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初中数学沪教版（五四制）（2024）六年级上册（2024）1.1 有理数评优课教学课件ppt
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这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）六年级上册（2024）1.1 有理数评优课教学课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了学习目标，情景导入，新知探究，概念归纳，典例剖析，或－4，练一练，绝对值的代数意义，绝对值的性质，非负数等内容，欢迎下载使用。
1.知道绝对值的概念，用数轴体会绝对值的实际意义.
2.会求一个数的绝对值，能解决与绝对值相关的问题 （重点）.
3.绝对值的实际意义（难点）.
体育课上，你和同学在操场上玩扔沙包的游戏，如果你向左扔一个沙包，落在离你 10 米的地方，向右扔了一个，落在离你同样远的位置，规定向右为正.（1）两次的位置分别可以记作什么？（2）它们与你的距离都是多少米？
同学们，老师这里有几个问题，你们能帮老师解答一下吗？早晨小明爸爸开车送小明去学校，东行3千米到学校，之后向西行6千米到图书馆拿办公资料，如果规定向东为正，且小明家、学校、图书馆在同一条直线上.（1）计算小明爸爸所行的总路程.（2）请你画一条数轴，原点表示小明家，在数轴上画出表示学校、图书馆的点，学校和图书馆在数轴上表示的数是多少？到小明家的距离分别是多少？
如图，小海家、乐乐家分别离学校多远？（图中的单位长度为1km）
在数轴上，表示小海家的点A和表示乐乐家的点B分别位于表示学校的点(原点)的两侧，它们对应的数分别是3和一3，它们与原点的距离都是3km.
1.绝对值的概念及几何意义
当我们只需要研究小海家、乐乐家与学校的距离，不需要考虑方向，也就是只研究点A、点B与原点的距离时，我们就说点A、点B与原点的距离都3km，我们把3叫作3的绝对值，它也是一3的绝对值.
※0的绝对值是0，|0|=0.
一般地，数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|，读作“绝对值a”或“a的绝对值”。
例1：点A，B，C在数轴上的位置如图所示：(1)点A表示的数是________，它到原点的距离是____，所以|－2|＝____；(2)点B表示的数是___，它到原点的距离是____，所以|0|＝____；(3)点C表示的数是_____，它到原点的距离是____，所以|4|＝____．
1.到原点距离为4的数是 4或－4 ，|－5|的相反数是 －5 .
2.已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么数轴上到点A的距离是3的点所表示的数有( D )
3.求下列各数的绝对值.
解:(1)|－17|＝17；
(2)|－(－3.5)|＝|3.5|＝3.5；
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即（1）如果a>0，那么|a|=a; (2)如果a=0，那么|a|=0; (3)如果a<0,那么|a|=-a. 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0. 绝对值相等，符号不同的两个数互为相反数。
绝对值等于正数a的数有两个，分别是a和-a.
4.若|x|＝x，则x是( )A．正数 B．0 C．非负数 D．都不对5.【探究】填空：①|＋4|＝____，|－4|＝____，|＋4|＝|－4|＝____；②|－3|＝____，|＋3|＝____，|－3|＝|＋3|＝____；③|0|＝____．
【发现】①绝对值是一个正数的数有___个，它们互为______数；②根据上面的规律发现，不论正数、负数，还是0，它们的绝对值一定是__________．【应用】①若|x|＝2，则x的值是( )A．2 B．－2 C．±2 D．都不对②若|a－1|＋|b－2|＝0，则a＝____，b＝____．
1．绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
0的绝对值是它本身，0的绝对值也是它的相反数！
注：(1)任何数都有绝对值，并且只有一个；(2)如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等；(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数；(4)求一个数的绝对值的两种方法：①判断这个数的符号，根据绝对值的代数意义求解；②根据绝对值的几何意义求解．
例.某车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数.
请指出第几个零件好些，并用学过的绝对值知识来说明什么样的零件好些.
解:因为|＋0.2|＝0.2，|－0.3|＝0.3，|－0.2|＝0.2，|＋0.3|＝0.3，|＋0.4|＝0.4，|－0.1|＝0.1，显然|－0.1|最小，第6个零件好些.因为根据绝对值的意义，绝对值越小，说明它与零件规定的直径越接近，所以在表中绝对值最小的那个零件好.
6.已知某零件的标准直径是100 mm，超过标准直径长度的数量(mm)记作正数，不足标准直径长度的数量(mm)记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下表:
(1)哪件样品的大小最符合要求？
解:(1)第4件样品的大小最符合要求.
(2)如果规定误差的绝对值在0.18 mm之内是正品，误差的绝对值在0.18~0.22 mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22 mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？
(2)因为|＋0.1|＝0.1＜0.18，|－0.15|＝0.15＜0.18，|－0.05|＝0.05＜0.18，所以第1、2、4件样品是正品；因为|0.2|＝0.2，0.18＜0.2＜0.22，所以第3件样品为次品；因为|＋0.25|＝0.25＞0.22，所以第5件样品为废品.
2.写出下列各数的绝对值：
1.在数轴上，到原点的距离等于3.5个单位长度的点所表示的有理数是 。
3.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等？请举例说明。
解：绝对值相等，两个数可能相等，也可能两个数互为相反数。例如，3和-3的绝对值都为3 ，但是3和-3不相等，而是互为相反数。
知识点1 绝对值的定义1. －6的绝对值是( A )
2. [新考法 定义法]如图，点 A 所表示的数的绝对值是 ( A )
因为点 A 表示的数是－3，所以点 A 所表示的数的绝 对值是3.
3. [新考法·数形结合法 2023·长春]数 a ， b ， c ， d 在数轴上 对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是 ( B )
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反 数，因此解此类题要考虑全面，不要丢解.
知识点3 绝对值的应用6. [2023·淄博]－｜－3｜的运算结果等于( B )
7. [2024·重庆一中模拟]数 a 在数轴上的对应点在原点左边， 且｜ a ｜＝4，则 a 的值为( C )
因为数 a 在数轴上的对应点在原点左边，所以 a ＜0. 又因为｜ a ｜＝4，所以 a ＝－4.
8. 若｜ a ｜＝－ a ，则在下列选项中， a 不可能是( D )
因为｜ a ｜＝－ a ，
所以 a 不可能是正数.
9. 有理数中绝对值等于它本身的数是( D )
有理数中绝对值等于它本身的数是正数和0，即非负 数.故选D.
10. [新考法 非负性求最值法]已知｜ x ｜是非负数，且非负 数中最小的数是0.(1)当 x ＝ 时，｜ x －2 026｜有最小值，这个最 小值是 ；(2)当 x ＝ 时，2 026－｜ x －1｜有最大值，这个最 大值是 .
易错点 忽略0也是绝对值等于其相反数的数而致错11. [新考法 逆向思维法]如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取值范围是( A )
【解析】本题易漏掉“0”这个特殊数.因为当 a ＞0时，｜a｜＝ a ；当 a ＜0时，｜a｜＝－ a ；当 a ＝0时，｜ a ｜＝ a ＝－ a ，所以当 a ≤0时，｜ a ｜＝－ a .因为｜ x －2｜＝2－ x ，所以 x －2≤0，所以 x ≤2.
(2)上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对 值最小？
【解】202的绝对值最大，0的绝对值最小.
(3)由(1)(2)探究：①有理数中哪个数的绝对值最小？②所有有理数的绝对值是什么数？有负数吗？
有理数中0的绝对值最小.所有有理数的绝对值是非负数，没有负数.
13. [新视角 结论探究题]观察比较：｜2｜＝2，｜－2｜＝2，｜3｜＝3，｜－3｜＝3，…，｜ x ｜＝ x ，｜－ x ｜＝ x ( x ≥0).(1)若｜ a ｜＝2，则 a ＝ ；若｜ a ｜＝0，则 a ＝ ；若｜ a ｜＝5，则 a ＝ .
(2) a ， b 表示任意有理数，若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a 与 b 之间有什么关系？
【解】 a ＝± b .
14. [新考向 知识情境化]一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点 A1， A2， A3， A4， A5表示，如图.
(1)站在点 上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点 和点 ，点 和点 上的机器人表示的数的绝对值相等.
【解析】因为｜－4｜最大，所以站在点 A1上的机器人表示的数的绝对值最大.因为｜－3｜＝｜3｜，｜－1｜＝｜1｜，所以站在点 A2和点 A5，点 A3和点 A4上的机器人表示的数的绝对值相等.
(2)怎样将点 A3移动，使它先到达点 A2，再到达点 A5，请用文字语言说明.
【解】将点 A3先向左移动2个单位长度到达点 A2，再向右移动6个单位长度到达点 A5.
(3)若原点是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？
【解】｜－4｜＋｜－3｜＋｜－1｜＋｜1｜＋｜3｜＝12.
答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12.
15. 同学们都知道，｜5－(－2)｜表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：(1)｜5－(－2)｜＝ .
(2)猜想：对于任意有理数 x ，｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
【解】有最小值.因为｜ x －(－6)｜表示数轴上 x 所对应的点到－6所对应的点的距离，｜ x －3｜表示数轴上 x 所对应的点到3所对应的点的距离，所以｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜表示数轴上 x 所对应的点到－6和3所对应的两点的距离之和，所以当 x 所对应的点在－6和3所对应的两点之间(包括端点)时，｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜有最小值，最小值为9.
1.知道绝对值的概念，用数轴体会绝对值的实际意义.
2.会求一个数的绝对值，能解决与绝对值相关的问题 （重点）.
3.绝对值的实际意义（难点）.
体育课上，你和同学在操场上玩扔沙包的游戏，如果你向左扔一个沙包，落在离你 10 米的地方，向右扔了一个，落在离你同样远的位置，规定向右为正.（1）两次的位置分别可以记作什么？（2）它们与你的距离都是多少米？
同学们，老师这里有几个问题，你们能帮老师解答一下吗？早晨小明爸爸开车送小明去学校，东行3千米到学校，之后向西行6千米到图书馆拿办公资料，如果规定向东为正，且小明家、学校、图书馆在同一条直线上.（1）计算小明爸爸所行的总路程.（2）请你画一条数轴，原点表示小明家，在数轴上画出表示学校、图书馆的点，学校和图书馆在数轴上表示的数是多少？到小明家的距离分别是多少？
如图，小海家、乐乐家分别离学校多远？（图中的单位长度为1km）
在数轴上，表示小海家的点A和表示乐乐家的点B分别位于表示学校的点(原点)的两侧，它们对应的数分别是3和一3，它们与原点的距离都是3km.
1.绝对值的概念及几何意义
当我们只需要研究小海家、乐乐家与学校的距离，不需要考虑方向，也就是只研究点A、点B与原点的距离时，我们就说点A、点B与原点的距离都3km，我们把3叫作3的绝对值，它也是一3的绝对值.
※0的绝对值是0，|0|=0.
一般地，数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|，读作“绝对值a”或“a的绝对值”。
例1：点A，B，C在数轴上的位置如图所示：(1)点A表示的数是________，它到原点的距离是____，所以|－2|＝____；(2)点B表示的数是___，它到原点的距离是____，所以|0|＝____；(3)点C表示的数是_____，它到原点的距离是____，所以|4|＝____．
1.到原点距离为4的数是 4或－4 ，|－5|的相反数是 －5 .
2.已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么数轴上到点A的距离是3的点所表示的数有( D )
3.求下列各数的绝对值.
解:(1)|－17|＝17；
(2)|－(－3.5)|＝|3.5|＝3.5；
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即（1）如果a>0，那么|a|=a; (2)如果a=0，那么|a|=0; (3)如果a<0,那么|a|=-a. 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0. 绝对值相等，符号不同的两个数互为相反数。
绝对值等于正数a的数有两个，分别是a和-a.
4.若|x|＝x，则x是( )A．正数 B．0 C．非负数 D．都不对5.【探究】填空：①|＋4|＝____，|－4|＝____，|＋4|＝|－4|＝____；②|－3|＝____，|＋3|＝____，|－3|＝|＋3|＝____；③|0|＝____．
【发现】①绝对值是一个正数的数有___个，它们互为______数；②根据上面的规律发现，不论正数、负数，还是0，它们的绝对值一定是__________．【应用】①若|x|＝2，则x的值是( )A．2 B．－2 C．±2 D．都不对②若|a－1|＋|b－2|＝0，则a＝____，b＝____．
1．绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
0的绝对值是它本身，0的绝对值也是它的相反数！
注：(1)任何数都有绝对值，并且只有一个；(2)如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等；(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数；(4)求一个数的绝对值的两种方法：①判断这个数的符号，根据绝对值的代数意义求解；②根据绝对值的几何意义求解．
例.某车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数.
请指出第几个零件好些，并用学过的绝对值知识来说明什么样的零件好些.
解:因为|＋0.2|＝0.2，|－0.3|＝0.3，|－0.2|＝0.2，|＋0.3|＝0.3，|＋0.4|＝0.4，|－0.1|＝0.1，显然|－0.1|最小，第6个零件好些.因为根据绝对值的意义，绝对值越小，说明它与零件规定的直径越接近，所以在表中绝对值最小的那个零件好.
6.已知某零件的标准直径是100 mm，超过标准直径长度的数量(mm)记作正数，不足标准直径长度的数量(mm)记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下表:
(1)哪件样品的大小最符合要求？
解:(1)第4件样品的大小最符合要求.
(2)如果规定误差的绝对值在0.18 mm之内是正品，误差的绝对值在0.18~0.22 mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22 mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？
(2)因为|＋0.1|＝0.1＜0.18，|－0.15|＝0.15＜0.18，|－0.05|＝0.05＜0.18，所以第1、2、4件样品是正品；因为|0.2|＝0.2，0.18＜0.2＜0.22，所以第3件样品为次品；因为|＋0.25|＝0.25＞0.22，所以第5件样品为废品.
2.写出下列各数的绝对值：
1.在数轴上，到原点的距离等于3.5个单位长度的点所表示的有理数是 。
3.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等？请举例说明。
解：绝对值相等，两个数可能相等，也可能两个数互为相反数。例如，3和-3的绝对值都为3 ，但是3和-3不相等，而是互为相反数。
知识点1 绝对值的定义1. －6的绝对值是( A )
2. [新考法 定义法]如图，点 A 所表示的数的绝对值是 ( A )
因为点 A 表示的数是－3，所以点 A 所表示的数的绝 对值是3.
3. [新考法·数形结合法 2023·长春]数 a ， b ， c ， d 在数轴上 对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是 ( B )
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反 数，因此解此类题要考虑全面，不要丢解.
知识点3 绝对值的应用6. [2023·淄博]－｜－3｜的运算结果等于( B )
7. [2024·重庆一中模拟]数 a 在数轴上的对应点在原点左边， 且｜ a ｜＝4，则 a 的值为( C )
因为数 a 在数轴上的对应点在原点左边，所以 a ＜0. 又因为｜ a ｜＝4，所以 a ＝－4.
8. 若｜ a ｜＝－ a ，则在下列选项中， a 不可能是( D )
因为｜ a ｜＝－ a ，
所以 a 不可能是正数.
9. 有理数中绝对值等于它本身的数是( D )
有理数中绝对值等于它本身的数是正数和0，即非负 数.故选D.
10. [新考法 非负性求最值法]已知｜ x ｜是非负数，且非负 数中最小的数是0.(1)当 x ＝ 时，｜ x －2 026｜有最小值，这个最 小值是 ；(2)当 x ＝ 时，2 026－｜ x －1｜有最大值，这个最 大值是 .
易错点 忽略0也是绝对值等于其相反数的数而致错11. [新考法 逆向思维法]如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取值范围是( A )
【解析】本题易漏掉“0”这个特殊数.因为当 a ＞0时，｜a｜＝ a ；当 a ＜0时，｜a｜＝－ a ；当 a ＝0时，｜ a ｜＝ a ＝－ a ，所以当 a ≤0时，｜ a ｜＝－ a .因为｜ x －2｜＝2－ x ，所以 x －2≤0，所以 x ≤2.
(2)上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对 值最小？
【解】202的绝对值最大，0的绝对值最小.
(3)由(1)(2)探究：①有理数中哪个数的绝对值最小？②所有有理数的绝对值是什么数？有负数吗？
有理数中0的绝对值最小.所有有理数的绝对值是非负数，没有负数.
13. [新视角 结论探究题]观察比较：｜2｜＝2，｜－2｜＝2，｜3｜＝3，｜－3｜＝3，…，｜ x ｜＝ x ，｜－ x ｜＝ x ( x ≥0).(1)若｜ a ｜＝2，则 a ＝ ；若｜ a ｜＝0，则 a ＝ ；若｜ a ｜＝5，则 a ＝ .
(2) a ， b 表示任意有理数，若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a 与 b 之间有什么关系？
【解】 a ＝± b .
14. [新考向 知识情境化]一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点 A1， A2， A3， A4， A5表示，如图.
(1)站在点 上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点 和点 ，点 和点 上的机器人表示的数的绝对值相等.
【解析】因为｜－4｜最大，所以站在点 A1上的机器人表示的数的绝对值最大.因为｜－3｜＝｜3｜，｜－1｜＝｜1｜，所以站在点 A2和点 A5，点 A3和点 A4上的机器人表示的数的绝对值相等.
(2)怎样将点 A3移动，使它先到达点 A2，再到达点 A5，请用文字语言说明.
【解】将点 A3先向左移动2个单位长度到达点 A2，再向右移动6个单位长度到达点 A5.
(3)若原点是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？
【解】｜－4｜＋｜－3｜＋｜－1｜＋｜1｜＋｜3｜＝12.
答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12.
15. 同学们都知道，｜5－(－2)｜表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：(1)｜5－(－2)｜＝ .
(2)猜想：对于任意有理数 x ，｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
【解】有最小值.因为｜ x －(－6)｜表示数轴上 x 所对应的点到－6所对应的点的距离，｜ x －3｜表示数轴上 x 所对应的点到3所对应的点的距离，所以｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜表示数轴上 x 所对应的点到－6和3所对应的两点的距离之和，所以当 x 所对应的点在－6和3所对应的两点之间(包括端点)时，｜ x －(－6)｜＋｜ x －3｜有最小值，最小值为9.
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