福建省莆田市荔城区莆田九中等校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份福建省莆田市荔城区莆田九中等校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下面几对图形中，相似的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
2．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．下面几对图形中，相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．9
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而减小
8．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，点，分别在，CD上，连接，，，．若，则一定等于（ ）

A．B．C．D．
10．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
11．若是方程的根，则 ．
12．如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则 °
13．若是关x的方程的解，则的值为 ．
14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
15．如图，为正方形的对角线，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，若，则 ．

16．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ，其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题
17．解方程：．
18．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
19．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．

(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)将向左平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．
21．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
22．如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：．
23．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)求的面积最大值．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
26．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：，，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．
2．B
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D．是一元三次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
3．C
【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可．
【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似；
故选：C．
4．C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
5．A
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；
B不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
6．D
【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的性质，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
7．C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
8．B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
9．A
【分析】利用三角形逆时针旋转90°后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】将绕点逆时针旋转90°至，

∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．
10．A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
11．1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
12．60
【分析】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，根据三角形内角和定理以及旋转的性质可得，然后根据平角的定义，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，
∴．
∵点恰好落在的延长线上，
∴．
故答案为：60．
13．2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
14．149/159
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
15．
【分析】由正方形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得，，，证明，得到，设，则，，从而得到，求出的值即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，为正方形的对角线,
，，，
平分,
，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，，
，
,
，
，
设，则，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
16．①②
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及最大值和最小值进行综合判断即可．
【详解】解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，故③错误；
综上所述，结论正确的是①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
17．，
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，．
18．(1)m＝3
(2)m＝±1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或或m-1=0，
解得m＝±1或m＝0，m＝2，
当m＝±1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
19．(1)
(2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米．
【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可；
（2）利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米，
，
，
，
y关于x的函数表达式为；
（2）解：，
∴当时，y取得最大值，此时，
即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答．
20．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)；
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，；
（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心.
【详解】（1）解：如图，
点，，的坐标分别是，，，
将向左平移6个单位长度后，点，，的对应点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
（2）如图，
点，，关于点的对称点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
（3）如图，若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质.
21．(1)10
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题．
（1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案．
（2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案．
【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，
；
（2）解：．
22．见解析
【分析】先用旋转的性质和证明，从而得到，最后用平行线的判定定理证明即可．
【详解】
等边 中，∴ ，
∵线段 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
在 与 中，
∴
∴ ，
∴
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．(1)
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，
设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
24．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)的面积最大值为
【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解；
（3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图所示，过点作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
∴的面积最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键．
25．(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
26．(1)k的值为，m的值为3，n的值为2；
(2)①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析；
(3)能构成正方形，此时．
【分析】（1）根据题意得到即可解答；
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；
（3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
C
A
D
C
B
A
A