2025届广东省东莞市南开实验学校九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份2025届广东省东莞市南开实验学校九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在ABCD中，∠A=130°，则∠C-∠B的度数为（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
2、（4分）在“爱我汾阳”演讲赛中，小明和其他6名选手参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名同学成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
3、（4分）某百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示。该商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
4、（4分）能判定四边形是平行四边形的条件是( )
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组邻角相等
C．一组对边平行，一组邻角相等
D．一组对边平行，一组对角相等
5、（4分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数的图像上，当x1＜x2＜0＜x3时，y1、y2、y3的大小关系（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
6、（4分）如图，将一个矩形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则BE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7、（4分）如图，在中，,是边上一条运动的线段(点不与点重合，点不与
点重合)，且，交于点，交于点，在从左至右的运动过
程中，设BM=x，和的面积之和为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致
是( )
A．B．C．D．
8、（4分）某商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示
经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）直线y＝﹣3x+5与x轴交点的坐标是_____．
10、（4分）函数为任意实数)的图象必经过定点，则该点坐标为____．
11、（4分）已知双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C，若S△OAC=3，则k=______．
12、（4分）已知四边形是平行四边形，且，，三点的坐标分别是，，则这个平行四边形第四个顶点的坐标为______．
13、（4分）若-，则的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）分解因式：
（1）； （2）.
15、（8分）某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9；乙的成绩的平均数为9.8，方差为0.032；
（1）甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少？
（2）据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？
16、（8分）如图，在矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点．
求证：；
四边形是什么样的特殊四边形？请说明理由．
17、（10分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班
分别选5名同学参加“国防知识”比赛，
其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
（2）分别求甲乙两班的方差，并从稳定性上分析哪个班的成绩较好．
18、（10分）如图抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求S△ABC的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．
20、（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B5的坐标是_____________ 。
21、（4分）矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线_______．
22、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB边的距离是 ．
23、（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣3，x2＝4，则m+n＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算（1）（﹣）0++|2﹣|
（2）（﹣）÷+（2+）（2﹣）
25、（10分）如图，在□ABCD中，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中，过点E作直线EF将□ABCD分成两个全等的图形；
（2）在图2中，DE＝DC，请你作出∠BAD的平分线AM．
26、（12分）已知A．B两地果园分别有苹果30吨和40吨，C．D两地的农贸市场分别需求苹果20吨和50吨。已知从A．B两地到C．D两地的运价如表：
(1)填空：若从A果园运到C地的苹果为10吨，则从A果园运到D地的苹果为___吨，从B果园运到C地的苹果为___吨，从B果园运到D地的苹果为___吨，总运输费为___元；
(2)如果总运输费为750元时，那么从A果园运到C地的苹果为多少吨?
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据平行四边形的性质求出∠B和∠C的度数，即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，则∠B=180°-∠A=180°-130°=50°．
又∵∠C=∠A=130°，∴故∠C-∠B=130°-50°=80°．
故选B．
本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
2、C
【解析】
7人成绩的中位数是第4名的成绩，参赛选手想要知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4名的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数是多少，
故选：C．
考查了中位数的定义，中位数的实际应用，熟记中位数的定义是解题关键．
3、A
【解析】
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是对该品牌衬衫的尺码数销售情况作调查，那么应该关注那种尺码销的最多，故值得关注的是众数．
【详解】
由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选A．
本题考查了统计的有关知识，熟知平均数、中位数、众数、方差的意义是解决问题的关键．
4、D
【解析】
根据平行四边形的判定定理进行推导即可．
【详解】
解：如图所示：
若已知一组对边平行，一组对角相等，
易推导出另一组对边也平行，
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
故根据平行四边形的判定，只有D符合条件．
故选D．
考点：本题考查的是平行四边形的判定
点评：解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
5、C
【解析】
在反比例函数的图象在二四象限，根据x1＜x2＜0＜x3，可以确定点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)所在象限，根据反比例函数的图象和性质，可以确定y1、y2、y3的大小关系．
【详解】
∵反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴点，和，在第二象限、而，在第四象限，
于是有：0＜＜，而＜0，
因此，＜＜，
故选：C．
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．
6、A
【解析】
分析：根据翻折变换的性质可得AE=CE，设BE=x，表示出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．
详解：∵矩形纸片ABCD折叠C点与A点重合，
∴AE=CE，
设BE=x，则AE=8−x，
在Rt△ABE中,由勾股定理得,AB2+BE2=AE2，
即42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
即BE=3.
故选A.
点睛：本题考查了翻折变换的性质，主要利用了翻折前后对应线段相等，难点在于利用勾股定理列出方程.
7、B
【解析】
【分析】不妨设BC=2a，∠B=∠C=α，BM=x，则CN=a-x，根据二次函数即可解决问题．
【详解】不妨设BC=2a，∠B=∠C=α，BM=m，则CN=a−x，
则有S阴=y=⋅x⋅xtanα+ (a−x)⋅(a−x)tanα
=tanα(m2+a2−2ax+x2)
=tanα(2x2−2ax+a2)
∴S阴的值先变小后变大，
故选：B
【点睛】本题考核知识点：等腰三角形的性质.解题关键点：根据面积公式列出二次函数.
8、D
【解析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值，即可得解.
【详解】
根据题意，销量最大，即为众数，故答案为D.
此题主要考查对众数的理解运用，熟练掌握，即可解题.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、 (，)
【解析】
试题分析：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知x轴上点的纵坐标为0是解答此题的关键．∵令y=0，则﹣3x+5=0，解得x=，∴直线y=﹣3x+5与x轴交点的坐标是（，0）．
考点：一次函数图象与x轴的交点
10、 (1，2)
【解析】
先把函数解析式化为y=k（x-1）+2的形式，再令x=1求出y的值即可．
【详解】
解：函数可化为，
当，即时，，
该定点坐标为．
故答案为：．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把原函数的解析式化为y=k（x-1）+2的形式是解答此题的关键．
11、﹣1．
【解析】
解：设D（m，）．∵双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，∴A（1m，）．∵S△OAC=3，∴•（﹣1m）• +k=3，∴k=﹣1．故答案为：﹣1．
点睛：本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
12、或或．
【解析】
根据平行四边形的性质，分别以BC、AC、AB为对角线，分三种情况进行分析，即可求得答案．
【详解】
解：由平行四边形的性质可知：
当以BC为对角线时，第四个顶点的坐标为D1；
当以AC为对角线时，第四个顶点的坐标为D2；
当以AB为对角线时，第四个顶点的坐标为D3；
故答案为：或或．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解此题的关键是分类讨论数学思想的运用．
13、
【解析】
利用二次根式的性质（）及绝对值的性质化简（），即可确定出x的范围．
【详解】
解：∵,
∴．
∴，即．
故答案为: ．
本题考查利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1） （2）
【解析】
（1）先提公因式2，再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）先提公因式（x-y），再利用平方差公式进行分解即可；
【详解】
解：（1）
.
（2）.
.
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
15、（1）9.8，0.02；（2）应选甲参加比赛．
【解析】
（1）根据平均数和方差的定义列式计算可得；
（2）根据方差的意义解答即可．
【详解】
（1）＝×（9.7+10+9.6+9.8+9.9）＝9.8（环），
＝×[（9.7﹣9.8）2+（10﹣9.8）2+（9.6﹣9.8）2+（9.8﹣9.8）2+（9.9﹣9.8）2]＝0.02（环2）；
（2）∵甲、乙的平均成绩均为9.8环，而＝0.02＜＝0.32，
所以甲的成绩更加稳定一些，
则为了夺得金牌，应选甲参加比赛．
本题考查方差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16、（1）证明见解析（2）菱形
【解析】
（1）连接MN，证明四边形AMNB是矩形，得出∠MNB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）先证明四边形MPNQ是平行四边形，再由（1）即可得出结论．
【详解】
证明：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴；四边形是菱形；理由如下：
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵、分别是、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由得，
∴四边形时菱形．
本题考查了菱形与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的判定与矩形的性质.
17、（1）甲众数：8.5，乙中位数：8；（2）甲班的成绩较好.
【解析】
试题分析：（1）根据众数的概念找出出现次数最多的数据，根据中位数的求解方法进行求解，即可解答；
（2）先求出甲、乙的方差，再比较即可．
试题解析：（1）根据图示可知甲班8.5出现次数最多，甲班的众数是8.5；
乙班数据从小到大排列为：7，7.5，8，10，10，所以中位数是8，
故答案为8.5，8，
填表如下：
（2）甲的方差为：
×[（8.5﹣8.5）2+（7.5﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+（8.5﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]=0.7，
乙的方差为：
×[（7﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+（7.5﹣8.5）2+（8﹣8.5）2]=1.6，
因为0.7＜1.6
所以甲班的方差小，成绩稳定，甲班的成绩较好.
18、 (1) y=x2+2x﹣3；(2)1.
【解析】
(1)先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标,然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值；
（2）根据(1)中抛物线的解析式可求出C点的坐标,然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】
（1）当x=0时，y=x﹣3=﹣3，则B（0，﹣3）；
当y=0时，x﹣3=0，解得x=3，则A（3，0），
把A（3，0），B（0，﹣3）代入y=x2+bx﹣c得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则C（﹣1，0），
∴S△ABC=×（3+1）×3=1．
本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，二次函数解析式的确定、三角形面积的求法等知识点.考查了学生数形结合的数学思想方法.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=2，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=，
∴CG=，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=CG=，
则点G到BC边的距离为，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH==，
∴S△ADG，
当最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴，
∴，
∴△ADG的面积的最小值为，
故答案为：，．
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
20、（31,16）
【解析】
首先由B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），可得正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，即可求得A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），然后又待定系数法求得直线A1A2的解析式，由解析式即可求得点A3的坐标，继而可得点B3的坐标，观察可得规律Bn的坐标是（2n-1，2n-1）．
【详解】
∵B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2)
∴正方形A1B1C1O1边长为1,正方形A2B2C2C1边长为2
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2）
设直线A1A2的解析式为：y=kx+b
∴
解得：
∴直线A1A2的解析式是：y=x+1
∵点B2的坐标为(3,2)
∴点A3的坐标为(3,4)
∴点B3的坐标为(7,4)
∴Bn的横坐标是：2n-1,纵坐标是：2n−1
∴Bn的坐标是(2n−1,2n−1)
故点B5的坐标为(31,16).
此题考查了待定系数法求解一次函数的解析式以及正方形的性质，在解题中注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
21、10
【解析】
先根据矩形面积公式求出AD的长，再根据勾股定理求出对角线BD即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，
∴AD=48÷6＝8，
∴对角线BD=，
故答案为：10.
本题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是根据矩形面积求出另一边的长．
22、1．
【解析】
作DE⊥AB，根据角平分线性质可得：DE=CD=1.
【详解】
如图，作DE⊥AB，
因为∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=1，
所以，DE=CD=1.即：D到AB边的距离是1.
故答案为1
本题考核知识点：角平分线性质. 解题关键点：利用角平分线性质求线段长度.
23、-1
【解析】
根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n，求出即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣3，x2＝4，
∴﹣3+4＝﹣m，﹣3×4＝n，
解得：m＝﹣1，n＝﹣12，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n是解此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）﹣；（2）1．
【解析】
（1）此题涉及零次幂、开立方和绝对值3个考点，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）首先计算括号里面二次根式的减法，再计算括号外的乘除，最后计算加减即可．
【详解】
解：（1）原式=1﹣3+2﹣=﹣；
（2）原式=（5﹣4）÷+4﹣5=÷+4﹣5=1+4﹣5=1．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
25、（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）作▱ABCD的对角线AC、BD，交于点O，作直线EO交BC于点F，直线EF即为所求；
（2）作射线AF即可得．
【详解】
（1）如图1，直线EF即为所求；
（2）如图2，射线AM即为所求．
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
26、（1）20，10，30，760；（2）从A果园运到C地的苹果数为5吨
【解析】
（1）A地果园有苹果30吨，运到C地的苹果为10吨，则从A果园运到D地的苹果为30-10吨，从B果园运到C地的苹果为20-10吨，从B果园运到D地的苹果为50-20吨，然后计算运输费用；
（2）表示出从A到C、D两地，从B到C、D两地的吨数，乘以运价就是总费用；根据总运输费为750元列出方程，求值即可．
【详解】
(1)从A果园运到D地的苹果为30−10=20(吨)，
从B果园运到C地的苹果为20−10=10(吨)，
从B果园运到D地的苹果为50−20=30(吨)，
总费用为：10×15+20×12+10×10+30×9=760(元)，
故答案为：20，10，30，760；
(2)设从A果园运到C地的苹果数为x吨，则
总费用为：15x+(360−12x)+10(20−x)+9×[40−(20−x)]+740
由题意得2x+740=750，
解得x=5.
答：从A果园运到C地的苹果数为5吨。
此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
型号
数量（件）
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
2
6
11
15
7
3
4

平均数
中位数
众数
甲班
8.5
8.5

乙班
8.5

10

平均数
中位数
众数
甲班
8.5
8.5
8.5
乙班
8.5
8
10