培优06 三角函数求ω（六大题型）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

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题型01涉及对称性
例1．函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
由的图象在区间上恰有一个对称中心，得，
所以.
故选：C
例2．已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】C
【详解】根据图象关于直线对称可得，解得;
又关于点对称可得，解得；
经检验当时，符合题意.
故选：C
练习1．已知偶函数的图象关于点中心对称，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为偶函数，
所以，即或，
又的图象关于点中心对称，
所以，即，
所以，
因为，所以的最小值为.
故答案为：.
练习2．函数，若对恒成立，且在上有3条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【详解】由题知，当时取得最大值，即，
所以，即，
又在上有3条对称轴，所以，
所以，所以.
故选：B
练习3．已知函数（），若存在，，使得，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】.
因为存在，，使得，
所以，解得.
故答案为：
练习4．已知，，，，，满足，且，则 ．
【答案】/0.5
【详解】,
由可得，
故，
故，是函数的两个零点，
由于,则周期为，解得，
故答案为：
题型02涉及单调性
例3．若函数在区间上单调递减，则可取的最大整数值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由正弦函数单调性可知，解得；
此时可取的整数值为1，2；
因此可取的最大整数值为2.
故选：B
例4．已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围为 ．
【答案】.
【详解】因为函数，
令，可得，
即函数的单调递减区间为，
又因为函数在区间上单调递减，可得，
解得，
又由，可得，即且，所以，
令，可得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
练习1．若函数在上单调，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【详解】，则，
函数在上单调，
所以，解得：，
所以的最大值为.
故选：D
练习2．若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，不具备单调性，
当时，，
若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，
可得，因为在上是单调递增的，
所以在上不可能单调递减，所以不成立，
于是.
若函数在区间上单调递增，则
，，
若函数在区间上单调递增，则
，，
因为，所以时，，
综上所述，.
故答案为：.
练习3．定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】令，则，故的周期为，
又当时，，
的减区间为，，其中，
当，则，
故存在，使得
或，
故或（无解，舍），
而，故，故，
故实数的取值范围是.
故答案为：
练习4．已知函数，为的导函数，在上单调递减，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意得，，
由，则，
若在上单调递减，只需，解得
故答案为：
题型03涉及最值
例5．已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由函数，
因为，可得，
因为函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，
则满足，解得，所以的取值范围为.
故选：C.
例6．若函数，，，又，且的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【详解】依题意，函数，
由，得，由，得，
因此分别为函数的一个最大值点和一个最小值点，
则的最小值即为的最小正周期的一半，即，
所以.
故选：A
练习1．若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】时，，
依题意有，解得，
则的取值范围为.
故选：D.
练习2．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值，
则，解得，
所以的最小值是.
故选：B
练习3．已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，，
当时，，若在上有最小值没有最大值，
则，所以.
故选：D
练习4．设函数．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，
即，又，故.
故选：C.
题型04涉及极值、极值点
例7．已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，∴．又，∴．
当时，函数取到最小值，此时，．
解得，．
所以当时，.经检验满足题意
故选：C
例8．已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】已知函数，若，
所以，则①，
又在内有极小值，无极大值，则，所以，
又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，无解，故舍；
易知，当时，都无解，故不讨论；
综上，或，则可能的取值个数为.
故选：C.
练习1．已知函数 的最小正周期为，，且在区间内有极小值无极大值，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】因为，
由题意可得：，
，
即 ，
由题意可得,
解得，
即
存在的充要条件是 ，即，
，
又，且，
则点与点关于直线对称，
.
故选：A.
练习2．已知函数，，函数在上有且仅有一个极大值但没有极小值，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴．又，∴，所以，
因为，且函数在上有且仅有一个极大值但没有极小值，
所以当时，函数取到最大值（也是极大值），此时，．
解得，．
所以当时，,此时，
令，则，
所以函数图象在轴右侧的第一个最小值点的横坐标为，因，
故符合题设,
故选：B.
练习3．若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（ ）
A．8B．7C．D．
【答案】C
【详解】由函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，
可得，即，其中，
因为，当时，当时，
因为在区间内有唯一的极大值点，所以，
解得，即，所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，
所以的最大值为.
故选：C.
练习4．已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】，
由，且，则，
由函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.
故答案为：.
题型05涉及零点
例9．若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，
易知，令，
则由题意知.
故选：A
【点睛】思路点睛：先化简函数式，由，根据三角函数的图象结合五点作图法得出该函数在纵轴右侧的第一个零点与第二个零点分在两侧，计算即可.
例10．设函数，若函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，由正切型函数可知：的最小正周期，
且的零点为，，
显然在区间内至少有1个零点，在区间内至少有2个零点，
若函数在区间上有且仅有1个零点，
则，即，解得，
若，因为，则，
且，
即，
则，
结合题意可知：，0中有且仅有一个属于，
由题意可知：或，
解得：，所以的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：分析可知：在区间内至少有1个零点，在区间内至少有2个零点，结合周期性可知，可得必要性.
练习1．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
令，则由题意有3个根，所以，
解得，则的取值范围是.
故选：A
练习2．函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当，，
因为函数在上存在零点，所以，得，
当时，则，
由，可知，，则，则，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键1是整体代入求的范围，关键2是先根据存在零点确定.
练习3．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得：，
因为在区间上单调递增，
因为，，
所以，解得：，
又在区间上有且仅有1个零点，
所以，，
结合，所以，
所以这个零点可能为或或，
当时，，，
解得：，
当时，，，
解得：，
当时，无解，
综上：的取值范围为.
故选：A.
练习4．函数．
(1)若函数的图象在内没有对称轴，求的取值范围；
(2)若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的图象在内没有对称轴，
或
解得或，即的取值范围为．
（2）恒成立，
为的一个周期，即，解得①，
又在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，
，且，
解得②，
①②联立，得到的最小值为．
题型06涉及平移变换
例11．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，若函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的，得.
由，得.
令，由，得，
即，
欲使方程在上有且仅有4个实根，
则，所以，
故选:C.
例12．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，即
因为，所以，
因为在上无零点，所以，
即，解得，
因为，所以，.
故选：A
练习1．已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为函数，
将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数y=gx的图象，
则，
因为函数在区间上单调递增，
结合各选项，只需即可，
所以，即，
又因为，所以.
故选：C.
练习2．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度，
得到函数，再将函数的横坐标变为原来的倍，
纵坐标不变，得到函数，
所以，因为当时，有2个零点，
所以要使在上有5个零点，则需在上有3个零点.
法一：令，则，
解得，当时，分别对应3个零点，
则，解得.故选A.
法二：因为，所以，
所以，则.
故选:A.
练习3．已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为 （建议：作答写成区间．）
【答案】
【详解】由可得：，
若沿轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数.
令，即，，取，则.
依题意知，在上至少有2解，至多有3解，
则须使区间的长度在到之间，即，解得.
故答案为：.
练习4．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象，若函数y=g(x)在 上为增函数，则ω的取值范围是 .
【答案】(0,2]
【详解】依题意，得，
因为，所以，且，
而函数在上为增函数，
得，得，而，得，
故答案为：
1．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意可得，
因为，所以，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，
又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：B
2．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
则根据题余弦函数性质可得，解得.
故选：C
3．已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，得，又，则，
当时，，
因为在上只有个零点，所以，解得，
当时，，
因为，所以，，
又因为在上单调递增，所以，解得，
综上可得.
故选：C.
4．已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，
函数值域为，
又对任意的实数，在区间上的值域均为，
则，
解得，
故选：D.
5．已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，
则，
当时，则，
因为函数在上有三个零点，
所以，
∴，
故选：A.
6．函数的图象关于直线对称，若函数在单调递减，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
由，可得，
因为函数在单调递减，所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
7．已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】不妨设函数的周期为，
因为在区间上单调，可得，解得；
又，可得且，解得；
又在区间上恰有5个零点，所以，解得
综上可得，所以，
解得，即的取值范围为.
故答案为：
8．若函数有个零点，则正数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，令，即，即，
因为函数与的图象有且仅有一个公共点，如图所示，

所以时，函数只有一个零点，
又由函数有个零点，
所以时，函数有三个零点，
因为，可得，则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
9．设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】（其中）既没有最大值，也没有最小值，
且，可得；或且，可得；
结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合.
故答案为：.
10．已知函数，若在闭区间上存在使成立，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】，
要使成立，
若闭区间上存在，
则，设，
则，
则，且，
，
可得，显然不成立，即不满足条件；
当时，，
当时，都符合条件，即；
综上所述：的范围为.
故答案为：.
11．已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】
，
由，时，，
在有且仅有三个零点，则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
12．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数（）在区间上单调递增，
当时，，而当时，，
因此，而，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：
13．已知函数在 上单调.
(1)若
①写出的一个对称中心；
②求的值.
(2)若在上恰有3个零点，求的取值范围.
【答案】(1)①（答案不唯一）；②
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
因为在 上单调，则，解得，
由，，可得，
若在 上单调，则或或，
解得或或无解，
所以的取值范围为.
若，且在 上单调，
①可知的一个对称中心为；
②因为的一个对称中心为，
则，可得，解得，
且，所以.
（2）因为在上恰有3个零点，
若，且，则，
但在只有一个零点，不合题意；
若，且，则，
可得或，解得：无解或，
所以的取值范围为.