2024年福建省福州市平潭综合实验区九上数学开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024年福建省福州市平潭综合实验区九上数学开学综合测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC＝90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD相交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．AO＝ODB．EF＝ADC．S△AEO＝S△AOFD．S△ABC＝2S△AEF
2、（4分）下列说法：矩形的对角线互相垂直且平分；菱形的四边相等；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分．其中正确的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
3、（4分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒
A．2.5B．3C．3.5D．4
4、（4分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是3B．中位数是4
C．极差是4D．方差是2
5、（4分）若函数的解析式为y=，则当x=2时对应的函数值是（ ）
A．4B．3C．2D．0
6、（4分）在中招体育考试中，某校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样，方差分别为：=8.2，=21.7，=15，=17.2，则四个班体育考试成绩最不稳定的是（ ）
A．甲班B．乙班C．丙班D．丁班
7、（4分）一次函数不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8、（4分）已知▱ABCD的周长为50cm，△ABC的周长为35cm，则对角线AC的长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）函数y=–1的自变量x的取值范围是 ．
10、（4分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_________.
11、（4分）某茶叶厂用甲，乙，丙三台包装机分装质量为200g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了20盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示：
根据表中数据，可以认为三台包装机中，包装茶叶的质量最稳定是_____．
12、（4分）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，使点落在上，若，则的大小是______°.
13、（4分）化简： ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、QE
（1）求证：四边形BPEQ是菱形：
（2）若AB＝6，F是AB中点，OF＝4，求菱形BPEQ的面积．
15、（8分）如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，把直线沿x轴的负方向平移6个单位得到直线，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接BC．
如图，分别求出直线和的函数解析式；
如果点P是第一象限内直线上一点，当四边形DCBP是平行四边形时，求点P的坐标；
如图，如果点E是线段OC的中点，，交直线于点F，在y轴的正半轴上能否找到一点M，使是等腰三角形？如果能，请求出所有符合条件的点M的坐标；如果不能，请说明理由．
16、（8分）我们都知道在中国象棋中，马走日，象走田，如图所示，假设一匹马经过A、B两点走到点C,请问点A 、B在不在马的起始位置所在的点与点C所确定的直线上?请说明你的理由.
17、（10分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相较于点O，的角平分线BF交CD于点E，交AC于点F
求证：；
若，求AB的值
18、（10分）如图，直线l1：y=﹣2x与直线l2：y=kx+b在同一平面直角坐标系内交于点P．
（1）直接写出不等式﹣2x＞kx+b的解集______；
（2）设直线l2与x轴交于点A，△OAP的面积为12，求l2的表达式．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是________________.
20、（4分）若，则关于函数的结论：①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③y恒为正值；④y恒为负值.正确的是________.（直接写出正确结论的序号）
21、（4分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是__．
22、（4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.
23、（4分）若关于 x 的分式方程的解为正数，则 m 的取值范围是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，求证：AF＝CE．
25、（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．
26、（12分）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示：
（1）计算小明该学期的平时平均成绩．
（2）如果按平时占20%，期中占30%，期末占50%计算学期的总评成绩． 请计算出小明该学期的总评成绩．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逐项分析即可．
【详解】
解：
∵EF是Rt△ABC的中位线，
∴EF BC ,
∵AD是斜边BC边上的中线，
∴AD=BC，
∴EF=AD，故选项B正确；
∵AE=BE，EO∥BD，
∴AO=OD，故选项A正确；
∵E，O，F，分别是AB，AD，AC中点，
∴EO=BD，OF=DC，
∵BD=CD，
∴OE=OF，
又∵EF∥BC，
∴S△AEO=S△AOF，故选项C正确；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∵EF是Rt△ABC的中位线，
∴S△ABC：S△AEF=4：1，
即S△ABC=4S△AEF≠2S△AEF，故选D错误，
故选：D．
本题考查了三角形中位线定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质以及全等三角形的判断和性质，证明EO，OF是三角形的中位线是解题的关键．
2、B
【解析】
根据矩形的性质可得（1）错误；
根据菱形的性质可得（2）正确；
根据平行四边形的判定可得（3）错误；
根据正方形的性质可得（4）正确；
【详解】
（1）矩形的对角线相等且互相平分，故（1）错误；
（2）菱形的四边相等，故（2）正确；
（3）等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，故（3）错误；
（4）正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，故（4）正确．
故选：B．
此题考查的知识点是特殊的四边形，解题关键是掌握正方形、菱形、矩形的特点．
3、D
【解析】
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=1．
故选D．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
4、B
【解析】
试题分析：A、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确；
B、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误；
C、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确；
D、这组数据的方差是2，故本选项正确；
故选B．
考点：方差；算术平均数；中位数；极差．
5、A
【解析】
把x=2代入函数解析式y=，即可求出答案.
【详解】
把x=2代入函数解析式y=得，

故选A.
本题考查的是函数值的求法.将自变量的值x=2代入函数解析式并正确计算是解题的关键.
6、B
【解析】
方差越小数据越稳定，根据方差的大小即可得到答案.
【详解】
∵8.2<15<17.2<21.7，
∴乙班的体育考试成绩最不稳定，
故选：B.
此题考查方差的运用，方差考查数据稳定性，方差越小数据越稳定，方差越大数据越不稳定.
7、A
【解析】
由于k=-1<0，b=-1，由此可以确定函数的图象经过的象限．
【详解】
∵y=-x-1，
∴k=-1＜0，b=-1＜0，
∴它的图象经过的象限是第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选A．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
8、B
【解析】
根据平行四边形的性质，首先计算AB+CB的长度，再结合三角形的周长，进而计算对角线AC的长.
【详解】
解：∵平行四边形的对边相等，
∴AB+CB＝25，
而△ABC的周长为35cm，
∴AC＝35﹣AB﹣CB＝10cm．
故选：B．
本题主要考查对角线的长度的计算，结合平行四边形的性质和三角形的周长可得对角线的长度.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≥1
【解析】
试题分析：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于1，可知x≥1．
考点：二次根式有意义
10、
【解析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
由题意得x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
11、乙
【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】
∵S甲2=10.96，S乙2=5.96，S丙2=12.32，
∴S丙2＞S甲2＞S乙2，
∴包装茶叶的质量最稳定是乙包装机．
故答案为乙．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12、48°
【解析】
根据旋转得出AC=DC，求出∠CDA，根据三角形内角和定理求出∠ACD，即可求出答案．
【详解】
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△DCE，点A的对应点D落在AB边上，
∴AC=DC，
∵∠CAB=66°，
∴∠CDA=66°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=48°，
∴∠BCE=∠ACD=48°，
故答案为：48°．
本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用，能求出∠ACD的度数是解此题的关键．
13、2
【解析】
试题分析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1．因此．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）详见解析；（2）．
【解析】
（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）先证明OF为△BAE的中位线，然后依据三角形的中位线定理得出AE∥OF且OF＝AE．求得OB的长，则可得到BE的长，设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x，在Rt△APB中依据勾股定理可列出关于x的方程，然后依据菱形的面积公式进行计算即可．
【详解】
（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵AB＝6，F是AB的中点，
∴BF＝1．
∵四边形BPEQ是菱形，
∴OB＝OE．
又∵F是AB的中点，
∴OF是△BAE的中位线，
∴AE∥OF且OF＝AE．
∴∠BFO＝∠A＝90°．
在Rt△FOB中，OB＝＝5，
∴BE＝2．
设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x．
在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝，
∴BQ＝，
∴菱形BPEQ的面积＝BQ×AB＝×6＝．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，列出关于x的方程是解题的关键．
15、（1）；；（2）；（3）M 点坐标为，，，.
【解析】
用待定系数法可求直线的解析式，平移可得直线的解析式
由四边形DCBP是平行四边形，可得，，根据两点公式可求P的坐标．
分，，三种情况讨论，根据勾股定理可求M的坐标．
【详解】
设直线的解析式为，
且过，，
，
解得：，，
解析式，
把直线沿x轴的负方向平移6个单位得到直线，
直线的解析式；
设，
直线与y轴交于D点，交x轴于C点，
，，
，，
，
四边形DCBP是平行四边形，
，，
，
，不合题意舍去，
；
点E是线段OC的中点，，
，
，
，
，，
在中，，
，，
，
当点M与 点O重合时，即F ，
当时，是等腰三角形，
当时，则，
或，
当时，设M ，
，
，
，
综上所述：M 点坐标为，，，.
本题考查了四边形的综合题，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，利用分类思想解决问题是本题的关键．
16、在，理由见解析.
【解析】
以B为原点，建立直角坐标系，求出直线BC的解析式，再讲A点坐标代入解析式就可以得出结论．
【详解】
点A、B、C在一条直线上．
如图，以B为原点，建立直角坐标系，
A（-1，-1），C（1，1）．
设直线BC 的解析式为：y=kx，由题意，得
1=k，
∴y=1x．
∵x=-1时，
∴y=-1．
∴A（-1，-1）在直线BC上，
∴点A、B、C在一条直线上．
本题考查了平面直角坐标系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量的值确定函数值的运用，解答时建立平面直角坐标系求出函数的解析式是关键．
17、（1）详见解析；（2）．
【解析】
根据正方形的性质得到，由角平分线的定义得到，求得，于是得到结论；
如图作交BD于点首先证明是等腰直角三角形，推出，求出OB即可解决问题．
【详解】
证明：，BD是正方形的对角线，
，
平分，
；
，，
，
；
解解：如图，作交BD于点H．
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
．
本题考查正方形的性质，角平分线的定义，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18、（1）x<3；（2）l2的表达式为y=6x-1
【解析】
（1）求不等式-2x＞kx+b的解集就是求当自变量x取什么值时，y=-2x的函数值大；
（2）求△OAP的面积，只要求出OA边上的高就可以，即求两个函数的交点的纵坐标的绝对值．
【详解】
解：（1）从图象中得出当x＜3时，直线l1：y=-2x在直线l2：y=kx+b的上方，
∴不等式-2x＞kx+b的解集为x＜3，
故答案为x＜3；
（2）∵点P在l1上，
∴y=-2x=-6，
∴P（3，-6），
∵S△OAP＝×6×OA＝12，
∴OA=4，A（4，0），
∵点P和点A在l2上，
∴
∴
∴l2：y=6x-1．
此题考查一次函数问题，关键是根据求线段的长度的问题一般是转化为求点的坐标的问题来解决．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.1
【解析】
连接DF，由勾股定理求出AB=1，由等腰三角形的性质得出∠CAF =∠DAF，由SAS证明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
连接DF，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=1，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴∠CAF =∠DAF，BD=AB-AD=2，
在△ADF和△ACF中，
∴△ADF≌△ACF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4-x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，
即x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.1；
∴CF=1.1；
故答案为1.1．
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明△ADF≌△ACF得到CF=DF，在Rt△BDF中利用勾股定理列方程是解决问题的关键．
20、①③
【解析】
根据题意和正比例函数的性质可以判各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】
解：，函数，y随x的增大而增大，故①正确，②错误；
当时，，故③正确，④错误.
故答案为：①③.
本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
21、
【解析】
根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等， 根据概率公式计算即可 ．
【详解】
∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，
∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，
∴在圆内随机取一点， 则此点取黑色部分的概率是，
故答案为．
考查的是概率公式、 中心对称图形， 掌握概率公式是解题的关键 ．
22、7
【解析】
根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．
【详解】
∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG=×8=4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中,EG=，
∴EF=，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7.
故答案为：7.
此题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键在于综合运用勾股定理、全等三角形的性质解答即可.
23、m>1
【解析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】
解：去分母得，m-1=2x+2，
解得，x=，
∵方程的解是正数，
∴m-1＞2，
解这个不等式得，m＞1，
∵+1≠2，
∴m≠1，
则m的取值范围是m＞1．
故答案为：m>1．
本题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．注意分式方程分母不等于2．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析.
【解析】
方法一：先根据平行四边形的性质及中点的定义得出AE=FC，AE∥FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等得出AF=CE；
方法二：先利用“边角边”证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的对应边相等得出AF=CE．
【详解】
证明：（证法一）：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
又∵E、F是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
（证法二）：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
又∵E、F是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∴BE＝DF，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
本题考查了证明两条线段相等的方法，一般来说，可以证明这两条线段是一个平行四边形的一组对边，也可以证明这两条线段所在的三角形全等．注意根据题目的已知条件，选择合理的判断方法．
25、10cm
【解析】
先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠DBC=∠ABD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠30°，
∴∠ABC=60°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=DB，
在Rt△CBD中，CD=5cm，∠CBD=30°，
∴BD=10cm．
由勾股定理得，BC=5，
∴AB=2BC=10cm．
本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．
26、（1）15；（2）16.1．
【解析】
（1）对各单元成绩求和后，再除以单元数，即可得到平时的平均成绩；
（2）用加权平均数的计算方法计算即可．
【详解】
（1）由表可知，小明平时的平均成绩为：
故小明平时的平均成绩为15．
（2）由题知，小明该学期的总成绩为：
故小明该学习的总成绩为16.1．
本题考查了平均数，加权平均数的计算，掌握相关计算是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差
10.96
5.96
12.32