2025中考复习数学考点专题探究课件：专题12　几何图形动态探究

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专题12　几何图形动态探究
1. [2023吉林中考，中]如图，在正方形ABCD中，AB＝4 cm，点O是对角线 AC的中点.动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1 cm/s的速度沿边 AB向终点B匀速运动，点Q以2 cm/s的速度沿折线BC－CD向终点D匀速运 动.连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA－AB于点 N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN. 设点P的运动时间为 x(s)(0＜x＜4)，四边形PQMN的面积为y(cm2).
(1)BP的长为 　　　cm，CM的长为 　　　cm.
(用含x的代数式表示)
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(2)当0＜x≤2时，点Q在BC上，如图(1)所示.
由(1)可得△ANP≌△CQM，同理可得△PBQ≌△MDN.
∵PB＝4－x，QB＝2x，MC＝x，QC＝4－2x，
当2＜x＜4时，点Q在CD上，如图(2)所示，
则AP＝x，AN＝CQ＝2x－CB＝2x－4，
∴PN＝AP－AN＝x－(2x－4)＝－x＋4，
∴y＝(－x＋4)×4＝－4x＋16.
(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值.
①当0＜x≤2，四边形PQMN是矩形时，如图(3)所示，此时∠PQM＝ 90°，∴∠MQC＋∠PQB＝90°.
∵∠B＝90°，∴∠QPB＋∠PQB＝90°，
当四边形PQMN是菱形时，PQ＝MQ，∴(4－x)2＋(2x)2＝x2＋(4－ 2x)2，解得x＝0(舍去).
解决动点问题，要分析三点：从哪开始，到哪去，速度是多少.
2. [2024广东江门一模，中]在正方形ABCD的边AB上任取一点E，连接 CE，一条与CE垂直的直线l(垂足为点M)沿CE方向，从点C开始向上平 移，交边BC于点F.

(1)如图(1)，当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，求证：BE＝CF；
(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝ CD，
∴∠BCE＋∠DCM＝90°.
∵CE⊥DF，∴∠CDF＋∠DCM＝90°，
∴∠BCE＝∠CDF.
∴△BCE≌△CDF(ASA)，
(2)如图(2)，当直线l经过CE的中点时，与对角线BD交于点N，连接CN， EN，求∠NCE的度数；
(3)如图(3)，直线l继续向上平移，当点M恰好落在对角线BD上时，交边AD 于点G，设AB＝4，BE＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式.
(3)【解】如图(2)，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，
∴FT＝AB，BF＝AT，∠FTG＝∠CFT＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝FT，∠ABC＝90°.
∵CE⊥FG，∴∠CMF＝90°，
∴∠CFM＋∠BCE＝90°.
∵∠CFM＋∠GFT＝90°，∴∠BCE＝∠GFT.
∴△BCE≌△TFG(ASA)，∴BE＝GT＝x.
∴CD＝AB＝AD＝4，BE∥CD，BF∥DG，
∴△BEM∽△DCM，△BFM∽△DGM，
3. [2023黑龙江牡丹江中考，较难]▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接 DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.

(1)当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图(1)，求证：AE＋EC＝BF；
(1)【证明】∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB＝90°.∵∠ABC＝45°， ∴∠BAE＝∠ABC＝45°，∴BE＝AE. ∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，∴∠DEF＝90°，EF＝ ED，∴∠BEF＝∠AED＝90°－∠AEF. ∵BE＝AE，∠BEF＝ ∠AED，EF＝ED，∴△BEF≌△AED(SAS)，∴BF＝AD. ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，∴AE＋EC＝BE＋EC＝BC＝ AD＝BF，即AE＋EC＝BF.
(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图(2)；当点E在线段CB 延长线上，∠ABC＝135°时，如图(3)，请猜想并直接写出线段AE，EC， BF的数量关系；
(2)【解】题图(2)：AE－EC＝BF；题图(3)：EC－AE＝BF.
理由：如题图(2)，∵AE⊥BC交BC的延长线于点E，∴∠AEB＝ 90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝∠ABC＝45°，∴BE＝AE. ∵将ED 绕点E逆时针旋转90°，得到EF，∴∠DEF＝90°，EF＝ED， ∴∠BEF＝∠AED＝90°－∠AEF. ∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED， EF＝ED，∴△BEF≌△AED(SAS)，∴BF＝AD. ∵BC＝AD，∴AE －EC＝BE－EC＝BC＝AD＝BF，即AE－EC＝BF.
如题图(3)，∵AE⊥BC交CB的延长线于点E，∴∠AEB＝ 90°.∵∠ABC＝135°，∴∠ABE＝180°－∠ABC＝45°，∴∠BAE＝ ∠ABE＝45°，∴BE＝AE. ∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF， ∴∠DEF＝90°，EF＝ED，∴∠BEF＝∠AED＝90°－∠BED. ∵BE ＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，∴△BEF≌△AED(SAS)，∴BF ＝AD. ∵BC＝AD，∴EC－AE＝EC－BE＝BC＝AD＝BF，即EC －AE＝BF.
(3)在(1)、(2)的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝ 　　　　　.
(1)填空：如图(1)，点C的坐标为 　　　　，点G的坐标为 　　　　.
连接AC，BD交于点P，如图(1)所示.
(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，点E，F， G，H的对应点分别为E'，F'，G'，H'.设EE'＝t，矩形E'F'G'H'与菱 形ABCD重叠部分的面积为S.
①如图(2)，当边E'F'与AB相交于点M、边G'H'与BC相交于点N，且矩形 E'F'G'H'与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直 接写出t的取值范围；
∴△CAD为等边三角形，∴∠CDA＝60°.