广东省汕头市濠江区2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份广东省汕头市濠江区2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）化简的结果是( )
A．5B．-5C．±5D．25
2、（4分）使式子有意义的x的取值范围是( )
A．x≥0B．x>0C．x>3D．x≥3
3、（4分）整数满足，则的值为
A．4B．5C．6D．7
4、（4分）如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为( )
A．1cm2B．2cm2C．cm2D．cm2
5、（4分）菱形的对角线长分别是,则这个菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）为了解某校八年级900名学生每天做家庭作业所用的时间，随机抽取其中120名学生进行抽样调查下列说法 正确的是（ ）
A．该校八年级全体学生是总体B．从中抽取的120名学生是个体
C．每个八年级学生是总体的一个样本D．样本容量是120
7、（4分）若函数有意义，则
A． B． C． D．
8、（4分）将一个边长为4cn的正方形与一个长，宽分別为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（ ）
A． B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一次函数（是常数，）的图象经过点，若，则的值是________.
10、（4分）数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：－＝－.因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3(x＞5)，则x＝________．
11、（4分）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程求出AC的长为____________．
12、（4分）若实数x，y满足＋(y＋)2＝0，则yx的值为________.
13、（4分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩________分．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=4，BC=10.求：梯形两腰AB、CD的长.
15、（8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
16、（8分）如图，在矩形中，为对角线，点为边上一动点，连结，过点作，垂足为，连结．
(1)证明：；
(2)当点为的中点时，若，求的度数；
(3)当点运动到与点重合时，延长交于点，若，则 ．
17、（10分）计算: （1）； (2).
18、（10分）某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式，
说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费30元，当主叫计时不超过300分钟不再额外收费，超过300分钟时，超过部分每分钟加收0.20元（不足1分钟按1分钟计算）
（1）请根据题意完成如表的填空；
（2）设某月主叫时间为t（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为y1（元），y2（元），分别写出两种计费方式中主叫时间t（分钟）与费用为y1（元），y2（元）的函数关系式；
（3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知y与x﹣1成正比例，当x＝3时，y＝4；那么当x＝﹣3时，y＝_____．
20、（4分）已知一次函数y=mx+n（m≠0，m，n为常数），x与y的对应值如下表：
那么，不等式mx+n＜0的解集是_____．
21、（4分）如图，在中，是的角平分线，，垂足为E，，则的周长为________．
22、（4分）已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为___．
23、（4分）Rt△ABC与直线l：y＝﹣x﹣3同在如图所示的直角坐标系中，∠ABC＝90°，AC＝2，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线l上时，线段AC扫过的面积等于_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
25、（10分）已知正方形，直线垂直平分线段，点是直线上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图，点在正方形内部，连接，求的度数；
（2）如图，点在正方形内部，连接，若，求的值.
26、（12分）一条笔直跑道上的A，B两处相距500米，甲从A处，乙从B处，两人同时相向匀速而跑，直到乙到达A处时停止，且甲的速度比乙大．甲、乙到A处的距离（米）与跑动时间（秒）的函数关系如图14所示．
（1）若点M的坐标（100，0），求乙从B处跑到A处的过程中与的函数解析式；
（2）若两人之间的距离不超过200米的时间持续了40秒．
①当时，两人相距200米，请在图14中画出P（，0）．保留画图痕迹，并写出画图步骤；
②请判断起跑后分钟，两人之间的距离能否超过420米，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据开平方的运算法则计算即可．
【详解】
解：==5，
故选：A．
本题考查了开平方运算，关键是掌握基本的运算法则．
2、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，列不等式求解．
【详解】
解：∵式子有意义，
∴x-3≥0，
解得：x≥3，
故选D.．
本题考查了二次根式的意义的条件．关键是把握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3、A
【解析】
根据16＜24＜25，得出的取值范围，即可确定n的值．
【详解】
解：∵，且16＜24＜25，
∴4＜＜5，
∴n＝4，
故选：A．
本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．
4、D
【解析】
根据矩形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到S△ABO1=S矩形，又ABC1O1为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O1O2=BO2，所以S△ABO2=S矩形，…，以此类推得到S△ABO5=S矩形，而S△ABO5等于平行四边形ABC5O5的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC5O5的面积．
【详解】
解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，∴S△ABO1= S1，
又S△ABO1=S矩形，∴S1=S矩形=5=；
设ABC2O2为平行四边形为S2，∴S△ABO2=S2，
又S△ABO2=S矩形，∴S2=S矩形==；
，…，
同理：设ABC5O5为平行四边形为S5，S5==．
故选：D．
此题综合考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
5、B
【解析】
根据菱形的面积公式：菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）可得到答案．
【详解】
菱形的面积：
故选：B．
此题主要考查了菱形的面积公式，关键是熟练掌握面积公式．
6、D
【解析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】
解：A.该校八年级全体学生每天做家庭作业所用的时间是总体，故A不符合题意；
B.每个学生每天做家庭作业所用的时间是个体，故B不符合题意；
C.从中抽取的120名学生每天做家庭作业所用的时间是一个样本，故C不符合题意；
D.样本容量是120，故D符合题意；
故选：D．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7、D
【解析】
解：由题意得：x﹣1≠0，解得x≠1．故选D．
8、B
【解析】
分别计算出各个图形的重叠部分面积即可求解．
【详解】
A.重叠部分为矩形，长是4宽是2，,所以面积为4×2=8；
B.重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2，高是4，所以面积大于8；
C. 图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图B的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；
D.如图，BD=，GE=DE=2,HF=BF=2，
∴GH=，
∴S重叠部分=，小于8；
故选B.
本题主要考查平行四边形的、矩形及梯形的面积的运算，分别对选项进行计算判断即可.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
将点A（2，3）代入一次函数y=kx+b中即可求解．
【详解】
∵一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴2k+b=3，
∵kx+b=3，
∴x=2
故答案是：2
考查的是一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上的点一定满足对应的函数解析式是解答此题的关键．
10、1
【解析】
∵x＞5∴x相当于已知调和数1，代入得，解得，x=1．
11、．
【解析】
设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设AC=x．
∵AC+AB=10，
∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC1+BC1=AB1，即x1+31=（10﹣x）1．
解得：x．
故答案为：
本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12、3
【解析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答
【详解】
根据题意得：
解得：
则yx=（） =3
故答案为：3
此题考查非负数的性质，掌握运算法则是解题关键
13、1
【解析】
根据题意得：
85×+80×+90×=17+24+45=1（分），
答：小王的成绩是1分．
故答案为1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、AB=3，CD=3．
【解析】
平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【详解】
解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AB=DE，AD=BE，∠DEC=∠B=60°，
∵∠C=30°，
∴∠EDC=180°-60°-30°=90°，
∵CE=BC-BE=BC-AD=6，
∴DE=3，CD=3，
即AB=3，CD=3．
故答案为：AB=3，CD=3．
本题考查与梯形有关的问题，平移一腰是梯形中常见的辅助线，再根据平行四边形的性质和三角形的性质进行分析．
15、证明见解析.
【解析】
分析：因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
16、（1）见解析；（2）53°;(3)
【解析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
（2）只要证明△CPQ∽△APC，可得∠PQC=∠ACP即可解决问题．
（3）连接AF．与Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），推出DF=QF，设AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，证明△BCQ∽△CFQ，可得，推出，即，由CF∥AB，可得，推出，可得，推出x2+xy-y2=0，解得x=y或（舍弃），由此即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=90°，
∵BQ⊥AP，
∴∠BQP=∠ABP=90°，
∵∠BPQ=∠APB，
∴△ABP∽△BQP．
（2）解：∵△ABP∽△BQP，
∴
∴PB2=PQ•PA，
∵PB=PC，
∴PC2=PQ•PA，
∴
∵∠CPQ=∠APC，
∴△CPQ∽△APC，
∴∠PQC=∠ACP，
∵∠BAC=37°，
∴∠ACB=90°-37°=53°，
∴∠CQP=53°．
（3）解：连接AF．
∵∠D=∠AQF=90°，AF=AF，AD=AQ，
∴Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），
∴DF=QF，设AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，
∵∠BCF=∠CQB=∠CQF=90°，
∴∠BCQ+∠FCQ=90°，∠CBQ=90°，
∴∠FCQ=∠CBQ，
∴△BCQ∽△CFQ，
∴，
∴
∴，
∵CF∥AB，
∴，
∴
∴
∴x2+xy-y2=0，
∴ x=y或（舍弃），
∴
∴.
故答案为：.
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
17、（1）6；（2）
【解析】
分析：(1)根据二次根式的乘法进行计算即可;（2）首先化简各式进而合并同类项求出即可.
详解：（1）(1)原式;
(2)（π+1）0-+||=1-2+ =1-；
点睛：本题考查了二次根式的混合运算,在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.
18、（1）70；100；（2）详见解析；（3）当0≤t≤400时方式一省钱；当400＜t≤1400时，方式二省钱，当t＞1400时，方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同．
【解析】
（1）根据题意得出表中数据即可；
（2）根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；
（3）分别求出几种情况下时x的取值范围，根据x的取值范围即可选择计费方式．
【详解】
解：（1）由题意可得：月主叫时间500分钟时，方式一收费为70元；月主叫时间800分钟时，方式二收费为100元，
故答案为：70；100；
（2）由题意可得：y1（元）的函数关系式为：
；
y2（元）的函数关系式为：
；
（3）①当0≤t≤300时方式一更省钱；
②当300＜t≤600时，若两种方式费用相同，则当0.2t﹣30＝50，
解得：t＝400，
即当t＝400，两种方式费用相同，
当300＜t≤400时方式一省钱，
当400＜t≤600时，方式二省钱；
③当t＞600时，若两种方式费用相同，则当0.2t﹣30＝0.25t﹣100，
解得：t＝1400，
即当t＝1400，两种方式费用相同，当600＜t≤1400时方式二省钱，
当t＞1400时，方式一省钱；
综上所述，当0≤t≤400时方式一省钱；当400＜t≤1400时，方式二省钱，当t＞1400时，方式一省钱，当为400分钟、1400分钟时，两种方式费用相同．
本题考查了一次函数的应用，难度中等．得到两种计费方式的关系式是解决本题的关键，注意在列式时应保证单位的统一．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、﹣8
【解析】
首先根据题意设出关系式：y=k(x-1)，再利用待定系数法把x=3，y=4代入，可得到k的值，再把k的值代入所设的关系式中，然后把x=-3代入即可求得答案.
【详解】
∵y与x-1成正比例，
∴关系式设为：y=k(x-1)，
∵x=3时，y=4，
∴4=k(3-1)，
解得：k=2，
∴y与x的函数关系式为：y=2(x-1)=2x-2，
当x=-3时，y=-6-2=-8，
故答案为：-8.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是设出关系式，代入x，y的值求k．
20、x＜﹣1
【解析】
由表格得到函数的增减性后，再得出时，对应的的值即可.
【详解】
当时，，
根据表可以知道函数值随的增大而增大，
故不等式的解集是.
故答案为：.
此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间联系.理解一次函数的增减性是解决本题的关键.
21、；
【解析】
在△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形，利用边之间的关系，得出各边长，从而得出△ABC的周长．
【详解】
∵∠C=90°，∠B=30°，DE=1
∴在Rt△DEB中，DB=2，EB=
∵AD是∠CAB的角平分线
∴CD=DE=1，∠CAD=∠DAE=30°
∴在Rt△ACD中，AD=2，
同理，在Rt△ADE中，AD=2，AE=
∴△ABC的周长=AE+EB+BD+DC+CA=3+3
故答案为：3+3．
本题考查含30°角的直角三角形、角平分线的性质，解题关键是得出△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形．
22、3．
【解析】
讨论两种情形：①CD是对角线，②CD是边．CD是对角线时CF⊥直线y＝x时，CD最小．CD是边时，CD＝AB＝2，通过比较即可得出结论．
【详解】
如图，由题意得：点C在直线y＝x上，
①如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝x时，CD最小，
易知直线AB为y＝x﹣2，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣1），
∵CF⊥直线y＝x，
设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，
∴直线CF为y＝﹣x+1，
由，解得：，
∴点C坐标．
∴CD＝2CF＝2×．
如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＞3，
∴CD的最小值为3．
故答案为3．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型．
23、1
【解析】
根据题意作出图形，利用勾股定理求出BC,求出C’的坐标，再根据矩形的面积公式即可求解.
【详解】
解：∵∠ABC＝90°，AC＝2，A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，
∴BC＝＝4，
∴点C的坐标为（3，4），
当y＝4时，4＝﹣x﹣3，得x＝﹣7，
∴C′（﹣7，4），
∴CC′＝10，
∴当点C落在直线l上时，线段AC扫过的面积为：10×4＝1，
故答案为：1．
此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）正比例函数解析式为y=﹣2x；（2）m=﹣1；（3）点P不在这个函数图象上，理由见解析．
【解析】
（1）将点A的坐标代入正比例函数解析式中求出k的值，即可确定出正比例解析式；（2）将点B（m，m+3）代入所求的解析式，即可求得m的值；（3）把x=- 代入所求的解析式，求得y的值，比较即可.
【详解】
（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得：
﹣k=2，k=﹣2，
则正比例函数解析式为y=﹣2x；
（2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2x，得：﹣2m=m+3，
解得：m=﹣1；
（3）当x=﹣时，y=﹣2×（﹣）=3≠1，
所以点P不在这个函数图象上．
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式计算即可．
25、（1）；（2）.
【解析】
（1）连接MC，利用等边对等角可知，于是
（2）连，过作交于点.证得，由此证得三角形NCD为等腰三角形，设，用x表示ND2和CD2即可求得
【详解】
（1）连．
∵为垂直平分线
∴
又∵
∴
∴
∴
即
（2）连，过作交于点
由（1）可得
∴
又∵
∴
∴，
设
交于
交于，交于
在中，
∴
∴
∴
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，属于较难的综合题，熟练掌握相关性质是解题的关键.
26、（1）；（2）①见解析；②起跑后分钟，两人之间的距离不能超过米，理由见解析．
【解析】
（1）设乙从B处跑到A处的过程中y与x的函数关系式为y=kx+b，把（0，10）和（100，0）代入求出k，b的值即可，
（2）①设，两直线相交于点.过点作轴的垂线，交直线于点，
在射线上截取，使过点作轴的垂线，则垂足即为所求点．
②由两人有相距200到相遇用时1秒，由a＞b，，起跑后分钟(即秒)，两人处于相遇过后，但乙未到达处，则计算乙在90秒内离开B距离比较即可．
【详解】
（1）设
把分别代入，可求得
∴解析式为
（2）如图：
设，两直线相交于点.
步骤为: ．
①过点作轴的垂线，交直线于点
②在射线上截取，使
③过点作轴的垂线，则垂足即为所求点．
（3）起跑后分钟，两人之间的距离不能超过米．
理由如下：
由题可设
∵两人之间的距离不超过米的时间持续了秒，
∴可设当或时，两人相距为米．
∴相遇前，当时，，即
也即①．
相遇后，当时，
即
也即②．
把①代入②，可得
解得
当两人相遇时，，即
即，解得x=1．
∵甲的速度比乙大，所以，可得
∴起跑后分钟(即秒)，两人处于相遇过后，但乙未到达处．
∴两人相距为
∵，
∴两人之间的距离不能超过米.
本题为一次函数图象问题，考查了一次函数图象性质、方程和不等式有关知识，解答关键是根据条件构造方程或不等式解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
月使用费/元
主叫限定时间/分钟
主叫超时费（元/分钟）
方式一
30
600
0.20
方式二
50
600
0.25
月主叫时间500分钟
月主叫时间800分钟
方式一收费/元

130
方式二收费/元
50

x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣1
0
1
2
3
4