培优05 平面向量的最值范围及四心问题（六大题型）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

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题型01数量积的最值范围问题
例1．在四边形ABCD中， ．若P为线段上一动点，则的最大值为（ ）
A．1B．3
C．5D．7
【答案】B
【详解】因为，以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，
，B4,0，，，设，
，，
所以，
因为x∈0,2，所以当时取得最大值.
故选：B.
例2．已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，
由，得点在以为圆心，2为半径的圆上，
由，得点在以为圆心，1为半径的圆上，
设，
则
，
当时，能取到所有等号，
所以的最大值为1.
故选：C
【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，转化为求三角函数最值处理是解题的关键.
练习1．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．3D．
【答案】C
【详解】，
所以，
，
，
，
，，
当时，取得最大值.
故选：C
练习2．已知梯形ABCD 中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
设，则，
因为，，，，
则D点横坐标为，纵坐标为，所以，
则，
所以当时，取得最小值，
故选：D
练习3．在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
在直角梯形中，，
以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，
因为，
则，，，
则,
因为点在边上（包含端点），有，
设，则，
所以，则，
所以，
则，
则，
所以，
则当时，有最大值，
当时，有最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
练习4．如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点；
(1)当M是线段CE的中点时，
①若，求的值；
②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数；
(2)当时，求的最小值.
【答案】(1)①；②证明见解析，常数为；
(2).
【详解】（1）①依题意，，
而不共线，则，所以.
②依题意，，
由，得，由，得，由，得，
因此，
所以为常数，该常数为.
（2）依题意，，则
，解得，则，
设，则，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
题型02模长的最值范围问题
例3．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A．9B．3C．D．10
【答案】C
【详解】根据条件得，
得到，所以，即的最大值为，
故选：C.
例4．已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数，则最大值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【详解】因为不共线的平面向量、、两两的夹角相等，
所以它们的夹角都为,
因为，，，
所以，，，
所以

因为、、，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
综上可得当或时，.
故选：C.
练习1．已知非零向量，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．5
【答案】A
【详解】，由，则有，
又 ，
即，
令，
则，
故选：A．
练习2．平面向量满足，若，则最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】法一：因为，
得，
即，所以，
设与的夹角为，则，
当时，最小值为.
故选：B.
法二：因为，如图所示：
设中，，则，
设，由知，
点在线段的垂直平分线上，且，
则最小值为点到直线的距离.
故选：B.
法三：因为，建立如图平面直角坐标系，
则.设，由知，，
则，
当取最小值.
故选：B.
练习3．平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，
所以，对任意实数成立，
所以，即，
即，所以.
故答案为：
【点睛】本题是一个综合性的题目，一个是数量积的运算，包括模的处理方法，一个是一元二次不等式恒成立问题，包括一元二次不等式的解法，还需要对主参变量进行确定.
练习4．已知．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值；
(3)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
由于，所以，故
（2）
（3）法一：记，
则
根据余弦定理得，
则，即
则，所以最小值为
法二：
当时，取得最小值
题型03夹角的最值范围问题
例5．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在平行四边形中，，，，
又分别为中点，则，
因为在方向上投影向量为，所以，
因为在方向上投影向量为，所以
所以，
解得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为.
故选：C.
例6．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】D
【详解】
，且为线段的中点，
所以,
则,,
设,
则，
且和共线，，
所以，.
故为线段的中点,且,
所以,
且,若，
则,
即,
故,当且仅当时，等号成立；
,当的最大时, 即最小时，
此时，
.
故选：D
练习1．设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】，为单位向量，
，即，
又
所以
设，，则
，
设，，则
，
因为，所以，所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解题关键是能够利用平面向量数量积的运算律将所求量转化为以为自变量的函数的形式，从而利用函数求最值的方法求得最大值.
练习2．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是
【答案】
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
由上可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故答案为：
【点睛】思路点睛：（1）已知向量模，对模平方可以建立向量与向量夹角余弦值的关系；（2）求向量夹角的余弦值，可以用向量数量积的定义建立向量模与余弦值的关系；
练习3．已知向量.
(1)若，求；
(2)若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以 ，，；
（2）是单位向量，设的夹角为 ，
由 得：，
所以 ，即，
即 对任意的实数 恒成立，
则 ，解得：，
又因为 ，函数 在 上单调递减，
因此 ．
所以向量 的夹角的取值范围是 .
练习4．已知，为单位向量，设向量，.
(1)若，求与的夹角；
(2)若，设向量，的夹角为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，为单位向量，所以，
因为，所以，
又，所以，
，所以，
设与的夹角为，则，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
又，所以，所以，令，则，，因为，所以，所以，
即的最小值为.
题型04系数的最值范围问题
例7．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．7
【答案】B
【详解】在中，点是边上一点，，则，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
例8．如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ）

A．B．1C．D．2
【答案】B
【详解】根据题意，，
所以
又，
所以
因为三点共线，
所以，即，由图可知，，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为1.
故选：B.

练习1．已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，，
理由如下：若，则，
整理得，
所以，即点在的角平分线上，
同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心.
故，
故．
因为角A为锐角，，
所以．由定理得到，
故．
又因为（当且仅当时取等号），
所以，所以，
故，
方法二：如图，延长，交于点D，
设，即，故，
设，
则，
，
作的内切圆与边切于点E，与切于点F，
设圆O半径为r，
且A为锐角，
，
故，解得或（舍去），
故，
又，解得，负值舍去，
，即，由图知，
.
故选：C．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
练习2．在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，所以，即为等边三角形，以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，设，则，，
，，，
由得，
所以，，
因为，所以，即的最大值是．
故选：C．
【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，解题方法是解析法，求出为等边三角形，建立如图的平面直角坐标系，表示出点的坐标后，用向量线性运算的坐标表示求出结论．
练习3．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意知，
又因，，所以，，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
练习4．已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意设，，因为，所以，
所以，
又，则，
所以，
又因为，由二次函数得性质得，
所以得取值范围为.
故答案为：.
题型05 “四心”问题
例9．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心.
故选：D.
例10．为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】B
【详解】依题意，，
，
，
则，于是，
所以是的外心.
故选：B
练习1．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
【答案】B
【详解】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B
练习2．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】D
【详解】由可得，，
即, (*)
如图，取的中点为，连，则，
因，故得，,
代入(*)得，,即,
故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.
故选：D.
练习3．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点为的外心（外接圆圆心）
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．若，则点是的内心
【答案】BCD
【详解】A选项，，即，故⊥，
同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误；
B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接，
则，，
则，
故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；
C选项，如图，分别为的中点，
，
则，故，
所以，
故，C正确；
D选项，分别表示方向上的单位向量，
故，
，故⊥，
由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，
则点是的内心，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且OA=OB=OC，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
练习4．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ．
①若为的垂心，．则
②若为边长为2的正三角形，则的最小值为
③若，则动点的轨迹经的外心
④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】①③④
【详解】对于①，为的垂心，则，又，
所以，所以①正确；
对于②，取的中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，

则，，，设，
则
，
故当，时，
取得最小值，
最小值为，所以②错误；
对于③，，
，
所以，
如图，设是的中点，则，
故，
即，
故则动点的轨迹经过的外心，所以③正确；

对于④，

由，，三点共线，设，
由，，
所以，
又，
所以，所以，
所以，即，所以④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】方法点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
题型06奔驰定理
例11．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵是的垂心，延长交与点，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
例12．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A
练习1．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，，
所以，
因为O为的内心，设，由题意，
则，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有，
所以，
即，
所以，
．
故选：A．
练习2．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】

如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
由为的垂心，，且，
得，所以，
又，则，同理可得，所以，
设，，则，，
所以，即，，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解.
练习3．已知是内一点，且满足，记的面积依次为，则等于 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】如下图，延长至，使得，延长至，使得，
延长至，使得，因为，
所以，故是的重心，
设，则，
又，所以，
，所以，
，所以，
所以，
则等于.
故选：C.
练习4．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ．
【答案】
【详解】由可得
根据可得，同理可得，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.
1．已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题知，以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，
设，，且，，则，
则，，，
所以，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故的最大值为.
故选：B
2．（多选）如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为18
C．的最大值为D．的面积的最大值为
【答案】BCD
【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，
对于A,B，，故A错误，B正确；
对于C，，
当时，取得最大值，且最大值为，故C正确；
对于D，的面积
，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确．
故选：BCD.
3．（多选）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ）
A．的内切圆半径为B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】取边的中点，连接，
因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上，
且，，内切圆半径，
对于A，由得
，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
，所以，
所以的外接圆半径，
，所以，
所以，
，故C错误；
对于D，的外接圆半径，
，所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心O、重心G都在中线上.
4．（多选）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
【答案】ACD
【详解】取中点，如图，
因为点O是的重心，所以，故A正确；
因为点O是的垂心，所以，
故，故B错误；
因为，所以，
同理可得，所以，即为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以，
两式相减可得，
同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、内心问题，需要掌握它们的性质，其次需要根据向量的线性运算、数量积运算及数量积的性质与其结合，属于应用比较灵活问题.
5．（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABC
【详解】对A：如图：
取边中点，连接，由，
所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确；
对B：如图：
因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，，
所以，故B 正确；
对C：如图：
因为为的外心，设外接圆半径为，有，，
所以，，故，
所以.
故C正确；
对D：由为的垂心，，所以.
如图：
则，.
设，，则，，
所以.
所以.故D错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”：
若为所在平面上一点，则（奔驰定理）
（1）为的重心.
（2）为的内心.
（3）为的外心.
（4）为的垂心.
6．已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
【答案】
【详解】由题意可设：，
则，
若，即，则，
可知点C在以为直径的圆上，即圆心为，半径，
则在方向上的投影数量的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解.
7．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 .
【答案】
【详解】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即，
由三点共线，得，
，
，.
当，即，亦即时等号成立，故.
故答案为：.
8．已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为向量在向量上的投影向量，
所以，与是共线向量，设，则，
所以，，
当时，最小，为.
故答案为：.
9．如图中，，分别为，上的两点，满足，，则直线一定通过的 （在重心，垂心，内心，外心中选择一项），若线段和相交于点，那么的值为 .
【答案】 重心 4
【详解】由于，故为的中点，所以直线一定通过的重心，
因三点共线，则．
又，
又，
由于共线，所以．解得，
故,故
故答案为：重心，．
10．如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.
(1)试用和表示，
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)3
【详解】（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，所以；
，即，
；
故，.
（2）由，，，
得，，
所以 ，
因为E，F，G三点共线，则 ，
则，
当且仅当，即，时取等号所以的最小值3.
11．如图，在中，，，，，.
(1)求的值；
(2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若是内一点，且满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【详解】（1），
，
（2）设，
，
，
，
，
，
解得；
（3），
所以，
，
，
，
，
，，、、三点共线，
，
当且仅当即为中点时取等号，
而，
所以的最小值为.
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求；
(3)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)23
(3)
【详解】（1）因为四边形是平行四边形，
所以，
所以所以.
（2）因为为AD中点，四边形为平行四边形，
所以.
因为，所以.
设，
则，
，
因为共线，共线，
所以，
解得，
所以，
因为，，
所以，
所以.
（3）因为，，
，
所以 ，
所以，
又因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以最小值为.
【点睛】方法点睛：把向量用基底表示，再应用向量的数量积公式计算后结合基本不等式求出最值即可.