河北省石家庄市第二十五中学2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份河北省石家庄市第二十五中学2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟，满分120分
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1-6题各3分；7-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：
可得
故选C.
2. 如图，点A，B，C均在上，连接OA、OC，当时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：该扇形的弧长＝.
故选C．
4. 用公式法解方程，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
5. 小丽和小强在阳光下行走，小强身高1.6米，他的影长2.0米，小强比小丽高10，此刻小丽的影长是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
解析：∵小强身高1.6米，小强比小丽高10，
∴小丽的身高为1.5米
设小丽的影长为x米，
由题意得，
解得：．
故选：D．
6. 点，，都在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
在每一象限随的增大而增大，
而，
点在第四象限，、点在第二象限，
．
即．
故选：A．
7. 如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（ ）
A. 点DB. 点EC. 点FD. 点G
【答案】A
解析：解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点，
故选A．
8. 某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
故选：A．
9. 如图，某梯子长15米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）

A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】C
解析：如图，

在中，，，
∴，；
在中，，，
∴，
∴梯子顶端上升高度，
故选：C．
10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵四边形是的内接四边形，
∴
，
∴
∵，
∴
∴
∴
故选：B．
11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
解析：解：设关于x的一元二次方程的另一个根为，
则，
解得，
故选：．
12. 在某次同学聚会上，每两人都互赠了一件礼物，所有人共送了份礼物，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：解：∵每两人都互赠了一件礼物，
∴每个人有件礼物，
故可列方程：
故选：A
13. 如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：连接、，
是直径，
，
，
，
的度数为，
，
．
故选：B．
14. 某班在统计全班人的体重时，算出中位数与平均数都是千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重千克错写成了千克，经重新计算后，正确的中位数为千克，正确的平均数为千克，那么（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】A
解析：解：原数据中在中位数的右边，新数据中也在中位数的右边，所以中位数不变，新数据比原数据少了，而数据的个数没有变化，所以正确平均数，则，
故选：．
15. 如图，在中，是的直径，，，M是上一动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M，
此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合
由垂径定理，，
∴，
∵，为直径，
∴为直径，
即
∴的最小值是
故选：D．
16. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A. 玻璃加热速度为
B. 玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C. 能够对玻璃进行加工时长为
D. 玻璃从降至室温需要的时间为
【答案】B
解析：解：由图像得，设，
将点代入可得，
，，
解得：，，
∴，
故A错误，B正确，
当时，
，解得，
故D错误，
当时，，，
解得：，，
故加工时长为：，
故C错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18-19小题各4分，每空2分，把答案写在题中横线上）
17. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成_______．
【答案】##
解析：解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为: ．
18. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点C落在边上，

（1）旋转角的度数是________．
（2）线段扫过部分的面积为_________；（结果保留）
【答案】 ①. ②.
解析：解：（1）∵，，
∴，
∴旋转角的度数，
故答案为：；
（2）∵，，，
∴，
∵旋转角为，
∴，
∴线段所扫过部分的面积是．
故答案为：．
19. 如图，点E在边上，连接，将矩形沿着折叠，使点D恰好落在边上的F处，；
（1）__________；
（2）若，则_______；
【答案】 ①. ## ②. ##
解析：（1）∵
∴设，，
∵将矩形沿着折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴由（1）可得，解得
∴，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题．共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
20. 某厂生产A，B两种产品．其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图：
A，B产品单价变化统计表
并求得A产品三次单价的平均数和方差：
：．
（1）补全图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次的单价比上一次的单价降低了____%；
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小：
（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6．5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1．求m的值．
【答案】（1）见解析，25%；（2）B产品单价波动小；（3）25．
详解】解：（1）如图所示
（2），
．
∵，
∴B产品的单价波动小．
（3）第四次调价后，
对于A产品，这四次单价的中位数为；
对于B产品，∵m＞0，
∴第四次单价大于3．
又∵，
∴第四次单价小于4．
∴，
∴m＝25．
考点：统计概率，中位数，方差，平均数，和差倍分，降低或提高的百分率
21. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰的一腰长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【小问1详解】
证明：∵
，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵等腰的一腰长，
∴方程有一个根为6，
将代入原方程，得：，
解得：，
∴原方程为，
解得：．
∵2、6、6能组成三角形，
∴该三角形的周长为．
22. 如图，在四边形中，连接，其中，，，，，，
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求的大小；
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴．
23. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．求教学楼BC的高度．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）
【答案】教学楼BC的高度为米
解析：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝57米，DE＝30米，∠DAE＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝，
∴AE＝＝＝（米），
∴BE＝AB﹣AE＝米，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝米，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝米，
∴BC＝EF＝30﹣57+30＝米，
答：教学楼BC的高度为米．
24. 如图，一次函数与反比例函数的相交于A，B两点，且点A的坐标为．点B的横坐标为；
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当时，根据图像直接写出x的取值范围；
（3）连接，求的面积；
【答案】（1），
（2）或
（3）
【小问1详解】
解：把点，代入反比例函数
得：，
∴，
∵B的横坐标为，
把代入，
得，
∴
将代入一次函数，
得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，由函数图像可得：或；
【小问3详解】
解：设AB交y轴于点C，
当时，，
∴，
∴．
25. 如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB：
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长
【答案】（1）见解析；（2）2 （3）9
解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，
∴DB=DE；
（2）解：连接CD，如图，
∵∠BAC=90°，
∴BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠1=∠2，
∴DB=BC，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC=BD=4，
∴△ABC外接圆的半径为2；
（3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA，
∴△DBF∽△ADB，
∴=，即=，
∴AD=9．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）10-15；（2）t=或t=；（3）t=2.5；最小值为
解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴，
由题意知，，，
由BM=BN得
解得：
（2）①当△MBN∽△ABC时，
∴，即，
解得：
②当△NBM∽△ABC时，
∴， 即，
解得：．
∴当或时，△MBN与△ABC相似．
（3）过M作MD⊥BC于点D，可得：，设四边形ACNM的面积为y，
∴
．
∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．
此时，
第一次
第二次
第三次
A产品单价（元/件）
6
5．2
6．5
B产品单价（元/件）
3．5
4
3