福建省莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题

这是一份福建省莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各点中，在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知是反比例函数图象上的两点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．如果函数是反比例函数，那么的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，是的边的延长线上一点，连接交于，则图中共有相似三角形（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，淇淇的身高为，则树高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．在四边形中，垂直平分，点为垂足．设，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点是的重心，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是________．
12．如图，点A在反比例函数图像上，轴，垂足为点．若，则该反比例函数的表达式是________．
13．如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为_______米．
14．正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是_____．
15．如图表示为为位似中扩大到，各点坐标分别为：，，则点坐标为_______．
16．如图中，，点从点出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向以的速度移动。若同时分别从出发，经过_______时，与相似？
三、解答题（共86分）
17．（8分）已知是的反比例函数，当时，．
（1）写出与的函数关系式；
（2）求当时的值．
18．（8分）已知：如图，点是的边延长线上一点，交于点．若，试求的长．
19．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
交轴于点，交轴于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出于轴的对称图形；
（2）以原点为位似中心，在轴左边画一个，使它与的相似比为，并写出顶点的坐标。
21．（8分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．
（1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；
（2）若水温从开始加热至，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？
22．（10分）如图，在中，，点从运动到，且．
（1）求证：；
（2）若，求当长为多少时，．
23．（10分）如图，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，求灯光反射到墙面上的高度．
24．（12分）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，分别在上，交于点．设．
（1）当四边形为正方形时，求的值；
（2）求矩形的最大面积．
25．（14分）如图，四边形是矩形，顶点分别在轴和轴上，，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（3）点是边上一点，若，试说明线段与线段的关系．
2023-2024学年（上）沙堤中学九年级第四阶段考数学
答案
一、选择题
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D 9.D 10.C
二、填空题
11.<-2 12. 13.9 14.（-2 ，3） 15.（ ，）
16.和
三、解答题
17．（1）y=;（2）.
【分析】（1）利用反比例函数的定义得到，设y+1=，把x=3，y=7代入求出k即可得到y与x的函数关系式；
（2）计算自变量为7对应的函数值即可．
【详解】（1）设y+1=，
当x=3时，y=7，
所以7+1=，解得k=24，
∴y=-1；
（2）当x=7时，y=-1=-1=.
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
18.∵ □ABCD
∴AB∥CD
∴△ABE∽△ECF，
∴= ∴
解得:CF=4.5
答：CF的长为4.5
19．（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为；（2）10.5；（3）或
【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把，的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点坐标，得到的值，根据三角形的面积公式求出即可；
【详解】解：（1）∵把A（-2，-5）代入代入得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵把C（5，n）代入得反比例函数中得：，
∴C点的坐标为（5，2），
∵把A、C的坐标代入得：，
∴
∴一次函数解析式为；
（2）把y=0代入得：x=3，
∴D点坐标为（3，0），
∴OD=3，
∴；
20．（1）作图见解析；
（2）作图见解析，．
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到；
（2）以为位似中心，在轴左边作的位似图形，使各边为的一半，再写出点的坐标即可．．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：如图，即为所求，顶点的坐标为顶点．
．
此题考查了作图：轴对称作图及位似作图，以及点的坐标，正确掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键．
21．（1）
（2）
【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是：
（1）设水温下降过程中，与的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；
（2）分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．
【详解】（1）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
水温下降过程中，与的函数关系式是；
（2）解：在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为．
22.【分析】（1）先根据得出，证明，得出，根据相似三角形性质得出，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得出，证明，得出，根据，，求出，即可得出当时，．
【详解】（1）解：证明：，，
，
，，
，
，
，
．
（2）如图，，
，
又，
，
，
，，
，
，
即当时，．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握相似三角形的判定和性质是关键．
23．灯光反射到墙面上的高度为m．
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，跨学科的综合题，先证明，可得，再证明，再结合相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得．
答：灯光反射到墙面上的高度为．
24．（1） （2）5
【分析】（1）由，可得，则，由，证明，则，即，计算求解即可；
（2）设，则，，同理（1），则，即，解得，，由，二次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，，，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，解得，，
∴x的值为；
（2）解：设，则，，
同理（1），
∴，即，解得，，
∴，
∵，
∴当时，矩形的面积最大，最大面积为5．
25．（1） （2），
（3），，理由见详解
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）可知，然后可得反比例函数解析式，进而问题可求解；
（3）根据相似三角形的性质可直接进行求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴；
（2）解：∵反比例函数的图象经过的中点D，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点E在线段上，
∴点E的纵坐标为8，
∴，即，
∴；
（3）解：设相交于点H，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．