初中数学24.1.4 圆周角课后测评

这是一份初中数学24.1.4 圆周角课后测评，共10页。

知识点1 圆周角及圆周角定理
如图,A,B,C三点在☉O上,点D是☉O内一点,点E是☉O外的一点,下列说法:
①∠AOB是圆心角,②∠AEB、∠ADB、∠ACB都是圆周角,③∠ACB=12∠AOB,④∠AEB<∠ACB,
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2021辽宁阜新中考)如图,A,B,C是☉O上的三点,若∠O=70°,则∠C的度数是( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
3.如图,A,B,C为☉O上三点,若∠ABC=44°,则∠OAC的度数为( )
A.46° B.44° C.40° D.50°
4.如图,点A、B、C是半径为4的☉O上的三个点,若∠BAC=45°,则弦BC的长为 .
(2020湖北武汉洪山期中)如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=75°,则∠DAO+∠DCO的大小是 .
知识点2 圆周角定理的推论
6.如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点,若∠ABC=35°,则∠BDC=( )
A.85° B.75° C.70° D.55°
7.(2021甘肃白银中考)如图,点A,B,C,D,E在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED=( )
A.48° B.24° C.22° D.21°
8.(2022广东广州白云期末)如图,AB是☉O的直径,AB=AC,BC交☉O于点D,AC交☉O于点E,连接BE,若∠BAC=45°,则∠EBC= °.
知识点3 圆内接四边形的性质
9.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠BCD=105°,则∠BOD的度数是( )
A.150° B.120° C.105° D.85°
10.(2022江苏苏州吴江月考)如图,点A、B、C、D、E在☉O上,AB所对的圆心角的度数为30°,则∠E+∠C= .
11.(2020江苏南京玄武期末)如图,☉O上有两个定点A、B,点P是☉O上一动点(不与A、B两点重合),若∠OAB=35°,则∠APB的度数是 .
12.(2022北京海淀期末)如图,四边形ABCD内接于☉O,OC=2,AC=22.
(1)求点O到AC的距离;(2)求∠ADC的度数.
能力提升全练
13.如图,点A,B,C是☉O上的三点.若∠AOC=90°,∠BAC=30°,则∠AOB的大小为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
14.(2022河南新乡期末,7,)如图,菱形ABCD的顶点B,C,D均在☉A上,点E在弧BD上(不与B、D两点重合),则∠BED的度数为( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
15.(2022吉林长春绿园月考,6,)将以O为中心点的量角器与直角三角板ABC(△ABC为等腰直角三角形)按如图所示方式摆放,量角器的0刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点,作射线CD交弧AB于点E,如果点E在量角器上所对应的读数为50°,那么∠BDE的大小为( )
A.100° B.110° C.115° D.130°
16.(2021辽宁营口中考,8,)如图,☉O中,点C为弦AB中点,连接OC,OB,∠COB=56°,点D是AB上任意一点(D不与A、B两点重合),则∠ADB的度数为( )
A.112° B.124° C.122° D.134°
17.(2020陕西中考副卷,9,)如图,点A、B、C在☉O上,BC∥OA,连接BO并延长,交☉O于点D,连接AC,DC.若∠A=25°,则∠D的大小为( )
A.25° B.30° C.40° D.50°
18.(2021辽宁抚顺十二中期末,9,)如图,点A,D,B,C是圆O上的四个点,AB,CD相交于点E,若∠BOD=40°,∠AOC=120°,则∠AEC等于( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
19.()如图,半圆O的直径AB的长为15,弦BC的长为9,弦BD平分∠ABC,则BD的长是( )
A.12 B.55 C.65 D.92 5
20.(2019山东东营中考,16,)如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°,若点M、N分别是AC、BC的中点,则MN的最大值是 .
素养探究全练
21.[逻辑推理]如图,Rt△ABC的直角顶点C在☉O上滑动,且各边与☉O分别交于点D,E,F,G,若EF,DG,DE所对的圆心角的度数比为2∶3∶5,BE=BF,则∠A的度数为( )
A.30° B.32° C.34° D.36°
22.[逻辑推理]如图,☉P过点O(0,0),B(3,0),A(0,1),点C是x轴下方☉P上的一点,连接CO、AC,若OA=OC,则下列结论成立的为 .(填写序号即可)
①∠OCA=30°;②∠AOC=120°;③AC=OB;④点C的坐标为12,-32.
答案全解全析
基础过关全练
1.C 由题意知,∠AOB是圆心角,∠ACB是圆周角,∠AEB和∠ADB不是圆周角,故①正确,②不正确;如图,设AE与☉O相交于F,连接BF,则∠AFB和∠ACB都是AB所对的圆周角,∴∠AFB=∠ACB=12∠AOB,故③正确;∵∠AFB>∠AEB,∴∠AEB<∠ACB,故④正确.故选C.
2.B ∵∠AOB是AB所对的圆心角,∠C是AB所对的圆周角,∴∠C=12∠AOB=12×70°=35°.
3.A ∵∠ABC和∠AOC分别是AC所对的圆周角和圆心角,∴∠AOC=2∠ABC=88°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=180°-88°2=46°.
4.42
解析 如图,连接OB,OC.∵∠BOC=2∠BAC,∠BAC=45°,∴∠BOC=90°.∵OB=OC=4,∴BC=42+42=42.
5.135°
解析 如图,∵AO=BO=CO,∴点A,B,C都在☉O上,∴∠ABC是AC所对的圆周角,∠AOC是AC所对的圆心角,∴∠AOC=2∠ABC=150°.又∠ADC=75°,∴∠DAO+∠DCO=360°-150°-75°=135°.
D ∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.∵∠ABC=35°,∴∠CAB=55°,∴∠BDC=∠CAB=55°.
D 连接AE,BE,
∵∠AOB=42°,∴∠AEB=12∠AOB=21°,
∵AB=CD,∴AB=CD,∴∠AEB=∠CED,∴∠CED=21°.
8.22.5
解析 ∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.
∵∠BAC=45°,∴∠ABE=45°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=12×(180°-45°)=67.5°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°.
9.A ∵四边形ABCD内接于☉O,∠BCD=105°,
∴∠A=180°-∠BCD=180°-105°=75°.∴∠BOD=2∠A=2×75°=150°.
10.165°
解析 如图,连接EA,∵AB所对的圆心角的度数为30°,∴∠AEB=15°.∵四边形ACDE为☉O的内接四边形,∴∠C+∠AED=180°,∴∠C+∠BED=180°-15°=165°.
11.55°或125°
解析 如图,连接OB.当点P在优弧AB上时,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,∴∠AOB=110°,∴∠P=12∠AOB=55°;当点P在劣弧AB上时,如图中点P'所示,∠AP'B=180°-∠APB=125°.综上,∠APB=55°或125°.
12.解析 (1)如图,连接OA,作OH⊥AC于H,
∵OA2+OC2=8,AC2=8,∴OA2+OC2=AC2,
∴△AOC为直角三角形,
∵OA=OC,∴△AOC为等腰直角三角形,
∵OH⊥AC,∴AH=CH,
∵∠AOC=90°,∴OH=12AC=2,
即点O到AC的距离为2.
(2)由圆周角定理得,∠B=12∠AOC=45°,
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠ADC=180°-45°=135°.
能力提升全练
13.B ∵∠BAC和∠BOC分别为BC所对的圆周角和圆心角,
∴∠BOC=2∠BAC=60°.又∠AOC=90°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°.
B 如图,连接AC.∵四边形ABCD是菱形,AB=AC=AD,
∴AB=BC=CD=AD=AC,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴∠ACB=∠ACD=60°,∴∠BCD=120°,
∴∠BED=∠BCD=120°.
B 如图,连接OE,OC,∵点E在量角器上所对应的读数为50°,
∴∠AOE=50°.∵∠ACB=90°,OA=OB,∴OA=OB=OC,∴点C在☉O上,∴∠ACE=12∠AOE=12×50°=25°,∴∠BCE=90°-25°=65°.∵∠BDE是△BDC的外角,∴∠BDE=∠BCE+∠DBC=65°+45°=110°.
B 如图,作AB所对的圆周角∠APB,连接OA,∵点C为AB的中点,OA=OB,∴OC⊥AB,OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC=56°,∴∠AOB=112°,
∴∠APB=12∠AOB=56°.∵∠APB+∠ADB=180°,∴∠ADB=180°-56°=124°.
C ∵BC∥OA,∴∠ACB=∠A=25°,∠B=∠AOB,又∠AOB=2∠ACB=50°,
∴∠B=50°,∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°,∴∠D=90°-∠B=90°-50°=40°.
C 如图,连接BC,∵AC所对的圆周角是∠ABC,圆心角是∠AOC,∠AOC=120°,
∴∠ABC=12∠AOC=60°.同理可得∠DCB=12∠BOD=12×40°=20°,
∴∠AEC=∠ABC+∠DCB=60°+20°=80°.故选C.
C 如图,连接AD、AC、OD,设AC与OD相交于点H,∵AB为直径,
∴∠ADB=∠ACB=90°,在Rt△ACB中,AC=152-92=12.∵弦BD平分∠ABC,
∴AD=CD,∴OD⊥AC,∴AH=CH=12AC=6.∵OA=OB,∴OH=12BC=92,∴DH=OD-OH=152-92=3.
∴在Rt△ADH中,AD=32+62=35,∴在Rt△ADB中,BD=152-(35)2=65.故选C.
20.522
解析 ∵点M、N分别是AC、BC的中点,∴MN=12AB,∴当AB取得最大值时,MN就取得最大值,当AB是直径时,AB最大.如图,连接AO并延长交☉O于点B',连接CB',
∵AB'是☉O的直径,∴∠ACB'=90°.
∵∠ABC=45°,∴∠AB'C=45°,∴∠CAB'=45°,∵AC=5,∴CB'=AC=5,∴AB'=52+52=52,∴MN的最大值为522.
素养探究全练
D 如图,连接FG,DG,EF,∵∠ACB=90°,点C在☉O上,∴FG为☉O的直径.
∴EF,DG,DE的和为半圆.设EF,DG,DE所对的圆心角的度数为2x°,3x°,5x°,
∴2x+3x+5x=180.∴x=18.∴EF,DG,DE所对的圆心角的度数为36°,54°,90°,
∴∠DGF=12(90°+36°)=63°.∵四边形DEFG是☉O的内接四边形,
∴∠DEF+∠DGF=180°,又∵∠BEF+∠DEF=180°,∴∠BEF=∠DGF=63°.
∵BE=BF,∴∠BFE=∠BEF=63°,∴∠B=180°-∠BFE-∠BEF=54°.
∴∠A=90°-∠B=36°.
22.①②③
解析 如图,连接AB,OP,设OP交AC于点D,作CE⊥OB于E,∵∠AOB=90°,∴AB是☉P的直径.∵B(3,0),A(0,1),∴OA=1,OB=3,∴AB=12+(3)2=2,∴PA=PO=1=OA,
∴△AOP是等边三角形,∴∠OPA=60°.∵∠OCA和∠OPA分别是AO所对的圆周角和圆心角,∴∠OCA=12∠OPA=30°,故①成立;
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠AOC=120°,故②成立;
∵OA=OC,∴OA=OC,∴OP⊥AC,∵OA=1,∠OAC=30°,∴OD=12,
∴AD=12-122=32,∴AC=2AD=3,又∵OB=3,∴AC=OB,故③成立;
∵∠AOC=120°,∠AOB=90°,∴∠COE=30°,∴∠COE=∠OAD,
又∵OA=OC,∠ADO=∠OEC=90°,∴△AOD≌△OCE,∴CE=OD=12,OE=AD=32,∴C32,-12,故④不成立.