培优05 平面向量的最值范围及四心问题（六大题型）（原卷版）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

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题型01数量积的最值范围问题
例1．在四边形ABCD中， ．若P为线段上一动点，则的最大值为（ ）
A．1B．3
C．5D．7
例2．已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．2
练习1．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．3D．
练习2．已知梯形ABCD 中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
练习3．在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是 ．
练习4．如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点；
(1)当M是线段CE的中点时，
①若，求的值；
②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数；
(2)当时，求的最小值.
题型02模长的最值范围问题
例3．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A．9B．3C．D．10
例4．已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数，则最大值为（ ）
A．B．C．D．5
练习1．已知非零向量，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．5
练习2．平面向量满足，若，则最小值为（ ）
A．1B．C．D．
练习3．平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是 ．
练习4．已知．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值；
(3)求的最小值．
题型03夹角的最值范围问题
例5．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例6．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
练习1．设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ．
练习2．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是
练习3．已知向量.
(1)若，求；
(2)若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围.
练习4．已知，为单位向量，设向量，.
(1)若，求与的夹角；
(2)若，设向量，的夹角为，求的最小值.
题型04系数的最值范围问题
例7．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．7
例8．如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ）

A．B．1C．D．2
练习1．已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
练习2．在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
练习3．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 .
练习4．已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是 .
题型05 “四心”问题
例9．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
例10．为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
练习1．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
练习2．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
练习3．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点为的外心（外接圆圆心）
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．若，则点是的内心
练习4．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ．
①若为的垂心，．则
②若为边长为2的正三角形，则的最小值为
③若，则动点的轨迹经的外心
④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
题型06奔驰定理
例11．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
例12．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
练习1．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
练习2．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A．B．C．D．
练习3．已知是内一点，且满足，记的面积依次为，则等于 （ ）
A．B．
C．D．
练习4．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ．
1．已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为18
C．的最大值为D．的面积的最大值为
3．（多选）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ）
A．的内切圆半径为B．
C．D．
4．（多选）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
5．（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
6．已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
7．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 .
8．已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为 ．
9．如图中，，分别为，上的两点，满足，，则直线一定通过的 （在重心，垂心，内心，外心中选择一项），若线段和相交于点，那么的值为 .
10．如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.
(1)试用和表示，
(2)若，，求的最小值.
11．如图，在中，，，，，.
(1)求的值；
(2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若是内一点，且满足，求的最小值.
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求；
(3)若，求的最小值．