2024年福建省三明市永安市数学九上开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024年福建省三明市永安市数学九上开学综合测试试题【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A． 0或3B． 3C． 0D．﹣1
2、（4分）如图，在三角形中，，平分交于点，且，，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）八年级一班要在赵研、钱进、孙兰、李丁四名同学中挑选一名同学去参加数学竞赛，四名同学在5次数学测试中成绩的平均数x及方差S2如下表所示：
如果选出一名成绩较好且状态稳定的同学去参赛，那么应选（ ）
A．赵研B．钱进C．孙兰D．李丁
4、（4分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的是（ ）
A．中位数是92.5B．平均数是92C．众数是96D．方差是5
5、（4分）若一个正方形的面积为(ɑ+1)(ɑ+2)+，则该正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，则∠OAB的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
7、（4分）如图，在中，，，点为上一点，，于点，点为的中点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≠2C．x≥1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，那么相邻两边的长分别是_____．
10、（4分）正方形、、、…按如图所示的方式放置.点、、、…和点、、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是__________．（为正整数）
11、（4分）约分___________．
12、（4分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是__________．
13、（4分）已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，AD＝12，DC＝1．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；
（2）求线段AF的长度．
（3）求△AEF的面积．
15、（8分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，点E为线段AB中点，∠ABO的平分线BD与y轴相较于点D，点A、C关于点O对称．
（1）求线段DE的长；
（2）一个动点P从点D出发，沿适当的路径运动到直线BC上的点F，再沿射线CB方向移动2个单位到点G，最后从点G沿适当的路径运动到点E处，当P的运动路径最短时，求此时点G的坐标；
（3）将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角度α（0＜α≤180°），在旋转过程中DE所在的直线分别与直线BC、直线AC相交于点M、点N，是否存在某一时刻使△CMN为等腰三角形，若存在，请求出CM的长，若不存在，请说明理由．
16、（8分）八年级班一次数学测验，老师进行统计分析时，各分数段的人数如图所示(分数为整数，满分分)．请观察图形，回答下列问题：
（1）该班有____名学生：
（2）请估算这次测验的平均成绩．
17、（10分）计算：
(1) （2）
18、（10分）如图，在直角坐标系中，，，是线段上靠近点的三等分点.
（1）若点是轴上的一动点，连接、，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
（2）如图2，过点作，交于点，再将绕点作顺时针方向旋转，旋转角度为，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线的交点为，直线与直线交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，为直角三角形，其中，则的长为__________________________．
20、（4分）若式子 有意义，则x的取值范围为___________．
21、（4分）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
22、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．
23、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）若，，求的长.
（2）求证：四边形是平行四边形.
25、（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BC=15，AD= 20，求AB和CD的长．
26、（12分）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形其边长分别为多少时面积最大. 请将他们的探究过程补充完整.
（1）列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，则有y=____________；
（2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是____________；
（3）列表：

写出m=____________；
（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；
（5）结合图象可得，x=____________时，矩形的面积最大；写出该函数的其它性质（一条即可）：____________.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-4=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】
解：
方程两边同乘（x-4）得
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-4=0，
解得x=4，
把x=4代入，得，解得m=-1
故选：D
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2、C
【解析】
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=1CD，BC=9cm，则点D到AB的距离.
【详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD：DC=1：1，BC=6，
∴DC=×6=1，
∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，
∴DE=DC=1．
故选：C．
本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.
3、B
【解析】
根据平均数和方差的意义解答.
【详解】
从平均数看，成绩最好的是钱进、孙兰同学，
从方差看，钱进方差小，发挥最稳定，
所以如果选出一名成绩较好且状态稳定的同学去参赛，那么应选钱进.
故选：.
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键.
4、B
【解析】
试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，
则中位数为：，故A错误；
平均数为：，故B正确；
众数为：91，故C错误；
方差S2=
=，故D错误．
故选A．
5、B
【解析】
把所给代数式重新整理后用完全平方公式分解因式即可.
【详解】
(ɑ+1)(ɑ+2)+＝＝，
∴正方形的边长为：.
故选B.
本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．
6、A
【解析】
首先根据题意得出平行四边形ABCD是矩形，进而求出∠OAB的度数．
【详解】
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°．
故选：A．
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是判断出四边形ABCD是矩形，此题难度不大．
7、B
【解析】
先证明Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），得到点E是DC的中点，进而得出EF是△ADC的中位线，再根据已知数据即可得出EF的长度．
【详解】
解：∵，
∴∠BED=∠BEC
在Rt△BDE与Rt△BCE中

∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）
∴DE=CE
∴点E是CD的中点，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴
∵，，，
∴AD=AB-BC=4
∴EF=2
故答案为：B．
本题考查了全等三角形的证明及中位线的应用，解题的关键是得到EF是△ADC的中位线，并熟知中位线的性质．
8、D
【解析】
试题解析：由题意得，且
解得且
故选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4和1
【解析】
设短边为x,则长边为x+4,再利用周长为24作等量关系，即可列方程求解.
【详解】
∵平行四边形周长为24，
∴相邻两边的和为12，
∵相邻两边的差是4，
设短边为x,则长边为x+4
∴x+4+x=12
∴x=4
∴两边的长分别为：4，1．
故答案为：4和1；
主要考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边相等这一性质，并建立适当的方程是解题的关键.
10、
【解析】
分析：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为（2n-1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]．
详解：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，
又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为2n-1，
∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]=（2n-1，2n-1）．
故答案为（2n-1，2n-1）．
点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
11、
【解析】
根据分式的性质,分子分母同时扩大或缩小相同倍数时分式的值不变即可解题.
【详解】
=,（分子分母同时除以6abc）.
本题考查了分式的变形和化简,属于简单题,熟悉分式的性质是解题关键.
12、
【解析】
由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b=．故答案为．
13、1
【解析】
根据根与系数的关系可得：α+β＝2019，αβ＝1，将其代入（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+ 中即可求出结论．
【详解】
∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，
∴α+β＝2019，αβ＝1，
∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+＝1．
故答案为1．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（3）4；（3）3．
【解析】
（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF≌△AB′E；
（3）先设FA＝FC＝x，则DF＝DC﹣FC＝1﹣x，根据Rt△ADF中，AD3+DF3＝AF3，即可得出方程43+（1﹣x）3＝x3，然后解关于x的值即可；
（3）由S△AEF＝AE•AD求解即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠B′＝90°，AD＝CB＝AB′，
∵∠DAF+∠EAF＝90°，∠B′AE+∠EAF＝90°，
∴∠DAF＝∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中，，
∴△ADF≌△AB′E（ASA）．
（3）由折叠性质得FA＝FC，
设FA＝FC＝x，则DF＝DC﹣FC＝1﹣x，
在Rt△ADF中，AD3+DF3＝AF3，
∴43+（1﹣x）3＝x3．
解得x＝4．
∵△ADF≌△AB′E（已证），
∴AE＝AF＝4，
（3）S△AEF＝×4×4＝3．
本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
15、（1）1；（2）（，）；（3）6+﹣3或6++3或2﹣2或8.
【解析】
（1）想办法证明DE⊥AB，利用角平分线的性质定理证明DE＝OD即可解决问题；
（2）过点E作EE′∥BC，点E′在x轴下方且EE′＝2，作点D关于直线BC的对称点D′，连接E′D′交BC于F，在射线CB上取FG＝2．此时D→F→G→E的路径最短．
（3）分三种情形：①如图1中，当CM＝CN时，在AE上取一点P，使得AP＝PN．设EN＝x．②如图2中，当MN＝MC时，作BP⊥MN于P，则四边形ADPB是矩形．③如图3中，当NC＝MN时，D与N重合，作DP⊥BC于P．分别解直角三角形即可解决问题.
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，
∴A（0，3），B（，0），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∵BD平分∠ABO，
∴∠DBO＝30°，
∴OD＝OB•tan30°＝1，DB＝2OD＝2，
∴AD＝DB＝2，
∴AE＝EB，
∴DE⊥AB，∵DO⊥OB，DB平分∠ABO，
∴DE＝DO＝1．
（2）过点E作EE′∥BC，点E′在x轴下方且EE′＝2，作点D关于直线BC的对称点D′，连接E′D′交BC于F，在射线CB上取FG＝2．此时D→F→G→E的路径最短．
∵E′（，），D′（2，﹣1），
∴直线D′E′的解析式为，直线BC的解析式为y＝x﹣3，
由，解得，，
∴F ．
把点F向上平移3个单位，向右平移个单位得到点G，
∴G（）．
（3）以点A为圆心，以AE为半径作⊙A，则DE为⊙A的切线．
①如图1中，当CM＝CN时，在AE上取一点P，使得AP＝PN．设EN＝x．
∵CM＝CN，∠MCN＝30°，
∴∠CNM＝∠CMN＝75°，
∴∠ANE＝∠CNM＝75°，
∴∠EAN＝15°，
∴∠PAN＝∠ANP＝15°，
∴∠EPN＝30°，
∴PN＝AP＝2x，PE＝x，
∴2x+x＝，
∴x＝2﹣3，
∴AN＝，
∴CM＝CN＝=．
②如图2中，当MN＝MC时，作BP⊥MN于P，则四边形ADPB是矩形，PB＝AE＝，
在Rt△PBM中，∠PBM＝30°，
∴BM＝2，
∴CM＝BC﹣BM＝2﹣2．
③如图2﹣1中．CM＝CN时，同法可得CM＝．
④如图3中，当NC＝MN时，D与N重合，作DP⊥BC于P．
∵CD＝6+2＝8，∠DCP＝30°，
∴PC＝PM＝4，
∴CM＝8
综上所述，满足条件的CM的值为或或2﹣2或8．
本题考查一次函数的应用、锐角三角函数、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
16、（1）60 （2）61分
【解析】
（1）把各分数段的人数相加即可．
（2）用总分数除以总人数即可求出平均分．
【详解】
（1）（名）
故该班有60名学生．
（2）（分）
故这次测验的平均成绩为61分．
本题考查了条形统计图的问题，掌握条形统计图的性质、平均数的算法是解题的关键．
17、 (1); (2).
【解析】
（1）先进行二次根式的乘法运算，然后再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可得解；
（2）利用完全平方公式进行计算即可得解.
【详解】
(1)
=
=
=；
（2）
=40-60+45
=.
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
18、（1），；（2）α的值为45°，90°，135°，180°．
【解析】
（1）作HG⊥OB于H．由HG∥AO，求出OG，HG，即可得到点H的坐标，作点B关于y轴的对称点B′，连接B′H交y轴于点M，则B'（-2，0），此时MB+MH的值最小，最小值等于B'H的长；求得直线B′H的解析式为y= ，即可得到点M的坐标为．
（2）依据△OST为等腰三角形，分4种情况画出图形，即可得到旋转角的度数．
【详解】
解：（1）如图1，作HG⊥OB于H．
∵HG∥AO，
∴
∵OB=2，OA= ，
∴GB= ，HG= ，
∴OG=OB-GB= ，
∴H（，）
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′H交y轴于点M，则B'（-2，0），
此时MB+MH的值最小，最小值等于B'H的长．
∵B'（-2，0），H（，）
B'H=
∴MB+MH的最小值为
设直线B'H的解析式为y=kx+b，则有

解得：
∴直线B′H的解析式为
当x=0时，y=
∴点M的坐标为：
（2）如图，当OT=OS时，α=75°-30°=45°；
如图，当OT=TS时，α=90°；
如图，当OT=OS时，α=90°+60°-15°=135°；
如图，当ST=OS时，α=180°；
综上所述，α的值为45°，90°，135°，180°．
本题考查几何变换综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称最短问题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、.
【解析】
由∠B=90°，∠BAD=45°，根据直角三角形两锐角互余求得∠BDA=45°，因此AB=BD，由∠DAC=15°，根据三角形外角性质可求得∠C=30°，由AC=2，根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求得AB=1，即BD=1，根据勾股定理求得BC=，从而得到CD的长.
【详解】
解：∵∠B=90°，∠BAD=45°,
∴∠BDA=45°，AB=BD，
∵∠DAC=15°，
∴∠C=30°，
∴AB=BD=AC=×2=1，
∴BC===，
∴CD=BC-BD=-1.
故答案为-1.
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识.
20、x≥5
【解析】
根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】
因为式子有意义，
可得：x-5≥1，
解得：x≥5，
故选A．
主要考查了二次根式的意义．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于1．
21、2.4或
【解析】
分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】
若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22、6.5
【解析】
试题分析：依题意作图可知EF为Rt△ABC中位线，则EF=AB．在Rt△ABC中AB=
所以EF=6.5
考点：中位线定理
点评：本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线定理知识点的掌握．
23、（2，2）．
【解析】
解：过点B作DE⊥OE于E，
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠CAO=30°．
又∵OC=2，∴AC=1．∴OB=AC=1．
又∵∠OBC=∠CAO=30°，DE⊥OE，∠CBA=90°，∴∠OBE=30°．
∴OE=2，BE=OB·cs∠OBE=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
故答案为：（2，2）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）根据角平分线的性质及平行线的判定得到，再根据即可证明.
【详解】
（1）解：∵四边形为平形四边形
∴
∵平分
∴
∴
∴，
∴
（2）证明：∵四边形为平行四边形
∴
∵平分
又∴
∴
∴
∴四边形为平行四边形
此题主要考查平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质定理.
25、（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴
（2），
【解析】
试题分析：（1）由于AB为直径且AB⊥CD，由此可知B点将平分，所以，由此推出
（2）∵AB为⊙O的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴
考点：直径垂直平分线的性质，勾股定理的计算
点评：本题难度不大，需要记住的是圆的直径和直角三角形的关系
26、见解析
【解析】
（1）根据矩形的周长表示出另一边长，然后利用矩形面积公式即可求得y与x间的关系式；
（2）根据矩形周长以及边长大于0即可求得；
（3）把x=3.5代入（1）中的解析式即可求得m的值；
（4）按从左到右的顺序用平滑的曲线进行画图即可；
（5）观察图象即可得.
【详解】
（1）因为矩形一边长为x，则另一边长为（-x）=（4-x），
依题意得：矩形的面积y=x（4-x），
即y=-x2+4x，
故答案为：-x2 + 4x；
（2）由题意得，解得：0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4；
（3）当x=3.5时，y=-3.52+4×3.5=1.75，
故答案为：1.75；
（4）如图所示；
（5）观察图象可知当x=2时矩形面积最大，
轴对称图形；当0＜x≤2时，y随x的增大而增大等，
故答案为：2；轴对称图形或当0＜x≤2时，y随x的增大而增大.
本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，得出函数解析式是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲
乙
丙
丁
85
93
93
86
S2
3
3
3.5
3.7
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y
…
1.75
3
3.75
4
3.75
3
m
…