2025中考复习数学考点专题探究课件：专题17　图形折叠问题

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专题17　图形折叠问题
1. [2023山东枣庄中考，中]问题情境：如图(1)，在△ABC中，AB＝AC＝ 17，BC＝30，AD是BC边上的中线.如图(2)，将△ABC的两个顶点B，C分 别沿EF，GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB，AC，BC于点E， G，F，H.
(1)如图(2)，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由.
(2)如图(3)，将图(2)中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点 B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG于 点K，求四边形MKGA的面积.
2. [2023辽宁大连中考，较难]综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探 究折叠的性质.
已知AB＝AC，∠A＞90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻 折.同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC＝2∠ACB. ”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△BAE翻折得到.

问题1：(1)【证明】∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，∴∠ABC ＝∠C. ∵△BDE由△BAE翻折得到，∴∠BDE＝∠A＝180°－2∠C.
∵∠EDC＋∠BDE＝180°，∴∠EDC＝2∠C.
(1)如图(1)，当点D落在BC上时，求证：∠EDC＝2∠ACB.
(2)如图(2)，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A＜90°的等 腰三角形，可以将问题进一步拓展.问题2：如图(3)，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4，2∠D＝∠ABD. 若CD＝1，则求BC的长.
折叠的本质是轴对称变换，解决此类问题往往需要借助轴对称的性质、 勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的性质或三角函数等知识.
3. [2023广西中考，中]【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我 们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.
【动手操作】如图(1)，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸 片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到 折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接AB'，BB'， BE'.请完成：
(1)观察图(1)中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
(1)【解】∠1＝∠2＝∠3.
(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图(2)，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在 AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折 叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分 别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'.请完成：
【证明】(2)如图(1)，设AM，EF交于点O. 由题意得EF是AB的垂直平 分线，AM是BB'的垂直平分线，AB＝AB'＝BB'，OA＝OB＝OB'， ∴∠ABB'＝60°，△ABO≌△B'BO(SSS)，∴∠1＝∠2＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝90°－60°＝30°，∴∠1＝∠2＝∠3. 图(1)　
(3)证明BB'是∠NBC的一条三等分线.
(3)如图(2)，设EF与折痕l交于点O，连接OB，OP'.同(2)可得OB＝ OB'＝OP'，BP'＝BB'，∴△P'BO≌△B'BO(SSS)，∠OBB'＝ ∠BB'O，∴∠P'BO＝∠B'BO. ∵EF∥BC，∴∠OB'B＝∠B'BC，∴∠P'BO＝∠B'BO＝∠B'BC， ∴BB'是∠NBC的一条三等分线.
4. [2023江苏无锡中考，较难]如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝ 60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻 折得到四边形PB'C'Q.
(1)当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；
(2)当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S 关于x的函数解析式.