湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是，对于二次函数，下列说法错误的是，若抛物线经过原点，则a的值是等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A.2和1B.2和7C.1和-6D.1和4
2.若方程的一个根是-2，则k的值是（ ）
A.-1B.1C.-3D.3
3.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.只有一个实数根
4.对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A.它的图象的开口向下B.它的图象的对称轴是直线
C.当时，y取最大值D.当时，y随x的增大而增大
5.若抛物线经过原点，则a的值是（ ）
A.±1B.1C.-1D.0
6.用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与开按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.某抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则原抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
9.若a是关于x的方程的一个根，则的值是（ ）
A.2025B.2026C.2022D.2023
10.二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线.下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（ ）
A.②③④B.②③C.①④D.①②④
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.抛物线的顶点坐标是_________.
12.已知方程的两根分别为，，则的值为_________.
13.加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式，则最佳加工时间为__________.
14.如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为12m时，涵洞顶点O至水面的距离为_________m.
15.已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则n的值为__________.
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）解下列方程：
（1）（2）.
17.（6分）已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值.
18.（6分）已知函数.
（1）该函数图象的开口方向是________；
（2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小?
19.（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，.
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得成立?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
20.（8分）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，.当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题.利用换元法解方程.
21.（8分）如图，抛物线与直线交于点和.
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集.
22.（10分）羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
请根据上述数据，解决问题：
（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）已知羽毛球场的球网高度为1.55m，当发球点距离球网5m时，羽毛球能否越过球网?请说明理由.
23.（11分）一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是_________（填“一次函数”或“二次函数”），直接写出这个函数解析式为_________；
（2）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，当售价为多少元时，月销售利润达到5600元?
（3）若获利不得高于进价的60%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大?
24.（12分）如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S.求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
2024年10月学情监测考试
九年级数学试卷参考答案与评分说明
（请各位教师在阅卷前先做题审答案）
一、选择题
1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D
二、填空题
11.（-2，-1） 12.1 15.
三、解答题（其他解法，正确即可.）
16.解：（1）∵，∴，
∴，；
（2）
∴，，
∴，.
17.解：∵，，∴，
∵，∴.
18.解：（1）向下；
（2）∵，，，
∴，，
∴函数图象的对称轴是，顶点坐标是；
（3）∵开口向下，∴当时，y随x的增大而减小.
19.解：（1）根据题意得，
解得；
（2）根据题意得，，
∵，∴，
即，
∴，
整理得，
解得（舍），，
∴.
20.解：设，于是原方程化为，
解得，；
当时，，故，
解得，；
当时，，故，
此时，方程无解，
故原方程的解为，.
21.解：（1）把和代入，得，，
∴，
∴，，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）或.
22.解：（1）根据表格中的数据可知，当时，，当时，，
∴点与关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
根据表格中的数据可知，当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为；
设抛物线的关系式为，
把，代入得：，
解得：，
∴抛物线的关系式为.
（2）把代入得：，
∵，∴羽毛球能越过球网.
23.解：（1）一次函数，；
（2）根据题意得，
解得，，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，
∴不合题意舍去，
答：当售价为120元时，月销售利润达到5600元；
（3）设利润为w元，则，
∴当时，W取最大值，
∵获利不得高于进价的60%，∴，
∵-2<0，
∴当时，w随x的增大而增大
∴当时，w最大.
答：售价定为128元时，月销售利润达到最大.
24.解：（1）将，代入，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）设直线AC的解析式为，代入，，得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∵轴，∴，，
∴，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值是；
（3）存在，
P点坐标为（-1，0），或，或.水平距离x/m
0
2
4
6
8
…
竖直高度y/m
…
售价x（元）
100
110
120
130
…
销售量y（件）
180
160
140
120
…