福建省莆田市哲理中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份福建省莆田市哲理中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．任意两个平行四边形B．任意两个正方形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形
2.方程2x2﹣6x+9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 6，2，9B. 2，﹣6，9C. 2，6，9 D. 2，﹣6，﹣9
3. 一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A. （x﹣3）2＝15B. （x﹣3）2＝3 C. （x+3）2＝15 D. （x+3）2＝3
4. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和10cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm
5.将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A． B． C． D．
6.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是( )
A.23 B.1 C.32 D.2
7.某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元,已知第一季度的总营业额共600万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A. B.
C. D.
8.已知抛物线y=ax 2 +bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x＞-1
C．-1＜x＜3 D．x＜-1 或 x＞3
9.如图，D为△ABC的边AB上一点，若AB＝15，AC＝10，AD＝3，在AC边上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为( )
A.2 B. 3.5 C.2或 4.5 D. 2或3.5
10．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．可以找到一个实数a，使得y2＜0
C．无论实数a取什么值，都有y1＞a D．无论实数a取什么值，都有y2＜0
二、填空题
11.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝2cm，A′B′＝4cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比是____．
12.抛物线y＝x2的对称轴是 ．
13.二次函数，当x＜0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
14.如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为____．
15.设是方程的两实数根，则 ．
16.在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数
y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
三、解答题
17.解方程：
18.如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值．
(第18题) (第19题) (第20题)
19.如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
20.如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．
21.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝，求∠ACB的大小．
22.已知关于x的一元二次方程：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根；
（2）当m＝﹣7时，此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长，求菱形ABCD的面积．
23.【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：
如图（1），在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且．连结AD，BE交于点G，则= ．
【拓展】
（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M，若，求的值．

（2）
24.中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
25.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.求的最大值．
参考答案与试题解析
一．解答题（共2小题）
1．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝，求∠ACB的大小．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【解答】解：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵＝，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2．【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且．连结AD，BE交于点G，求的值．
小明发现，过点D作DH∥AC交BE于H，可证明△AGE≌△DGH，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
解：如图①，过点D作DH∥AC交BE于H，则∠EAG＝∠HDG，∠AEG＝∠DHG，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴，
∴BH＝EH，
∴，
∵E是AC的一个三等分点，且，
∴，
∴AE＝DH，
∴△AGE≌△DGH．
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在△ABC中，D为AC上一点，AB＝AD，连结BD，若AE⊥BD，交BD、BC于点E、F．若AD＝6，CD＝2，AF＝5，则AE的长为 ．
【拓展提高】
（3）如图③，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M，若，则的值为 ．
【考点】相似形综合题．
【解答】【感知】解：如图①，过点D作DH∥AC交BE于H，则∠EAG＝∠HDG，∠AEG＝∠DHG，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝＝1，
∴BH＝EH，
∴DH＝CE，
∵E是AC的一个三等分点，且AE＝AC，
∴AE＝CE，
∴DH＝AE，
∴△AGE≌△DGH（ASA），
∴GH＝GE，
∴BG﹣GH＝GE+GH，
∴BG＝3GE，
∴＝3，
∴的值为3.
【尝试应用】解：如图②，取BC的中点H，连结EH，则BH＝CH，
∵AB＝AD＝6，AE⊥BD于点E，CD＝2，AF＝5，
∴BE＝DE，AC＝AD+CD＝6+2＝8，
∴EH∥CD，EH＝CD＝1，
∵EH∥AC，
∴△EHF∽△ACF，
∴＝＝，
∴EF＝AF＝×5＝，
∴AE＝AF﹣EF＝5﹣＝，
∴故答案为：．
【拓展提高】解：如图③，作EL∥BF交AC于点L，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∴＝＝1，
∴ML＝CL＝CM，
∴CM＝2ML，MB＝2LE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF∥AB，
∴△CMF∽△AMB，
∴＝＝＝，
∵AM＝m•CM＝m×2ML＝2m•ML，
∵EL∥GM，
∴△AEL∽△AGM，
∴＝＝＝，
∴LE＝MG，
∴MB＝2LE＝2×MG＝MG，
∴BG＝MB﹣MG＝MG﹣MG＝MG，
∴＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25