湖北省荆州市监利市监利县汴河镇赤卫初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份湖北省荆州市监利市监利县汴河镇赤卫初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试范围：一元二次方程，二次函数图象与性质 考试时间：120分钟；命题人：朱正法
一、选择题(30分)
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．， B． C．D．
3．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（ ）
A．B．C．D．
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m≥2D．m≤2
5．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
6．在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）=135B．4（32﹣x）（20﹣x）=135
C．D．（32﹣x）（20﹣x）﹣x2=135
7．若关于x的方程有一个根为则另一个根为( )
A．-2B．2C．4D．
8．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A．2B．1C．0或2D．1或2
10．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题 （15分）
11．已知关于x的函数y＝（a﹣1）x2﹣3x+6是二次函数，则a满足的条件是 ．
12．已知等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为 ．
13．写一个开口向下，顶点坐标为的二次函数表达式 ．
14．规定一种新运算a※b=a2﹣2b，如1※2=﹣3．若x※（﹣2）=6，则 ．
15．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？
三、解答题
16．（8分）解方程：
(1)； (2)．
17．（6分）设为实数，求代数式的最小值．
18．（8分）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．(1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由．
(2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．
20．（8分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．
求(1)当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？
围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．
21．（8分）如图，已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
22．（9分）某商场经营一种成本为每千克40元的产品．
(1)已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率．
(2)经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？
23．（8分）二次函数的图象顶点坐标为，且过．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当时，求函数值的取值范围．
24．（12分）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线y=ax-22+k经过点 、，其顶点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积．
(3)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点 D ，求线段的最大值及此时点的坐标．
参考答案：
1．D
【难度】0.94
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义；只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；形如叫做一元二次方程的一般式．
【详解】解：A、含有两个未知数，该选项是错误的；
B、的未知数的最高次数是3，该选项是错误的；
C、未知数的最高次数是1，且不是整式，该选项是错误的；
D、是一元二次方程，该选项是正确的；
故选：D
2．C
【难度】0.85
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：方程分解因式得：，
，
故选：C
3．D
【难度】0.85
【知识点】y=ax²的图象和性质
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数中，当a>0时开口向下，当时开口向下 ，据此解答即可．
【详解】解： ∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴，
故答案为：D．
4．C
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程根的判别式
【分析】一元二次方程有实根,即△,解不等式即可.
【详解】∵x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，
∴△=4-4·（m-3）
解得：m≥2,
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数问题,属于简单题,会求△是解题关键.
5．D
【难度】0.85
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案．
【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是．
故选D．
6．C
【难度】0.65
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】将阴影部分推至左上角,计算空白部分面积即可.
【详解】如下图,
将道路推至左上角,形成新矩形田地,
∵道路的宽为x米，
∴新矩形田地长为（32-x）,宽为（20-x）,
∵每小块试验田的面积为135m2，即新矩形面积为4135,
∴（32-x）（20-x）=4135,
整理得
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,平移道路形成新的矩形是解题关键.
7．D
【难度】0.94
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】将x=2代入方程求出参数m,再重新解方程即可.
【详解】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2．
将x=2代入方程得,m=1,
∴原方程为x2+x﹣6=0
解得：x1=-3,x2=2
∴方程另一个根是-3,
故选D,
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,代入求m的值是解题关键.
8．B
【难度】0.65
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．
先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．
【详解】解：∵,
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点离对称轴最远，点在对称轴上，
∴．
故选：B．
9．A
【难度】0.85
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象经过原点，
，
或，
二次项系数不能为0，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键．
10．D
【难度】0.85
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数的图像，二次函数的对称轴，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，理解最值的意义是解题的关键．
根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质即可求出答案．
【详解】∵抛物线的图象开口向下
∴
∵抛物线与y轴交于正半轴
∴
∴，故①正确；
∵对称轴是直线，
∴
∴
∴，故②正确；
由图象可得，当时，，故③正确．
综上所述，其中正确的结论有3个．
故选：D．
11．a≠1
【难度】0.85
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：根据二次函数的定义，得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次项系数不为0是解题的关键．
12．15．
【难度】0.85
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】解方程,分类讨论腰长,即可求解.
【详解】解：x2﹣9x+18=0得x=3或6,
分类讨论：当腰长为3时,三边为3、3、6此时不构成三角形,故舍,
当腰长为6时,三边为3、6、6,此时周长为15.
【点睛】本题考查了解一元二次方程和构成三角形的条件,属于简单题,分类讨论是解题关键.
13．（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】利用顶点式可写出其解析式，且保证a小于0即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
当时，抛物线开口向下，
取，二次函数解析式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质以及顶点式，即二次函数中，当时抛物线开口向下，顶点坐标为．熟记公式是解题的关键．
14．
【难度】0.65
【知识点】新定义下的实数运算、解一元二次方程——直接开平方法
【分析】根据题意可得：x2﹣2×（﹣2）=6，然后移项，合并同类项，再用直接开平方法可解得答案．
【详解】解：根据题意得：x2﹣2×（﹣2）=6，x2+4=6，移项得：x2=2，∴x=±2．
故答案为±2．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据题意列出方程．
15．9或12
【难度】0.65
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论
【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
16．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用因式分解的方法求解方程即可；
（2）利用因式分解的方法求解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
因式分解，得，
∴，，
∴；
（2）解：，
原方程可化为，
因式分解，得，
即，
于是得或，
∴．
17．1
【难度】0.85
【知识点】配方法的应用、运用完全平方公式进行运算
【分析】利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴的最小值为1．
【点睛】本题考查配方法的应用、平方式的非负性，熟记完全平方公式，重新组合利用公式求解是解答的关键．
18．(1)一元二次方程是凤凰方程，理由见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】一元二次方程的解
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键．
（1）根据凤凰方程的意义进行计算即可；
（2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
故一元二次方程是凤凰方程；
（2）解：由题意得：，
是关于x的凤凰方程，
，
即，
解得：．
19．（1）m≥4 （2）m=4
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程根的判别式
【详解】试题分析：（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；（2）直接利用根与系数的关系解答．
试题解析：（1）由题意得，△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≥4；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0的两个实数根为x1，x2，∴x1x2=2m+1，x1+x2=6，∴x1x2+x1+x2=2m+1+6=15，解得m=4．
20．(1)
(2)当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米
(3)不能，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用代数式表示式
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”
（1）设花圃的一边为，则的长为；
（2）令该面积等于63平方米，求出符合题意的x的值，即是所求的长．
（3）不能，根据花圃的面积为即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即不能围成的花圃．
【详解】（1）解：的长可用含x的代数式表示为，
故答案为：；
（2）解：依题意有，
解得；
当时，符合题意；
当时，不符合题意，舍去，
故当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米．
（3）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴不能围成的花圃．
21．(1)解析式为，顶点坐标为
(2)点P的坐标为或或
【难度】0.65
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质；
（1）用待定系数法即可求得解析式，再解析式配方即可求得顶点坐标；
（2）首先验证P是顶点时是否满足题意，再考虑点P在x轴上方时的情况即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
解析式配方得，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴顶点到x轴距离为4，
则，表明点P是抛物线的顶点时，也满足，
∴点P坐标为；
当点P在x轴上方时，设，其中，
∵，
∴，即，
解得：，
∴点P的坐标为或；
综上，点P的坐标为或或．
22．(1)月份该产品销售的月平均增长率为
(2)销售该产品时每千克应涨30元
【难度】0.85
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解题的关键．
（1）设月份该产品销售的月平均增长率为x，列方程并解方程即可解决；
（2）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，结合月销售利润=每件利润×数量即可列出方程，解方程即可；
【详解】（1）解：设月份该产品销售的月平均增长率为x，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），
答：月份该产品销售的月平均增长率为；
（2）解：设销售该产品时每千克应涨y元,
,
解得：，
当时，月销售成本为，不合题意舍去，
当时，月销售成本为，符合题意，
∴，
答：销售该产品时每千克应涨30元．
23．(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键．
（1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解；
（2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点坐标为，
∴设抛物线顶点式为：，
∵二次函数的图象过，
代入抛物线解析式得：，
解得：，
故二次函数解析式为：；
（2）解：∵，其中，对称轴为直线，
∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大，
又∵到直线的距离大于到直线的距离，且当时，，当时，，
∴当时，函数值的取值范围是．
24．(1)
(2)3
(3)最大值为2.25，此时
【难度】0.65
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法、三角形的面积公式解二次函数的性质是解题的关键．
（1）先求出、的坐标，再根据待定系数法求解；
（2）求得的解析式为，得，根据三角形的面积为求解；
（3）先求得的解析式，设点，则，求出长度的表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
令与轴交于点，
当时，，
解得：，则，
∴的面积为：；
（3）设的解析式为：，
则：，
解得：，
∴的解析式为：，
∴点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，（）
则，
∴，
∴当时，有最大值，为2.25，
，
此时．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
C
D
C
D
B
A
D