2025届福建永安市数学九上开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届福建永安市数学九上开学综合测试试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130°B．150°C．160°D．170°
2、（4分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝或t＝，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、（4分）一个正多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为( )
A．4B．6C．8D．10
4、（4分）将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
6、（4分）已知一组数据为8，9，10，10，11，则这组数据的众数（ ）
A．8B．9C．10D．11
7、（4分）如图所示，E、F分别是□ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=2cm2，S△BQC=4cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 cm2B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm2
8、（4分）甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同。设甲每天加工服装x件。由题意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点的表示的数为_____．
10、（4分）因式分解：x2﹣9y2= ．
11、（4分）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则a2b+ab2的值为_____．
12、（4分）如图，在△ABC中，AB=9cm，AC=12cm，BC=15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是____________cm．
13、（4分）已知关于X的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．
（1）求证：AF=BE；
（2）求点E到BC边的距离．
15、（8分）如图，是边长为的等边三角形.
（1）求边上的高与之间的函数关系式。是的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的与的值.
（2）当时，求的值.
（3）求的面积与之间的函数关系式.是的一次函数吗？
16、（8分）如图1，是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一四柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示 槽中水的深度与注水时间关系，线段DE表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是 .
（2）注水多长时间时，甲、乙.两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），则乙槽中铁块的体积为 立方厘米.
17、（10分）已知，关于x的一次函数y＝(1﹣3k)x+2k﹣1，试回答：
(1)k为何值时，图象交x轴于点(，0)？
(2)k为何值时，y随x增大而增大？
18、（10分）已知一次函数，当时，，求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则△PBD与△PAC的面积比为_____．
20、（4分）计算： _______________．
21、（4分）已知点A（），B（）是一次函数图象上的两点，当时，__.（填“>”、“＝”或“<”）
22、（4分）妈妈做了一份美味可口的菜品，为了了解菜品的咸淡是否适合，于是妈妈取了一点品尝，这应该属于___________（填普查或抽样调查）
23、（4分）现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数均为1.85米，方差分别为，，则身高较整齐的球队是_______队．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如下表：
设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．
（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）试比较A、B两城总运费的大小；
（3）若B城的总运费不得超过3800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
25、（10分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
26、（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠1．求证：四边形ABCD是矩形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选C．
考点：旋转的性质；平行四边形的性质．
2、A
【解析】
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【详解】
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②错误；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（2.5，150）代入可得，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，
当100﹣40t＝40时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣40时，可解得t＝，
又当t＝时，y甲＝40，此时乙还没出发，
当t＝时，乙到达B城，y甲＝260；
综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距40千米，故④不正确；
故选A．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
3、C
【解析】
因为多边形的外角和为360°，所以这个多边形的边数为：360÷45=8，
故选C.
4、C
【解析】
让点A的横坐标减2，纵坐标不变，可得A′的坐标．
【详解】
解：将点A（4，2）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（4−2，2），
即（2，2），
故选：C．
本题考查坐标的平移变化，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加．
5、B
【解析】
由AB=AC，知道顶∠A的度数，就可以知道底∠C的度数，还知道BC=BD，就可以知道∠CDB的度数，在利用三角形的外角∠A+∠ABD=∠CDB，就可以求出ABD的度数
【详解】
解，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠C=72°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠C=72°，
又∵∠A+∠ABD=∠BDC ∴∠ABD=∠BDC-∠A=72°-36°=36°
本题主要考查等腰三角形的性质，结合角度的关系进行求解
6、C
【解析】
一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数，据此解答即可得到答案．
【详解】
解：这组数据中8、9、11各出现一次，10出现两次，因此这组数据的众数是10.
故选C.
本题主要考查了众数的含义.
7、A
【解析】
连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFG=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．
【详解】
连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD=1cm1，S△BQC=4cm1，
∴S四边形EPFQ=6cm1，
故阴影部分的面积为6cm1．
故选A.
本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．
8、C
【解析】
根据乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同，列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，，
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
【详解】
解：由勾股定理得：，
则，
点表示，
点表示，
故答案为：．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．
10、．
【解析】
因为，所以直接应用平方差公式即可：．
11、﹣1
【解析】
直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
【详解】
∵a+b=3，ab=-3，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×（-3）=-1．
故答案为-1
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12、7.2
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理求出∠A=90°，根据矩形的判定得出四边形ADME是矩形，根据矩形的性质得出DE=AM，求出AM的最小值即可．
解：∵在△ABC中，AB=6cm，AC=1cm，BC=10cm，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠A=90°，
∵MD⊥AB，ME⊥AC，
∴∠A=∠ADM=∠AEM=90°，
∴四边形ADME是矩形，
∴DE=AM，
当AM⊥BC时，AM的长最短，
根据三角形的面积公式得：AB×AC=BC×AM，
∴6×1=10AM，
AM=4.1（cm），
即DE的最小值是4.1cm．
故答案为4.1．
考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．
13、m≤3且m≠2
【解析】
试题解析：∵一元二次方程有实数根
∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0
解得：m≤3且m≠2.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见解析;(2).
【解析】
（1）利用ASA证明△AFO≌△BE，然后根据全等三角形的对应边相等即可得AF=BE；
（2）如图，过点E作EN⊥BC，垂足为N，根据正方形的边长求得对角线的长，继而求得OC的长且∠ECN＝45°，由E是OC的中点，可得OE＝EC＝1，在直角三角形ENC中利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】
（1）∵正方形ABCD， ∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM，∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中
，
∴△AFO≌△BE(ASA），
∴AF=BE；
（2）如图，过点E作EN⊥BC，垂足为N，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝＝4，CO＝2，且∠ECN＝45°，
∵E是OC的中点，∴OE＝EC＝1，
由EN⊥BC，∠ECN＝45°，得∠CEN＝45°，
∴EN＝CN，
设EN＝CN＝x，∵+＝，
∴+＝1 ，
∴ 因为x＞0，x，
即：点E到BC边的距离是.
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
15、（1），是的一次函数，，b=0；（2）x=2；（3），不是的一次函数.
【解析】
（1）根据勾股定理计算h的长，可得结论；
（2）直接将h的值代入可得结论；
（3）根据三角形面积公式计算可得结论．
【详解】
解：（1）因为边上的高也是边上的中线，所以，.在中，由勾股定理得，
即，
所以是的一次函数，且，b=0；
（2）h=时，；x=2；
（3）因为，所以不是的一次函数.
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，一次函数的性质，能灵活应用这些性质是解题的关键．
16、（1）乙；甲；乙槽中铁块的高度为14cm；（2）当2分钟时两个水槽水面一样高；（3）84.
【解析】
（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间；
（3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积；
【详解】
解：（1）根据图像可知，折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中铁块的高度为14cm；
故答案为：乙；甲；乙槽中铁块的高度为14cm；
（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，
∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）
∴，
解得：，
∴解析式为y=3x+2和y=-2x+12，
令3x+2=-2x+12，
解得x=2，
∴当2分钟时两个水槽水面一样高．
（3）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，
当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，
设铁块的底面积为acm2，则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm3，
∴放了铁块的体积为：3×（36-a）cm3，
∴1×3×（36-a）=1×2.5×36，
解得a=6，
∴铁块的体积为：6×14=84（cm3），
故答案为：84.
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
17、（1）k＝﹣1；（2）
【解析】
（1）把点（，0）代入y＝（1﹣3k）x+2k﹣1，列出关于k的方程，求解即可；
（2）根据1﹣3k＞0时，y随x增大而增大，解不等式求出k的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一次函数y＝（1﹣3k）x+2k﹣1的图象交x轴于点（，0），
∴（1﹣3k）+2k﹣1＝0，
解得k＝﹣1；
（2）1﹣3k＞0时，y随x增大而增大，
解得．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质．
18、该直线与x轴交点的坐标是（1，0），与y轴的交点坐标是（0，-1）．
【解析】
把x、y的值代入y=kx-1，通过解方程求出k的值得到一次函数的解析式，根据直线与x轴相交时，函数的y值为0，与y轴相交时，函数的x值为0求出该直线与坐标轴的交点坐标．
【详解】
解：∵一次函数y=kx-1，当x=2时，y=-2，
∴-2=2k-1，解得k=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1．
∵当y=0时，x=1；
当x=0时，y=-1，
∴该直线与x轴交点的坐标是（1，0），与y轴的交点坐标是（0，-1）．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．正确求出直线的解析式是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1:1
【解析】
以点A为原点，建立平面直角坐标系，则点B（3，1），C（3，0），D（2，1），如下图所示：
设直线AB的解析式为yAB=kx,直线CD的解析式为yCD=ax+b,
∵点B在直线AB上，点C、D在直线CD上，
∴1=3k, 解得:k= , ，
∴yAB=x, yCD=-x+3,
∴点P的坐标为（ ， ），
∴S△PBD ：S△PAC＝ ．
故答案是：1:1．
20、1
【解析】根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案．
解：(-)1=（-）（-）=1．
故答案为：1．
21、<
【解析】
试题解析：∵一次函数y=-1x+5中k=-1＜0，
∴该一次函数y随x的增大而减小，
∵x1＞x1，
∴y1＜y1．
22、抽样调查
【解析】
根据普查和抽样调查的定义，显然此题属于抽样调查．
【详解】
由于只是取了一点品尝，所以应该是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
此题考查抽样调查和全面调查，解题关键在于掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
23、甲
【解析】
根据方差的意义解答．方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）． 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
【详解】
∵＜，
∴身高较整齐的球队是甲队。
故答案为：甲.
此题考查极差、方差与标准差，解题关键在于掌握其性质.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y1=−10x＋6000，y2＝5x＋1（2）x＝180时，y1＝y2；x＞180时，y1＜y2；x＜180时，y1＞y2；（3）当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，两城总费用的和最少，最小值为2元．
【解析】
（1）根据题意即可得出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程或列不等式解答即可；
（3）设两城总费用为y，根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系式，根据题意得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】
（1）根据题意得：y1＝20x＋30（200−x）＝−10x＋6000，
y2＝10（240−x）＋15（300−240＋x）＝5x＋1．
（2）若y1＝y2，则−10x＋6000＝5x＋1，解得x＝180，
A、B两城总费用一样；
若y1＜y2，则−10x＋6000＜5x＋1，解得x＞180，
A城总费用比B城总费用小；
若y1＞y2，则−10x＋6000＞5x＋1，解得0＜x＜180，
B城总费用比A城总费用小．
（3）依题意得：5x＋1≤3800，
解得x≤100，
设两城总费用为W，则W＝y1＋y2＝−5x＋9300，
∵−5＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝100时，W有最小值2．
200−100＝100（t），240−100＝140（t），100＋60＝160（t），
答：当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，两城总费用的和最少，最小值为2元．
本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论．
25、 (1)A(﹣4，0)，B(2，0)；(2)S△ABC＝12；(3)当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
【解析】
（1）令y=0，解一元二次方程可得A，B坐标.
（2）求出C点坐标可求，△ABC的面积.
（3）作PD⊥AO交AC于D，设P的横坐标为t，用t表示PD和△ACP的面积，得到关于t的函数，根据二次函数的最值的求法，可求△ACP面积的最大值．
【详解】
解：(1)设y＝0，则0＝﹣x2﹣x+4
∴x1＝﹣4，x2＝2
∴A(﹣4，0)，B(2，0)
(2)令x＝0，可得y＝4
∴C(0，4)
∴AB＝6，CO＝4
∴S△ABC＝×6×4＝12
(3)如图：作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y＝kx+b
∴
解得：
∴AC解析式y＝x+4
设P(t，﹣ t2﹣t+4)则D(t，t+4)
∴PD＝(﹣t2﹣t+4)﹣(t+4)＝﹣t2﹣2t＝﹣(t+2)2+2
∴S△ACP＝PD×4＝﹣(t+2)2+4
∴当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
本题主要考查二次函数综合题，重在基础知识考查，熟悉掌握是关键.
26、参见解析．
【解析】
试题分析：此题利用对角线相等的平行四边形是矩形的判定方法来判定四边形ABCD是矩形．
试题解析：在□ABCD中，应用平行四边形性质得到AO=CO，BO=DO，又 ∵∠2=∠2 ，∴BO=CO，∴AO=BO=CO=DO，∴AC=BD，∴□ABCD为矩形．
考点：2．矩形的判定；2．平行四边形性质．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
C（元/t）
D（元/t）
A
20
30
B
10
15