安庆四中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份安庆四中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于x的方程=0有增根，则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
2、（4分）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
3、（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（2，）C．（，2）D．（+1，
4、（4分）下列命题中不正确的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形
B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等
D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等
5、（4分）下列关于 x 的分式方程中，有解的是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．③
7、（4分）在一次数学测试中，将某班51名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的频率之和为1．8，则第5组的频数是（ ）
A．11B．9C．8D．7
8、（4分）已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知方程的一个根为，则常数__________．
10、（4分）若=3-x，则x的取值范围是__________．
11、（4分）某企业两年前创办时的资金为1000万元，现在已有资金1210万元，设该企业两年内资金的年平均增长率是x，则根据题意可列出方程：______．
12、（4分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，AC=8，AB=5，则菱形ABCD的面积是_________．
13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为，，，点P在BC（不与点B、C重合）上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足球的进价是第一次进价的1.2倍，且数量比第一次少了10个.求第一次每个足球的进价是多少元？
15、（8分）解方程组：
16、（8分）已知结论：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=，D为AB中点，P为AC上一点，连接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，连接CE.
（1）AB=_____,AC=______.
（2）若P为AC上一动点，且P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，设P点运动时间为t秒.
①当t=_____秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.
②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
17、（10分）列方程解应用题
今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌． 企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A长的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元． 求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？
18、（10分）仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值，
解:设另一个因式为，得: ，
则
解得:
另一个因式为，的值为，
问题:仿照以上方法解答下列问题:
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图所示,△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,过点O作BC的平行线MN交AB于点M,交AC于点N,则△AMN的周长为____.
20、（4分）已知平面直角坐标系中A．B两点坐标如图，若PQ是一条在x轴上活动的线段，且PQ=1，求当BP+PQ+QA最小时，点Q的坐标___.
21、（4分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______．
22、（4分）已知不等式组的解集是，则的值是的___．
23、（4分）一元二次方程的解为______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某校共有1000名学生，为了了解他们的视力情况，随机抽查了部分学生的视力，并将调查的数据整理绘制成直方图和扇形图.
（1）这次共调查了多少名学生？扇形图中的、值分别是多少？
（2）补全频数分布直方图；
（3）在光线较暗的环境下学习的学生占对应被调查学生的比例如下表：
根据调查结果估计该校有多少学生在光线较暗的环境下学习？
25、（10分）先化简，再求值：（a+）÷，其中a=1．
26、（12分）甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出赴某地旅游的团体（多于4人）优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：所有人都打七五折优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人1000元，那么随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值
【详解】
方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x=0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=1．
故选：A．
考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值
2、A
【解析】
利用一元二次方程的定义求解即可．
【详解】
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m＋1≠0，即m≠−1，
故选：A．
此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3、B
【解析】
连接DB，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则DA＝DB，再根据菱形的性质得到AD∥BC，AD＝AB，则可判断△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝∠ABO＝60°，然后计算出AD＝2，从而得到D点坐标．
【详解】
连接DB，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴AD＝AB＝DB，
∴△ADB为等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ABO＝60°，
∵A（0，），
∴OA＝，
∴OB＝OA＝1，AB＝2OB＝2，
∴AD＝AB＝2，
而AD平行x轴，
∴D（2，）．
故选：B．
考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质
4、C
【解析】
解：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确；
B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等，说法正确；
C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等，说法错误；
D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等，说法正确．
故选C．
5、B
【解析】
根据分子为0，分母不为0，存在同时满足两个条件时的x，则分式方程有解..
【详解】
A.当，则且，当时，，当时，，所以该方程无解；
B.当，则且，当时，当时，所以该方程的解为；
C.因为无解，所以该方程无解；
D.当，则且，当时，当时，所以该方程无解.
故选B.
本题考查解分式方程，分式的值要为0，则分子要为0同时分母不能为0.
6、C
【解析】
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形．符合此条件的中心对称图形即可选.
【详解】
正三角形不是中心对称图形，圆是中心对称图形但不能镶嵌，正六边形和平行四边形是中心对称图形也能镶嵌.
故选C
判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形．
7、A
【解析】
频率总和为1，由此求出第五组的频率，然后由频率是频数与总数之比，求出频数即可.
【详解】
解：第五组的频率为，所以第五组的频数为.
故答案为：A
本题考查了频率频数，掌握频率频数的定义是解题的关键.
8、D
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x−3＝0，确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：去分母得：3−2x−9＋mx＝−x＋3，
整理得：（m−1）x＝9，
当m−1＝0，即m＝1时，该整式方程无解；
当m−1≠0，即m≠1时，由分式方程无解，得到x−3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：3m−3＝9，
解得：m＝4，
综上，m的值为1或4，
故选：D．
此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
将x=2代入方程,即可求出k的值．
【详解】
解：将x=2代入方程得：，解得k=．
本题考查了一元二次方程的解，理解方程的解是方程成立的未知数的值是解答本题的关键
10、
【解析】
试题解析：∵=3﹣x，
∴x-3≤0，
解得：x≤3，
11、．
【解析】
根据关系式：现在已有资金1000万元×（1+年平均增长率）2=现在已有资金1万元，把相关数值代入即可求解．
【详解】
设该企业两年内资金的年平均增长率是x，则根据题意可列出方程：1000（1+x）2=1．
故答案为：1000（1+x）2=1．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
12、21
【解析】
连接BD交AC于点O，已知AC即可求AO，菱形对角线互相垂直，所以△AOB为直角三角形，根据勾股定理即可求BO的值，即可求BD的值，根据AC、BD可以求菱形ABCD的面积．
【详解】
如图，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO．
∵AC=8，∴AO=1．在Rt△AOB中，BO3，∴BD=2BO=6，∴菱形ABCD的面积为S6×8=21．
故答案为：21．
本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据勾股定理求BO的值是解题的关键．
13、（1,3）或（4,3）
【解析】
根据△ODP是腰长为5的等腰三角形，因此要分类讨论到底是哪两条腰相等：①PD=OD为锐角三角形；②OP=OD；③OD=PD为钝角三角形，注意不重不漏.
【详解】
∵C（0,3），A（9,0）
∴B的坐标为（9,3）
①当P运动到图①所示的位置时

此时DO=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD-DE=1
此时P点的坐标为（1,3）；
②当P运动到图②所示的位置时
此时DO=PO=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
此时P点的坐标为（4,3）；
③当P运动到图③所示的位置时
此时OD=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD+DE=9
此时P点的坐标为（9,3），此时P点与B点重合，故不符合题意.
综上所述，P的坐标为（1,3）或（4,3）
本题主要考查等腰三角形的判定以及勾股定理的应用.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、第一次每个足球的进价是100元.
【解析】
设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，根据数量关系：第一次购进足球的数量-10个=第二次购进足球的数量，可得分式方程，然后求解即可；
【详解】
设第一次每个足球的进价是元，
则第二次每个足球的进价是元，
根据题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：第一次每个足球的进价是100元.
考查分式方程的应用，关键是理解题意找出等量关系列方程求解．
15、，．
【解析】
先由①得x=4+y，将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.
【详解】
解：
由①得：x=4+y③，
把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，
解得：y1=4，y2=-2，
代入③得：当y1=4时，x1=8，
当y2=-2时，x2=2，
所以原方程组的解为：，．
故答案为：，.
本题考查了解高次方程.
16、（1）4，6；（2）①；②存在，t=2或t=6.
【解析】
（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AB的长，利用勾股定理即可求出AC的长；（2）①根据平行四边形的性质可得AD//PE，AD=PE，根据折叠性质可得PE=AP，即可得AP=AD，由D为AB中点可得AD的长，即可得AP的长，进而可求出t的值；②分两种情况讨论：当BD为边时，设DE与PC相交于O，根据三角形内角和可得∠B=60°，根据平行四边形的性质可得CE=BD，CE//BD，BC//DE，可得∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，根据折叠性质可得∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，即可证明∠ADP=∠A，可得AP=PD=PE，可得∠PED=∠PDE=30°，即可得∠PEC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE，利用勾股定理列方程可求出PE的长，即可得AP的长；当BD为对角线时，可证明平行四边形BCDE是菱形，根据菱形的性质可得∠DCE=30°，可证明DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，利用SAS可证明△ACD≌△ECD，可得AC=CE，根据翻折的性质可证明点P与点C重合，根据AC的长即可求出t值，综上即可得答案.
【详解】
（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=4，
∴AC==6.
故答案为：4，6
（2）①如图，∵D为AB中点，
∴AD=BD=AB，
∵BC=AB，
∴AD=BD=BC=，
∵ADEP是平行四边形，
∴AD//PE，AD=PE，
∵△APD沿PD翻折得到△EPD，
∴AP=PE，
∴AP=AD=，
∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，
∴t=.
故答案为：
②存在，理由如下：
i如图，当BD为边时，设DE与PC相交于O，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴CE=BD，CE//BD，DE//BC，
∴∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，
∵△APD沿PD翻折得到△EPD，
∴∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，
∴∠PAD=∠PDA=30°，
∴AP=PD=PE，
∴∠PED=∠PDE=30°，
∴∠PEC=∠PED+∠DEC=90°，
∵∠ECP=30°，
∴PC=2PE，
∴PC2=PE2+EC2，即4PE2=PE2+()2
解得：PE=2或PE=-2（舍去），
∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，
∴t=2.
ii当BD为对角线时，
∵BC=BD=AD，∠B=60°，
∴△BCD都是等边三角形，
∴∠ACD=30°，
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴平行四边形BCDE为菱形，
∴DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，
又∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD，
∴AC=CE，
∴△ECD是△ACD沿CD翻折得到，
∵△APD沿PD翻折得到△EPD，
∴点P与点C重合，
∴AP=AC=6.
∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，
∴t=6.
故当t=2或t=6时，以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形.
本题考查含30°角的直角三角形的性质及平行四边形的性质，在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键.
17、A厂生产的口罩单价为2.2元，B厂生产的口罩单价为2元．
【解析】
设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为（x＋0.2）元，根据数量＝总价÷单价结合在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为（x＋0.2）元，
依题意得：，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x＋0.2＝2.2，
答：A厂生产的口罩单价为2.2元，B厂生产的口罩单价为2元．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18、另一个因式为，的值为
【解析】
设另一个因式为（x+n），得2x2-5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，可知2n-3=-5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】
解：设另一个因式为（x+n），得：2x2-5x-k=（2x-3）（x+n）
则2x2-5x-k=2x2+（2n-3）x-3n，
解得:
另一个因式为，的值为，
本题考查因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、18
【解析】
根据角平分线的定义、平行线的性质，及等角对等边可知OM=BM，ON=CN，则△AMN的周长=AB+AC可求．
【详解】
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵BC∥MN，
∴∠BOM=∠CBO，∠CON=∠BCO，
∴∠BOM=∠ABO，∠CON=∠ACO，
∴OM=BM，ON=CN，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+OM+AN+NC=AB+AC=18cm.
故答案为：18.
此题考查角平分线的定义，平行线分线段成比例，解题关键在于得出OM=BM，ON=CN.
20、（，0）；
【解析】
如图把点向右平移1个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，求出直线的解析式，即可解决问题.
【详解】
如图把点向右平移1个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，
设最小的解析式为，则有，解得，
直线的解析式为，
令，得到，
.
故答案为：.
本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型.
21、2016
【解析】
由题意可得，
，
，
∵，为方程的个根，
∴，
，
∴．
22、-2
【解析】
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
，
由①得，，
由②得，，
所以，不等式组的解集是，
不等式组的解集是，
，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
23、
【解析】
直接求6的平方根即可.
【详解】
解：因为6的平方根为，
所以答案为:
本题考查开平方解一元二次方程，理解开方和乘方的互逆运算是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）200名，a=18%,b=20%;(2)见解析;(3)270名
【解析】
（1）根据第四组的频数与其所占的百分比求出被调查的学生数．
（2）根据各组所占的百分比分别计算他们的频数，从而补全频数分布直方图．
（3）首先计算各组在光线较暗的环境下学习的学生数，再根据被抽取的学生数所占的比例进行估算该校有多少学生在光线较暗的环境下学习．
【详解】
（1）这次共调查的学生为：（名）.
..
（2）0.35～0.65的频数为：；0.95～1.25的频数为：.
补全频数分布直方图如下：
（3）各组在光线较暗的环境下学习的学生总数为：
（名）.
该校学生在光线较暗的环境下学习的有：（名）.
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25、2.
【解析】
分析：把a+通分化简，再把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，化成最简分式（或整式）后把a=1代入计算.
详解：（a+）÷
=[+]•
=•
=•
=，
当a=1时，原式==2．
点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键，本题也考查了运用平方差公式和完全平方公式分解因式.
26、当团体人数超过8人时，选甲旅行社收费更优惠；当团体人数为8人时，两家旅行社收费相同；当团体人数少于8人时，选乙旅行社收费更优惠．
【解析】
设团体有x人，收费y元，得出y甲=4000+500（x-4）=500x+2000，y乙=750x，再分情况列不等式和方程求解可得．
【详解】
设团体有人，收费元
∴，
∵当时，，解得；
∴当时，，解得；
当时，，解得；
∴当团体人数超过8人时，选甲旅行社收费更优惠；
当团体人数为8人时，两家旅行社收费相同；
当团体人数少于8人时，选乙旅行社收费更优惠．
本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系与不等关系．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
视力
0.35～0.65
0.65～0.95
0.95～1.25
1.25～l.55
比例