函数在上的单调性建立方程组求解即可；
（3）根据区间定义知，分和讨论，分析函数的单调性，建立方程组求解即可.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，则，
当时，则，
又是奇函数，则，
所以.
【小问2详解】
设，函数，
因为在上递减，且在上的值域为，
所以，解得，
所以函数在内的“倒值映射区间”为.
【小问3详解】
因为在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，所以，则，
只考虑或，
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，
则，由（2）知，此时的“倒值映射区间”为；
②当时，可知因为函数在上单调递减，上单调递增，
故当时，，则，所以，，
当在上递减，
且在上的值域为，所以，解得，
所以的“倒值映射区间”为；
综上，函数在定义域内的“倒值映射区间”为和.
22. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据偶函数性质代入即可求解；
（2）令，转化为关于的一元二次函数，对分类讨论即可求解.
【小问1详解】
依题意，
因为的定义域为的偶函数，所以，
所以，
所以
所以
所以，即．
【小问2详解】
由（1）知
所以，
令，，
即，整理得，
其中，所以，
令，则得，
①当时，，即，
所以方程在区间上有唯一解，
则方程对应的二次函数，恒有，，，
所以当时，方程在区间上有唯一解．
②当时，，即，
方程在区间上有唯一解，
因为方程对应的二次函数的开口向下，恒有，
，所以满足恒有，解得
综上所述，当或时，有唯一零点．
【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质代入原函数即可求解参数；x
1
2
3
4
5
6
7
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6