高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)4.1.1三角函数(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)4.1.1三角函数(题型战法)(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了任意角，弧度制与角度制的换算，特殊角的弧度数等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 三角函数的概念与弧度制
1.任意角：
（1）角的分类：正角；负角；零角。
（2）象限角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
2.弧度制与角度制的换算
（1）角度与弧度的关系：
（2）设一个角的角度数为n，弧度数为α，则
3.特殊角的弧度数
4.弧长与扇形面积公式
（1）弧长公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则，所以弧长公式为.
（2）扇形面积公式：若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是
二 任意角的三角函数
1．任意角的正弦、余弦与正切的定义：
对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，称为角α的正弦，记作sinα；称为角α的余弦，记作csα，因此sinα＝，csα＝.当角α的终边不在y轴上时，称为角α正切，记作tanα，即tanα＝，角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数.
2．同角三角函数的基本关系式：
3.诱导公式口诀：奇变偶不变、符号看象限
三 三角函数的图像与性质
题型战法
题型战法一 扇形的弧长与面积公式
典例1．半径为2cm，圆心角为1rad的扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1-1．扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
变式1-2．扇形的半径为10cm，面积为，则扇形的弧所对的圆心角为（ ）
A．2弧度B．2π弧度C．10弧度D．2°
变式1-3．已知某扇形的圆心角为弧度，其所对的弦长为，则该扇形的周长为（ ）
A．B．C．D．
变式1-4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（ ）平方米.
A．B．C．D．
题型战法二 任意角的三角函数
典例2．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式2-1．已知角的终边经过点， 则（ ）
A．2B．C．1D．
变式2-2．已知角的终边经过，则（ ）
A．B．C．D．
变式2-3．若为第四象限角，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式2-4．若且，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
题型战法三 同角三角函数的基本关系
典例3．已知，且为第一象限角，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-1．已知csα=，tanα=1，则sinα=（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型战法四 诱导公式
典例4．的值为（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．若则（ ）
A．B．C．D．
变式4-3．已知，则tanπ−α=（ ）
A．2B．—2C．D．
变式4-4．若，则（ ）
A．B．C．-3D．3
题型战法五 三角函数的图像与性质
典例5．若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）
A．B．C．D．1
变式5-3．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
变式5-4．函数的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．f（x）在[，]上单调递增
D．的图像关于直线对称
题型战法六 三角函数图像的变换
典例6．为得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
变式6-1．已知函数的图象，则把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
变式6-2．将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
变式6-3．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式6-4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．为奇函数，在上单调递减B．最大值为1，图象关于y轴对称
C．周期为，图象关于点对称D．为偶函数，在上单调递增
题型战法七 由图像求解析式
典例7．若函数的图象（部分）如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
变式7-1．若的图像如下图所示，且和是最小的两个正零点，若，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-2．函数部分图像如图所示，则函数f（x）解析式为（ ）
A．B．
C．D．
变式7-3．已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
变式7-4．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
题型战法八 比较大小
典例8．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式8-1．若则 大小关系为（ ）
A． B． C．D．
变式8-2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式8-3．已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式8-4．已知，则a､b､c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0






函数
图像
定义域
值域
对称性
对称轴 对称中心
对称轴
对称中心
对称中心
周期性
单调性
单调增区间单调减区间
单调增区间
单调减区间
单调增区间
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
第四章 三角函数与解三角形
4.1.1 三角函数（题型战法）
知识梳理
一 三角函数的概念与弧度制
1.任意角：
（1）角的分类：正角；负角；零角。
（2）象限角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
2.弧度制与角度制的换算
（1）角度与弧度的关系：
（2）设一个角的角度数为n，弧度数为α，则
3.特殊角的弧度数
4.弧长与扇形面积公式
（1）弧长公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则，所以弧长公式为.
（2）扇形面积公式：若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是
二 任意角的三角函数
1．任意角的正弦、余弦与正切的定义：
对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，称为角α的正弦，记作sinα；称为角α的余弦，记作csα，因此sinα＝，csα＝.当角α的终边不在y轴上时，称为角α正切，记作tanα，即tanα＝，角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数.
2．同角三角函数的基本关系式：
3.诱导公式口诀：奇变偶不变、符号看象限
三 三角函数的图像与性质
题型战法
题型战法一 扇形的弧长与面积公式
典例1．半径为2cm，圆心角为1rad的扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.
【详解】
扇形的弧长，
则扇形的面积.
故选：D.
变式1-1．扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据扇形面积与弧长公式列式求解即可
【详解】
由扇形面积与弧长公式可得，，，故，解得弧度数
故选：B.
变式1-2．扇形的半径为10cm，面积为，则扇形的弧所对的圆心角为（ ）
A．2弧度B．2π弧度C．10弧度D．2°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】
，
，
解得（弧度），
故选：A
变式1-3．已知某扇形的圆心角为弧度，其所对的弦长为，则该扇形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由弦长和圆心角可求得扇形半径，由扇形弧长公式可求得弧长，进而得到周长.
【详解】
由题意得：扇形的半径，则该扇形的弧长，
该扇形的周长为.
故选：D.
变式1-4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（ ）平方米.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知求得矢和弦长，再由公式计算．
【详解】
设半径为，则，，所以弦长为，
矢为，
所以弧田面积为．
故选：D．
题型战法二 任意角的三角函数
典例2．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义即可求出．
【详解】
根据三角函数的定义可知，．
故选：A．
变式2-1．已知角的终边经过点， 则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由正切函数的定义计算即可求解.
【详解】
解：由题意得.
故选：B.
变式2-2．已知角的终边经过，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正余弦的定义分别求解的正余弦，再求解即可
【详解】
由题意，
故选：A
变式2-3．若为第四象限角，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
依据三角函数定义和象限角定义去判断、的符号即可解决
【详解】
为第四象限角，依据三角函数定义，则有，
故选：B
变式2-4．若且，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的正负，确定角所在的象限.
【详解】
，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，
所以满足且，角在第四象限.
故选：D
题型战法三 同角三角函数的基本关系
典例3．已知，且为第一象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．
【详解】
因为为第一象限角，，所以．
故选：A．
变式3-1．已知csα=，tanα=1，则sinα=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
变式3-2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.
【详解】
平方得：，
即，解得：
故选：A
变式3-3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
故选：D.
变式3-4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角齐次式求解即得.
【详解】
因为
故
故选:C.
题型战法四 诱导公式
典例4．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由诱导公式直接化简求得结果即可.
【详解】
解：．
故选：B
变式4-1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式结合特殊角的三角函数值可得正确的选项.
【详解】
,
故选：B.
变式4-2．若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，
故选：B.
变式4-3．已知，则tanπ−α=（ ）
A．2B．—2C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据诱导公式五、六可得，由同角三角函数的关系可得，结合诱导公式二计算即可.
【详解】
由已知得，
，
∴.
故选：C
变式4-4．若，则（ ）
A．B．C．-3D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式，弦化切进行计算.
【详解】
，
分子分母同除以，
，
解得：
故选：C
题型战法五 三角函数的图像与性质
典例5．若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角函数的性质求解
【详解】
若函数是奇函数，
则，得
故选：C
变式5-1．已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定信息，结合正切函数的性质求出，再列出方程可求解.
【详解】
由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，
则有的周期，解得，
于是得，
所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），
解得，（）,可知为其一个对称中心.
故选：C
变式5-2．函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
的对称轴为，化简得到得到答案.
【详解】
对称轴为：
当时，取值为.
故选:C.
变式5-3．函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】
当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
变式5-4．函数的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．f（x）在[，]上单调递增
D．的图像关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】
分别利用正弦函数周期公式，余弦函数的奇偶性，正弦函数的单调性，正弦函数的对称轴的求法，依次判断即可.
【详解】
由可知，,由此可知选项不正确；
由可知，，
即是偶函数，由此可知选项不正确；
由，解得,
当时，区间上为单调递增，由此可知选项正确；
由，解得，
则直线不是的对称轴，由此可知选项不正确；
故选：.
题型战法六 三角函数图像的变换
典例6．为得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：向左平移个单位长度,故选A.
考点：三角函数的图象.
变式6-1．已知函数的图象，则把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，把函数的图象，则把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，可得的图象，再向右平移，得到函数的图象，令,令时，则函数的一条对称轴的方程为，故选D．
考点：三角函数的图象变换．
变式6-2．将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据图象变换，求出变换后的函数解析式，然后根据解析式求解中心.
【详解】
函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为：，再向右平移个单位得到图象的解析式
当时，，所以是函数的一个对称中心.
故选：B.
变式6-3．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据平移后函数图像重合，可得函数的周期，即可求解.
【详解】
由题可知，是该函数的周期的整数倍
即：
解得，又
故其最小值为：
故选：B.
【点睛】
本题考查函数周期的意义，属基础题.
变式6-4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．为奇函数，在上单调递减B．最大值为1，图象关于y轴对称
C．周期为，图象关于点对称D．为偶函数，在上单调递增
【答案】B
【解析】
先求出函数g(x)的解析式，再对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位后得到函数，
由于函数g(x)是一个偶函数，所以选项A错误；
由于函数g(x) 最大值为1，图象关于y轴对称，所以选项B正确；
由于函数g(x)的最小正周期为，所以选项C错误；
由于函数g(x)在单调递增，所以选项D错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换，考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
题型战法七 由图像求解析式
典例7．若函数的图象（部分）如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦型函数最小正周期公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】
设函数的最小正周期为，因为，所以由图象可知：，即，
又因为函数过，所以有，
因为，所以令，得，即，
故选：A
变式7-1．若的图像如下图所示，且和是最小的两个正零点，若，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合的图像分别求解的值.
【详解】
由题意，，得，
所以，由图可知，在取得最大值，
所以，得，
又和是最小的两个正零点，故，所以，
又，
所以的解析式为.
故选：B
变式7-2．已知函数的部分图像如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图像得出，然后求出，然后根据五点法作图可得的值.
【详解】
由函数f（x）的图像知，，
∴，
由五点法作图可得，且，
∴，
∴函数f（x）的解析式为．
故选：D．
变式7-3．已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由图像求出，然后利用平移变换和诱导公式计算出结果.
【详解】
由题，
由图，34T=π3−−π24=3π8⇒T=π2=2πω⇒ω=4，
f−π24=0⇒sin−π6+φ=0⇒φ=π6
所以，向左平移个单位后，
得到y=34sin4x+π12+π6=34sin4x+π2=34cs4x
故选：B.
变式7-4．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
先依据图像求得函数的解析式，结合正弦函数的性质判断各选项的对错.
【详解】
由图象可知，即，又，
所以，
又，可得，又因为所以，
所以，故A错误；
当时，.故B错误；
当时，，故C正确；
当时，则，函数不单调递减.故D错误．
故选：C
题型战法八 比较大小
典例8．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据和正切函数的单调性直接得出结果.
【详解】
由题意得，
函数在上单调递增且，
在上单调递增且，
因为，
所以，
所以.
故选：A.
变式8-1．若则 大小关系为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，再利用余弦函数的单调性即可判断出的大小.
【详解】
由题意得，因为在为单调递减
所以
故选：C
变式8-2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断，再由可得.
【详解】
，，
，，
，
.
故选：C.
变式8-3．已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先转化，再利用的单调性判断大小.
【详解】
，，
在单调递增，
，即.
故选：C
变式8-4．已知，则a､b､c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数、正切函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，在上单调递增，所以，即，，又，所以，所以；
故选：C
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0






函数
图像
定义域
值域
对称性
对称轴 对称中心
对称轴
对称中心
对称中心
周期性
单调性
单调增区间单调减区间
单调增区间
单调减区间
单调增区间
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数