广东省广州市白云区广雅实验学校2025届数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份广东省广州市白云区广雅实验学校2025届数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2、（4分）如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）下列说法中错误的是 （ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．每组邻边都相等的四边形是菱形
4、（4分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2：3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9
5、（4分）已知点A的坐标为（3，﹣6），则点A所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6、（4分）函数的图像经过一、二、四象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
7、（4分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）直角三角形中，两直角边分别是6和8.则斜边上的中线长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知y=xm-2+3是一次函数，则m=________ ．
10、（4分）二次根式中，x的取值范围是________．
11、（4分）如图，在一只不透明的袋子中装有6个球，其中红球3个、白球2个、黄球1个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从袋子中任意摸出一个球，摸到_____球可能性最大．
12、（4分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____．
13、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
=
====
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：；
（2）已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽．
15、（8分）计算：（1—）×+
16、（8分）某市建设全长540米的绿化带，有甲、乙两个工程队参加．甲队平均每天绿化的长度是乙队的1.5倍．若由一个工程队单独完成绿化，乙队比甲队对多用6天，分别求出甲、乙两队平均每天绿化的长度。
17、（10分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC。请再找一对这样的角来 ＝
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。
（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝，BD＝，求BC的长。
18、（10分）某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在▱ABCD中，，，则______．
20、（4分）如图，在平行四边形中，度，，，则______.
21、（4分）若恒成立，则A+B＝____．
22、（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的周长为，其中斜边的长为2，则这个三角形的面积为_____________。
23、（4分）为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见，现从学校所有2400名学生中随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（﹣3，5），点D在线段AO上，且AD＝2OD，点E在线段AB上，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．
25、（10分）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线OAB表示与x之间的函数关系．
（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元；
（2）求、与x的函数表达式；
（3）在图中画出与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．
26、（12分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只选一种，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了________名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形所占百分数为__________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可．
【详解】
由题意得：x−3⩾0，
解得：x⩾3，
故选：D.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
2、C
【解析】
根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断．
【详解】
解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限；同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限，同负时，y＝mx+n过二、三、四象限；
②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，y＝mx+n过一、二、四象限；
故选：C．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
3、A
【解析】
根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
【详解】
A、一组对边平行的四边形是平行四边形，说法错误，有可能是梯形，应该是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，此说法正确；
C、根据四边形的内角和为360°，可得四个内角都相等的四边形是矩形，故正确；
D、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确．
故选A．
本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．
4、B
【解析】
∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；
A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；
B、AD与AG是对应边，故AD：AE=2：3；故错误；
C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；
D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．
故选B．
5、D
【解析】
在平面直角坐标系中要判定一个点所在的象限，通常只需要判断点的横坐标和纵坐标的符号是正还是负就可以确定它所在的象限了.点A的横坐标为正数，纵坐标为负数，所以点A在第四象限.
【详解】
横纵坐标同是正数在第一象限，横坐标负数纵坐标正数在第二象限，横纵坐标同是负数在第三象限，横坐标正数纵坐标负数在第四象限，点A的横坐标为正数，纵坐标为负数，所以点A在第四象限.
此题主要考查如何判断点所在的象限，熟练掌握每个象限内点的坐标的正负符号特征，即可轻松判断.
6、C
【解析】
函数y=（m+1）x-（4m-3）的图象在第一、二、四象限，可得m+1<0，截距-（4m-3）>0，解不等式组可得答案．
【详解】
由已知得,函数y=(m+1)x−(4m−3)的图象在第一、二、四象限，
有
解之得：m<−1.
故答案选C.
本题考查已知一次函数经过的象限，求参数的取值范围.熟记一次函数，k和b与函数图象所在象限的关系是解决此题的关键.
7、B
【解析】
利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】
A、原式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：B．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键．
8、C
【解析】
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边==10，
所以，斜边上的中线长=×10=1．
故选：C．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
一次函数自变量的最高次方为1，据此列式即可求出m.
【详解】
由题意得：m-2=1,
∴m=3,
故答案为3.
此题主要考查一次函数的定义，解题的关键是熟知一次函数的特点.
10、
【解析】
根据二次根式有意义的条件进行求解即可得.
【详解】
根据题意，得
，
解得，，
故答案为：．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“式子叫二次根式、二次根式中的被开方数必须是非负数”是解题的关键.
11、红．
【解析】
根据概率公式先求出红球、白球和黄球的概率，再进行比较即可得出答案．
【详解】
∵不透明的袋子中装有6个球，其中红球3个、白球2个、黄球1个，
∴从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：＝，摸到白球的概率是＝，摸到黄球的概率是，
∴摸到红球的概率性最大；
故答案为：红．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键．
12、3
【解析】
由题意可知：中间小正方形的边长为：a－b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
【详解】
由题意可知：中间小正方形的边长为：a－b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab＋(a－b)2＝25，
∴(a−b)2＝25－16＝9，
∴a－b＝3，
故答案为3.
本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
13、x≥﹣2且x≠1．
【解析】
根据被开方式是非负数，且分母不等于零解答即可.
【详解】
若代数式在实数范围内有意义，则x+2≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）； （2）长为时这个长方形的宽为
【解析】
按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
(1)
=
=
=
=
=
(2) ∵
=
=
∴长为时这个长方形的宽为．
15、
【解析】
原式各项化为最简二次根式后，先算乘法后算加减，合并可得到结果．
【详解】
解：原式=
=
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16、甲队平均每天绿化45米，乙队平均每天绿化30米
【解析】
设乙队平均每天绿化x米， 由时间=工作量÷工作效率，结合乙队比甲队多用6天列分式方程，解出x, 再代入方程检验即可求出x, 则乙队平均每天绿化多少米也可求.
【详解】
设乙队平均每天绿化x米，则甲队平均每天绿化1.5x米，
依题意得
解得x=30
经检验x=30是原方程的根且符合题意，
∴1.5x=45(米)，
答：甲队平均每天绿化45米，乙队平均每天绿化30米。
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.
17、（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则AE=CF，根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；
（3）如图2，作辅助线构建直角三角形，证明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4，从而得结论.
【详解】
解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD=∠ACD；
（2）四边形ACEF为正方形，理由是：
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°
∴∠DAC=∠CBD=45°
∵四边形ACEF是菱形，
∴AELCF，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，.AE=CF，
∴菱形ACEF是正方形；
（3）如图2，过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，
∵BG=4，四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，
易得△ABC≌△CHE，
∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，
∴BG=GH=4，
∴CG=4-3=1，
∴BC=BG+CG=4+1=5.
本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，平行线等分线段定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第3问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键.
18、10%．
【解析】
试题分析：一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
试题解析：设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
考点：一元二次方程的应用.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、．
【解析】
先证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
即是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等腰直角三角形是解决问题的关键．
20、
【解析】
依据平行四边形的对角互相平分可得AO=3cm，在Rt△ABO中利用勾股定理可求AB长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=3cm．
在Rt△ABO中，OB=6cm，AO=3cm，
利用勾股定可得AB=．
故答案为3．
本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，利用平行四边形的对角线互相平分求解三角形中某些线段的长度是解决这类问题通常的方法．
21、2.
【解析】
根据异分母分式加减法法则将进行变形，继而由原等式恒成立得到关于A、B的方程组，解方程组即可得.
【详解】
，
又∵
∴，
解得，
∴A+B＝2，
故答案为：2.
本题考查了分式的加减法，恒等式的性质，解二元一次方程组，得到关于A、B的方程组是解题的关键.
22、0.5
【解析】
首先根据三角形周长及斜边长度求得两直角边的和，再根据勾股定理得出两直角边各自平方数的和的值，再利用完全平方公式得出两直角边的乘积的2倍的值即可求出三角形面积.
【详解】
解：由题意可得AC+BC+AB=，
∵∠C＝90°，则AB为斜边等于2，
∴AC+BC=，
再根据勾股定理得出，
根据完全平方公式，
将AC+BC=和代入公式得：，
即=1，
∴Rt△ABC面积=0.5=0.5.
本题考查了勾股定理，解题的关键是利用完全平方公式求得两直角边的乘积的2倍的值.
23、1
【解析】
先求出100名学生中持“赞成”意见的学生人数所占的比例，再用总人数相乘即可．
【详解】
解：∵100名学生中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，
∴持“赞成”意见的学生人数=100-30=70名，
∴全校持“赞成”意见的学生人数约=2400×=1（名）．
故答案为：1．
本题考查的是用样本估计总体，先根据题意得出100名学生中持赞成”意见的学生人数是解答此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（﹣3，2）
【解析】
先作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．根据矩形的性质及题意得到直线CD′的解析式，即可得到答案.
【详解】
如图，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．此时△DCE′的周长最小．
∵四边形AOCB是矩形， B（﹣3，5），
∴OA＝3，OC＝5，
∵AD＝2OD，
∴AD＝2，OD＝1，
∴AD′＝AD＝2，
∴D′（﹣5，0），∵C（0，5），
∴直线CD′的解析式为y＝x+5，
∴E′（﹣3，2）．
本题考查矩形的性质和求一元一次方程，解题的关键是掌握矩形的性质和求一元一次方程.
25、（1）1；（2），；（3）＜x＜．
【解析】
试题分析：（1）根据单价=总价÷数量，即可解决问题．
（2）y1函数表达式=50+单价×数量，y2与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决．
（3）画出函数图象后y1在y2下面即可解决问题．
试题解析：（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克10÷10=1元．
故答案为1．
（2）由题意，；
（3）函数y1的图象如图所示，由解得：，所以点F坐标（，125），由，解得：，所以点E坐标（，650）．
由图象可知甲采摘园所需总费用较少时＜x＜．
考点：分段函数；函数最值问题．
26、（1）100、30%；（2）见详解；（3）800人；（4）
【解析】
（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数．
（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图．
（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计2500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案；
（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【详解】
解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人，
喜欢用QQ沟通所占比例为：，
故答案为：100、30%；
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人，
喜欢用微信的人数为：100-20-5-30-5=40人，
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%，
∴该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：
2000×40%=800人；
（4）画出树状图，如图所示
所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，
故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人