培优07 解三角形中的最值范围（七大题型）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

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题型01求周长的最值范围
例1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由正弦定理及，可得，
所以，
所以，所以，因为，所以，
因为外接圆的半径为，所以，
又由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，所以，又，
所以的取值范围为.
故选：C.
例2．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（ ）
A．B．C．6D．9
【答案】D
【详解】在中，由及正弦定理，
得，
而，
则，
而，整理得，
又，解得，
由余弦定理，得
，
解得，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为9.
故选：D
练习1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A= ，△ABC周长的最大值为 .
【答案】 9
【详解】已知向量，
则，则，
所以，
则，所以，
又，故且，
所以，又，则；
由余弦定理有：，则，
由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即，
所以，
则，当且仅当且，即时等号成立，
故三角形周长的最大值为
故答案为：；
练习2．已知的内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
由正弦定理可得：，
由余弦定理知：，，
可得，
则有，由，解得.
（2）
中由余弦定理知，又在中有，
∴，化简得，
∵，∴.
又，由正弦定理得：，，
，
因在中，，，，
所以，当时，等号成立，
∴周长的取值范围是．
练习3．已知的内角所对的边分别是.
(1)求角；
(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
化简可得，由余弦定理得，
因为为三角形内角，B∈0,π，所以.
（2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为，
因为，所以由正弦定理可得
故，
所以
，
因为为锐角三角形，则，
，
即的周长的取值范围为.
练习4．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)1
(3)
【详解】（1），故，
因为，所以，
故，解得；
（2）由余弦定理得，
又，，所以，
故，所以，
故，；
（3）由正弦定理得，为外接圆半径，
故，
又，故，
因为，故，
故，
又，
则
，
因为，所以，故，
.
题型02求面积的最值范围
例3．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为
【答案】12
【详解】设，，则对，由正弦定理可得①，
对，由正弦定理可得②，
又，所以，又，
联立①②式可得，则，
则，
对，由余弦定理可得，
则
，
当时，有最大值，，所以.
故答案为：12
例4．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】，故，
即，代入得：，
故
，
当且仅当，时，等号成立.
故答案为：
练习1．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得，所以，
又因为，所以．
（2）解：因为且，由余弦定理得，即
又因为，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
所以的面积，
即面积的最大值为．
练习2．的内角的对边分别为，已知
(1)求；
(2)若点在上，且满足，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
又，
，
，
，当且仅当时，等号成立，
的面积，
即面积的最大值为.

练习3．在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足.
(1)求；
(2)若角的平分线交边于点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
，即，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
,
，即，
，则，当且仅当时取等号，
即面积的最小值为.
练习4．已知向量，设函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1），
，
当时，，
，
所以函数的值域为
（2）由（1）可知，
又，所以，
因为，所以，故，
因为，由可知，，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，
故三角形面积，
即面积最大值为.
题型03求角度的最值范围
例5．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，
整理得，所以，
又，则,故，
，
因为为锐角三角形，
所以，即，所以，
即，
所以的取值范围为．
故选：B
例6．在锐角中，分别是角的对边，.
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
(3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【详解】（1）因为，所以，
即，
又因为，所以
又因为，所以，
因为，所以；
（2）在锐角中，由（1）得，，
所以
，
由，所以
所以的取值范围为；
（3）当取得最大值时，，解得；
在中，令，
则，所以；
又，
所以，
所以.
所以
，而，
故当时等号成立，
所以面积的最大值为.
【点睛】关键点睛：第三问求解三角形面积的最大值时，要利用面积公式表示出三角形面积，关键是要根据正余弦定理推得，继而结合正弦函数性质即可求解.
练习1．在锐角中，，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由余弦定理及，得，
得，
由正弦定理得，，
得，
得，
得，
因为为锐角三角形，所以，
即，
则，得，
则，
，
令，则在上单调递减，
得，则，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：化简，令，则在上单调递减即可求解．
练习2．在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ．
【答案】
【详解】，
当且仅当，即为等边三角形时，，又 ．
故答案为：.
练习3．在锐角中，内角的对边分别为，且满足．则的取值范围为 .
【答案】
【详解】根据题意，，即，
由余弦定理，又，所以，
，
因为为锐角三角形，
所以，即，
所以，
即，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简.
练习4．锐角，角的对边分别是.已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)的取值范围为.
【详解】（1）由正弦定理可得，为的外接圆半径，
所以，
所以，可化为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
所以，即，
所以；
（2）因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
题型04求边长和差的最值范围
例7．已知分别为三个内角的对边，.若 ，则的最大值 .
【答案】
【详解】由余弦定理得，
所以，，
因为，所以，，
由正弦定理得，
所以，
则
，其中，
因为，当即时，
的最大值为.
故答案为：.
例8．已知的三个内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积是，求；
(3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)最大值为4．
【详解】（1）由余弦定理可得，
又，即，，
，；
（2），，
又，，，
，；
（3）取的中点为，则，
，
，，又，为等边三角形，，
在中，由余弦定理可得，
即，
又由基本不等式可得，
，当且仅当时等号成立，
，的最大值为4．
练习1．已知为锐角三角形，角对应的边分别为，且
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，可得，即
因为，可得，所以，所以.
（2）解：由（1）知，且，可得外接圆的直径，
又由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，可得，解得，
可得，所以，则，
所以的取值范围为．
练习2．在的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
因，
代入得，，
展开整理得，，即，
因，则有，
由正弦定理，，
又因，故得，因，则;
（2）由（1）得，因，由正弦定理，，
则，
于是，，
因，则，故，
即的范围是．
练习3．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若向量，，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理可知：等价于
，即，
因为，所以有，
又，所以.
（2），，
，
则
，
因为，所以，则有，
所以，
则的取值范围为.
（3）由，所以，
所以
，
因为，所以，则有，
所以，
即的取值范围为.
练习4．如图，在中，，，E是边上的点.
(1)若直线与的交点O恰好是线段的中点，设，求实数x的值；
(2)若，，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
可得，
又因为是线段的中点，所以，
因为，，所以，，所以，
又因为E，O，F三点共线，可得，解得.
（2）解：因为，由正弦定理得到，
所以，，
可得，
则，
因为，所以，则，
所以的取值范围是.
题型05求边长积商的最值范围
例9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在中，有
由正弦定理得，
又，
所以，
因为，所以，即，
则，即，
由余弦定理得
，
则，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：B.
例10．在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由，则，
所以，即，
即，解得或（舍去），可得，
，
因为是锐角三角形，则有，所以，
，，则，有，
由于,
所以，可得的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围.
练习1．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意得，，
由正弦定理得，即，
所以又，所以，
又，
由是锐角三角形得，，所以，
又正切函数在上为增函数，
所以，所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为：.
练习2．在中，已知角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由已知得，由余弦定理及正弦定理得：
，所以，
又，所以，
，所以，
，
因为，
且，所以，
所以，所以．
则的取值范围为．
故答案为：．
练习3．在中，内角的对边分别为，已知
(1)若求的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在中，，
由余弦定理得，
∴，
，
∵，
∴，
，
或（舍），
∵，
，
．
（2）由题意及（1）得，
在中，，
由正弦定理得，，
为锐角三角形，
解得：，
，
∴的取值范围为．
练习4．（多选）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】ACD
【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：
，
即有，而，则，
又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
又是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以，
结合选项，的可能取值为，，.
故选：ACD
题型06求内切圆、外接圆半径的最值范围
例11．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若且，则△ABC外接圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由和正弦定理可得，所以.由余弦定理得，
所以，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
则，即.
因为是锐角三角形，所以，，所以.
又在上单调递增，所以，则.
因为是锐角三角形，所以，，，
所以，由正弦定理得，所以，所以，
所以外接圆面积.
故选：D
例12．如图，平面四边形中，．的内角的对边分别为，且满足．

(1)求角B
(2)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径R；若无，说明理由．
(3)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)有，且
(3)
【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，
整理得，由于，所以.
（2）由于，所以四边形有外接圆.
依题意，，
所以，
由于不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
所以四边形的外接圆也即三角形的外接圆，
由正弦定理得.
（3）设，
由三角形的面积公式得，
则.
在三角形中，由正弦定理得，
所以
，
，
由于，所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
练习1．已知内角的对边分别为，，
(1)求的取值范围
(2)求内切圆的半径的最大值
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
即，
得，所以或，
解得或（舍去），又，
所以，又，由正弦定理得，则，
所以（），
由知，当时，取到最大值，
又，所以；
（2）由（1），由余弦定理得，即，
得，即，
得，当且仅当时等号成立，所以.
的面积为，设的内切圆半径为，
则的面积为，所以，
又，所以，
则，
即的最大值为.
练习2．记中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)记的外接圆半径为，内切圆半径为r，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，则，
，
，解得，
；
（2）根据正弦定理得：，
设的内心为，易知，
由，则，
由余弦定理得：，
即，当且仅当时取等号，
，
，
，
．
练习3．如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.

(1)判断四边形是否有外接圆?若有，求其半径；若无，说明理由，
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)有，；
(2).
【详解】（1）在中，，则，
由，得，于是，而，因此，
在中, ，解得，
在中，由正弦定理，得 ，整理得，
由余弦定理，得，又，因此，有，
于是四点共圆，且四边形外接圆的半径就等于外接圆的半径，
所以四边形有外接圆，圆半径.
（2）由（1）知：，则，即有，
由，得，
又，由，故不是正三角形,又，则，
于是，又，解得，，
则，
所以内切圆半径的取值范围是.
【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c，内切圆半径，则.
练习4．已知的内角所对的边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
由三角形内角和，所以，
因为，所以，可得.
（2）结合（1）由正弦定理得，
由利用等面积法求得的最大值，易知，
故
由（1）和余弦定理可得，故，
且，即，
当且仅当时等号成立，故的最大值为．
故，故的最大值为，
则，的最小值为.
题型07求参数的最值范围
例13．已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，，
理由如下：若，则，
整理得，
所以，即点在的角平分线上，
同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心.
故，
故．
因为角A为锐角，，
所以．由定理得到，
故．
又因为（当且仅当时取等号），
所以，所以，
故，
方法二：如图，延长，交于点D，
设，即，故，
设，
则，
，
作的内切圆与边切于点E，与切于点F，
设圆O半径为r，
且A为锐角，
，
故，解得或（舍去），
故，
又，解得，负值舍去，
，即，由图知，
.
故选：C．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
例14．锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由利用正弦定理可得，
即可得，又，可得；
又，
所以；因此，即，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，
因为，则，
由二次函数性质可得，若存在最大值，
则，解得．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理得出角的关系，由三角形形状以及诱导公式和二倍角公式，并根据二次函数取得最值的条件解不等式可得结果.
练习1．如图，在中，，，，半圆在内，圆心为，半圆的直径刚好在AC上，弧形部分与AB，BC相切，切点分别为和，在半圆的圆弧部分（含端点）上有一点，且，则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，，可得,
故，
由于,,所以,故半径，
以为轴，过作，建立如图所示的直角坐标系，
,
设，则
，
由于，所以，
故，两式相减可得，
故，
由于，故，
故选：C

练习2．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由得，
得，
得，得，
得,
故或,
又为锐角三角形，故，即,，
由及正弦定理可得，故，，
因，故恒成立，
又
,
又为锐角三角形，故，，
故当时取得最大值，
故，即实数的取值范围为，
故答案为：
练习3．的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，由正弦定理得.又，
所以.因为，
所以，故.
故选：A.
练习4．记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若AD是BC边上的高，且，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得
，
即，
由正弦定理得.
（2）设，，则，
由（1）知：，
∴，
由，又，
对于函数且，有，则在上，递减；在上，递增，
所以，故，
则.
1．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（ ）
A．0B．C．D．
【答案】ABC
【详解】由正弦定理可得，故，
因为有且仅有一个解，故或，
由可得，由可得，结合为三角形内角可得，
故，
由正弦定理得
，
而，，故，
故选：ABC.
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，且，则，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，则，所以，
又，
化简可得，
且为锐角三角形，则，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.
3．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的可能取值有（ ）
A．21B．24C．27D．36
【答案】CD
【详解】在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，而，则，
角A的内角平分线的长为3，由得,
，
即，因此，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值27．
若，又，联立得到，
因为，结合韦达定理，得到两根之和，两根之积均大于0，
故方程有正根，故满足要求.
故选：CD
4．在中，，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【详解】解：记的内角的对边分别为，，
由正弦定理以及，
得，即，
所以，即，
根据正弦定理知，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为，
故选：D.
5．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】在中，由得，
由余弦定理得，
且，所以.
又因为AD是的平分线，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
且是锐角三角形，所以，解得，
则，可得，所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
6．在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以，
所以，所以，因为，所以．
（2）在中，由正弦定理，得，
所以
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为．
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意可得，故，
即，
因为,所以，
因为，所以或，
即或，即或.
若，则，则无意义，故.
又，所以，即.
因为，所以,，，
所以，解得，故.
由正弦定理可得
，
令，则.
设，
由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以，即.
故答案为:.
8．锐角的角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，则，
所以，
由正弦定理得，
又，故，
因为在锐角中，，所以或，
当时，，所以，解得，符合题意；
当时，，此时，不合题意；
综上，，
又，而，
所以，则的取值范围为．
故答案为：．
9．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，由在内切圆上，
故，
假设，由于，，
则，且为上一点，，，三点共线，
由平行线等比关系可得，要使，即与之间的比例最小，则在内切圆的最高点，如图所示，
由，
因为，所以，
设边上高为，内切圆半径为，
由，
所以，，
可得的最小值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到，令，观察到分母的系数相加为1，则可得到为上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置
10．中，三边长，，，若边上的高，求的取值范围.
【答案】
【详解】中，边上的高，
由，得，
由余弦定理，
则
，
故的最大值为，当时成立，
又由基本不等式得，当且仅当，即时取得等号，
综上，的取值范围.
11．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)求的取值范围：
(3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
【答案】(1)
(2)的取值范围为
(3)
【详解】（1）因为，
所以由商数关系和正弦定理得，
即，
又由题可得、、，所以且，
所以由得即，
所以.
（2）由（1）以及正弦定理得，
所以
，
又由，所以，所以，
所以，即.
（3）由（1）得，
所以由余弦定理得，
所以，
且，
当且仅当时等号成立，
又，且（为内切圆半径），
所以，
当且仅当时等号成立，此时为正三角形，符合题意，
所以内切圆半径的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用正弦定理进行边换角，最后转化为求解三角函数值域问题.
12．从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________.
(1)求角大小；
(2)若面积为，，求边上的中线长；
(3)若，求周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若我们选择条件①，则有，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
故，因为，所以，解得，
若我们选择条件②，则有，
在中，由正弦定理得，
故，
整理得，所以，
故，得到，
因为，所以，解得，
若我们选择条件③，则有，
在中，所以，
所以，
故，可得，
因为，所以解得，故得；
（2）在中，因为，所以，
所以，故得，
而在中，恒成立，故得，
因为，所以，
解得，，因为面积为，
所以，解得，
由上问得，故，解得，
而，
所以，解得，
综上可得(负根舍去)，
设边上的中线为，由向量中线定理得，
所以，
代入得，
解得，故，故中线长度为；
（3）在中，因为，且由上问得，
所以由正弦定理得，
故，解得，，
所以，
，
故周长为，
因为锐角，所以，，所以，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
而设，所以在上单调递减，
而，
当时，，所以，
故周长的取值范围为.
13．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.条件①；条件②.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选条件①，，由正弦定理，
，
又，，
而B∈0,π，故；
选条件②，，，
即，
，
又B∈0,π，故.
在中，当，，时，
由余弦定理得：，即，，
所以.
（2）解法一：由题设及小问1可知：，，
故由正弦定理，所以.
得：
，， 所以
故，
即.即的取值范围为.
解法二：由题设及小问1可知：，，故由余弦定理得：，
则，解得.
当且仅当时等号成立.
由三角形的稳定性可知.
所以，即的取值范围为.
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求周长的取值范围；
(2)求内切圆半径的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得：，
又因为，
所以，
则，因为，所以，
则，即，所以或，
所以或（舍去），
故.
由余弦定理得，可得，
由，当且仅当“”时取等，
得，解得：，
所以有，所以，
故周长的取值范围为：.
（2）令内切圆的半径为R，故，
得，代入，得
，故，
故内切圆半径的最大值为.