苏科版七年级数学下册举一反三专题13.3期中期末专项复习之整式乘法与因式分解十八大必考点特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册举一反三专题13.3期中期末专项复习之整式乘法与因式分解十八大必考点特训(原卷版+解析)，共82页。

专题13.3 整式乘法与因式分解十八大必考点【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32655" 【考点1 整式的乘法】  PAGEREF _Toc32655 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8719" 【考点2 整式乘法的应用】  PAGEREF _Toc8719 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10657" 【考点3 利用乘法公式求值】  PAGEREF _Toc10657 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25575" 【考点4 乘法公式的几何背景】  PAGEREF _Toc25575 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10132" 【考点5 整式乘除的计算与化简】  PAGEREF _Toc10132 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc5309" 【考点6 整式混合运算的应用】  PAGEREF _Toc5309 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13732" 【考点7 因式分解的概念】  PAGEREF _Toc13732 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc9977" 【考点8 因式分解（提公因式与公式法综合）】  PAGEREF _Toc9977 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc28488" 【考点9 因式分解（十字相乘法）】  PAGEREF _Toc28488 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc14370" 【考点10 因式分解（分组分解法）】  PAGEREF _Toc14370 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc21554" 【考点11 利用整体思想分解因式】  PAGEREF _Toc21554 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc18521" 【考点12 利用拆项法分解因式】  PAGEREF _Toc18521 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc20046" 【考点13 利用添项法分解因式】  PAGEREF _Toc20046 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc8936" 【考点14 利用因式分解进行有理数的简算】  PAGEREF _Toc8936 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc2206" 【考点15 利用因式分解判定三角形的形状】  PAGEREF _Toc2206 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc10267" 【考点16 利用因式分解求值】  PAGEREF _Toc10267 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc9778" 【考点17 因式分解的探究题】  PAGEREF _Toc9778 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc27383" 【考点18 因式分解的应用】  PAGEREF _Toc27383 \h 19【考点1 整式的乘法】【例1】（2022·福建·大同中学八年级期中）计算2x+3y−42x+ay+b得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则a−b的值为（    ）A．1 B．−1 C．−7 D．7【变式1-1】（2022·江西景德镇·七年级期中）小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，【变式1-2】（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)n(n=1，2，3，4，⋯)的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．1   1        (a+b)1=a+b1   2   1        (a+b)2=a2+2ab+b21   3   3   1        (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31   4   6   4   1        (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4……            ……请依据上述规律，写出(x−2x)2022展开式中含x2020项的系数是（    ）A．2022 B．−4044 C．−2020 D．4042【变式1-3】（2022·全国·八年级专题练习）设a1,a2,a3,⋯a2021,a2022都是正数，M=a1+a2+…+a2021a2+a3+…+⋯a2022，N=a1+a2+a2022a2+a3+⋯a2021，试比较M、N的大小．【考点2 整式乘法的应用】【例2】（2022·浙江宁波·七年级期中）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b、a的长方形纸片一张，其中a”号填空）．【考点4 乘法公式的几何背景】【例4】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到(x−y)2、(x+y)2、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．利用上面所得的结论解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y的值；（2）已知|a+b−4|+(ab−2)2=0，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．【变式4-1】（2022·河南南阳·八年级期中）探究活动：(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）；(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）；(3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____．(4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2−9y2＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值．【变式4-2】（2022·福建·明溪县教师进修学校七年级期中）阅读理解：若x满足210−xx−200=−204，试求210−x2+x−2002的值，解：设210−x=a，x−200=b，则ab=−204，且a＋b＝(210－x)＋(x－200)＝10，∵a+b2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=a+b2−2ab=102−2×−204=508，即210−x2+x−2002的值为508．解决问题(1)若x满足2022−xx−2010=22，则2022−x2+x−20102= ；(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022−xx−2002的值；(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x ，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？【变式4-3】（2022·湖南·常德市第二中学七年级期中）（1）①如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）；②将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是______（写成多项式相乘的形式）；（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．（3）利用所得公式计算：21+121+1221+1241+128+1214【考点5 整式乘除的计算与化简】【例5】（2022·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×−12xy=3x2y−xy2+12xy，所捂多项式是________．【变式5-1】（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）若定义 表示3xyz3， 表示−3adcb，则运算÷的结果为（　　）A．−72n B．72n C．mn D．−mn【变式5-2】（2022·山东淄博·期中）王老师给学生出了一道题：求2x+y2x−y+22x−y2+2xy2−16x2y÷−2x的值，其中x=12，y=−1．同学们看了题目后发表不同的看法．小明说：“条件y=−1是多余的．”小亮说：“不给y=−1这个条件，就不能求出结果，所以不多余．”(1)你认为他俩谁说的有道理？为什么？(2)若本题的结果等于M，试求M的值．【变式5-3】（2022·重庆市万州第二高级中学八年级期中）已知a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能被多项式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的值．【考点6 整式混合运算的应用】【例6】（2022·北京·八年级期中）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案：方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；方案2：第一次、二次提价均为x%+y%2．其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．【变式6-1】（2022·重庆·八年级期中）近年来，重庆成为了众多游客前来旅游的网红城市．某商场根据游客的喜好，推出A、B两种土特产礼盒，A种礼盒内有3袋磁器口麻花，3包火锅底料；B种礼盒里有2袋磁器口麻花，3包火锅底料，2袋合川桃片．两种礼盒每盒成本价分别为盒内所有土特产的成本价之和．已知每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%．今年10月1日卖出A、B两种礼盒共计80盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成本少了280元，则当日卖出礼盒的实际总成本为 __元．【变式6-2】（2022·重庆南开中学七年级期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的16种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的38，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的13，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为__________．【变式6-3】（2022·重庆巴蜀中学七年级期中）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人民的喜爱；每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 ___．【考点7 因式分解的概念】【例7】（2022·江苏徐州·七年级期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ）A．ab+ac+d=aa+b+d B．a2−1=a+1a−1C．a+ba−b=a2−b2 D．a2−4a+5=a−22+1【变式7-1】（2022·山东·海川中学八年级期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a+12 D．a2+2ab﹣b2【变式7-2】（2022·云南省个旧市第二中学八年级期中）下列多项式中，不能进行因式分解的是（    ）A．a3－3a2＋2a B．a2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【变式7-3】（2022·上海·七年级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（    ）①x3+2xy+x=xx2+2y②x2+2xy+4y2=(x+2y)2③−2x2+8y2=−(2x+4y)(x−2y)④a3−abc+a2b−a2c=a(a−c)(a+b)⑤(m−n)(2x−5y−7z)+(m−n)(3y−10x+3z)=−(m−n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【考点8 因式分解（提公因式与公式法综合）】【例8】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)4a2−16a+16；(2)a2x−y+16y−x．【变式8-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）已知a+b=12,ab=−38，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．【变式8-2】（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．(1)a3b−2a2b2+ab3(2)x2x−4+10xx−4+25x−4【变式8-3】（2022·浙江·宁波大学青藤书院七年级期中）因式分解：(1)mx2﹣my2；(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【考点9 因式分解（十字相乘法）】【例9】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【变式9-1】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+a+bx+ab可用十字相乘法方法得出x2+a+bx+ab=x+ax+b，用上述方法将下列各式因式分解：(1)x2+5xy−6y2=__________．(2)x2−4a+2x+3a2+6a=__________．(3)x2−b5x−a−6b−a2=__________．(4)2018x2−2017×2019x−1=__________．【变式9-2】（2022·浙江杭州·七年级期中）分解因式：x+2x−3x+4x−5+13=________．【变式9-3】（2022·贵州铜仁·七年级期中）(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我们已经知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+a1c2+a2c1x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+a1c2+a2c1x+c1c2=a1x+c1a2x+c2．我们发现，二次三项式ax2+bx+ca≠0的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为a1x+c1a2x+c2，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项−6也分解为两个因数的积，即−6=2×−3；然后把1，1，2，−3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×−3+1×2=−1，恰好等于一次项的系数−1，于是x2−x−6就可以分解为x+2x−3．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： x2+x−6=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①  2x2+5x−7=__________；②  6x2−7xy+2y2=__________．(3)【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+pj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mx+py+jnx+qy+k，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①  分解因式3x2+5xy−2y2+x+9y−4=__________；②  若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y2−5x+my−24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【考点10 因式分解（分组分解法）】【例10】（2022·上海市娄山中学九年级期中）分解因式：x2−y2+4y−4=__________．【变式10-1】（2022·上海·七年级期中）因式分解：9−4x2+4xy−y2【变式10-2】（2022·湖南常德·七年级期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【变式10-3】（2022·福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a−7b，求整式M的最小值．【考点11 利用整体思想分解因式】【例11】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：x+y2+2x+y+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12．再将“A”还原，得原式=x+y+12．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将a2+b2a2+b2−4−5分解因式的结果是___________．【变式11-1】（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．解：设x2+3x＝y原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y2﹣8y+16（第二步）＝（y﹣4）2（第三步）＝（x2+3x﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4进行因式分解．【变式11-2】（2022春·湖南永州·七年级统考期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【变式11-3】（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．【考点12 利用拆项法分解因式】【例12】（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．ax+by+bx+ay=ax+bx+ay+by=xa+b+ya+b=a+bx+y例2．2xy+y2−1+x2=x2+2xy+y2−1=x+y2−1=x+y+1x+y−1（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1+2x+1−2=x+3x−1请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：(1)分解因式：①x2−n2+x−n；②x2−2xy−9+y2(2)分解因式：a2+4a+3．(3)若多项式ax2−9y2+bx+3y利用分组分解法可分解为2x+3y2x−3y+1，请求出a,b的值．【变式12-1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以如下分解：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=x−32−16=x−3+4x−3−4=x+1x−7(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解；(2)拓展：把代数式x2+4xy−5y2因式分解得______；当xy=______时，代数式x2+4xy−5y2=0．【变式12-3】（2022秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x+a2，但对于二次三项式x2+2ax−8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax−8a2中先加上一项a2，使其成为某个多项式的平方，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax−8a2=x2+2ax−8a2+a2−a2=x2+2ax+a2−8a2−a2=x2+2ax+a2−8a2+a2=x+a2−9a2=x+a+3ax+a−3a=x+4ax−2a像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用上述方法将下列各式进行因式分解．(1)x2+2ax−3a2；(2)a4+4．【考点13 利用添项法分解因式】【例13】（2022年河北省邢台市九年级中考第三次模拟数学试题）嘉琪采用一种新的方法将x2−4x+3分解因式，过程如下：x2−4x+3   =x2−2×2x+22−22+3      ①=x−22−1                 ②=x−2+1x−2−1         ③ =x−1x−3               ④(1) ③的变形依据是 ．(2)仿照嘉琪的做法，分解因式x2−6x−7．【变式13-1】（2022秋·上海·七年级校联考期末）阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2−B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．解：原式=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+2+2xx2+2−2x即原式=x2+2+2xx2+2−2x请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：(1)4x4+1；(2)x4+x2+1．【变式13-2】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把x4+4分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和x22+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，再将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2．这种方法叫填项法．任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)4m4+n4；(2)x2−2x−y2−4y−3．【变式13-3】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．例题：x3+8=x3+2x2−2x2+8（添上2x2，再减去2x2使多项式的值不变）=x3+2x2−2x2−8（分成两组）=x2x+2−2x+2x−2（两组分别因式分解）＝________（两组有公因式，再提公因式）(1)请将上面的例题补充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x4+1；(3)若a，b，c是△ABC三边长，满足3a2+4b2-6a-16b+19＝0，且c为整数，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点14 利用因式分解进行有理数的简算】【例14】（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−122×1−132×1−142×1−152×1−162的值为（    ）．A．512 B．12 C．712 D．1130【变式14-1】（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．【变式14-2】（2022秋·广东惠州·九年级校考开学考试）利用因式分解简便运算：52.82−47.22＝_____．【变式14-3】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）利用因式分解计算：(1)8.67×15.3+15.3×1.33(2)10×912−10×92．【考点15 利用因式分解判定三角形的形状】【例15】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）已知a、b、c是△ABC的三边，a2−2ab+b2=0且2b2−2c2=0，则△ABC的形状是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【变式15-1】（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．【变式15-2】（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．【典例分析】已知实数x，y满足x+y＝4，试求代数式x2+y2的最小值．【分析】均值换元法：由x+y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2+t，再代入代数式换元求解．【解法】∵x+y＝4，∴设x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：(1)若实数a，b满足a+b＝2，求代数式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．(3)若实数a，b，c满足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．【变式15-3】（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：x2−y2+xz−yz；2．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2+ac=12k,b2+bc=12k,c2+ac=24k,d2+ad=24k，同时成立．①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）【考点16 利用因式分解求值】【例16】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果为x−1x+1x+2．当x=18时，x−1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3−xy2分解因式后可以形成数字密码：____________．(2)将关于x的多项式(m−n)x3−m+12nx分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数字密码182016，求m，n的值．【变式16-1】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期中）已知mn=1，m−n=2，则m2n−mn2的值是（    ）A．−1 B．3 C．2 D．−2【变式16-2】（2022·浙江·七年级期中）已知a−b=3，b−c=−4，则代数式a2−ac−ba−c的值是________．【变式16-3】（2022·河南周口·八年级期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．【考点17 因式分解的探究题】【例17】（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为(x+a)，宽为(x+b)．(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． 尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解．(2)若x2−7x+m=(x−9)(x+2)，则m= ．(3)若x2+px−4可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．(4)若x2−4x+q 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ． A．4             B．0              C．有限个             D．有无数个 【变式17-1】（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2−2mm+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴m2−2mn+n2+n2−8n+16=0，∴m−n2+n−42=0，∴m−n2=0，n−42=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+4ab+5b2+6b+9=0，求a、b的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+2b2−4b+6=0，求c的值；(3)若A=3a2+3a−4，B=2a2+4a−6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．【变式17-2】（2022春·江苏南京·七年级校考期末）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2+b2≥2ab．（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn=2，求3m2+3n2−1的最小值．【变式17-3】（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m，n的值.解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴m2−2mn+n2+n2−8n+16=0.∴m−n2+n−42=0.∴m−n2=0，n−42=0，∴n=4，m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+2b2−2ab+6b+9=0，求ab的值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2−10a−12b+61=0，求△ABC的最长边c的值；(3)已知a−b=8，ab+c2−16c+80=0，求a+b+c的值.【考点18 因式分解的应用】【例18】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果为x−1x+1x+2．当x=18时，x−1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3−xy2分解因式后可以形成数字密码：____________．(2)将关于x的多项式(m−n)x3−m+12nx分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数字密码182016，求m，n的值．【变式18-1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期中）先阅读下列材料，然后解决后面的问题．材料：一个三位数abc（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数abc为“协和数”，同时规定c=ka（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8．(1)判断132，123，321这三个数中，　是“协和数”．(2)对于“协和数”abc，求证：“协和数”abc能被11整除．(3)已知有两个十位数相同的“协和数”a1bb1，a2bb2（a1＞a2），且k1−k2=1，若y=k1+k2，用含b的式子表示y．【变式18-2】（2022·广东·广州六中八年级期中）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记Am=ab．例如：29=22+52，29就是一个“平方和数”，则A29=2×5=10．(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A45的值；若不是，请说明理由；(2)若k是一个不超过50的“平方和数”，且Ak=k−92，求k的值；(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．【变式18-3】（2022·福建省永春第一中学八年级期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算：a+2ba+b= ；(2)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；(3)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ；(4)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1−S2=3b2，则a与b有什么关系？请说明理由．专题13.3 整式乘法与因式分解十八大必考点【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32655" 【考点1 整式的乘法】  PAGEREF _Toc32655 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8719" 【考点2 整式乘法的应用】  PAGEREF _Toc8719 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10657" 【考点3 利用乘法公式求值】  PAGEREF _Toc10657 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc25575" 【考点4 乘法公式的几何背景】  PAGEREF _Toc25575 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc10132" 【考点5 整式乘除的计算与化简】  PAGEREF _Toc10132 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc5309" 【考点6 整式混合运算的应用】  PAGEREF _Toc5309 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc13732" 【考点7 因式分解的概念】  PAGEREF _Toc13732 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc9977" 【考点8 因式分解（提公因式与公式法综合）】  PAGEREF _Toc9977 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc28488" 【考点9 因式分解（十字相乘法）】  PAGEREF _Toc28488 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc14370" 【考点10 因式分解（分组分解法）】  PAGEREF _Toc14370 \h 34 HYPERLINK \l "_Toc21554" 【考点11 利用整体思想分解因式】  PAGEREF _Toc21554 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc18521" 【考点12 利用拆项法分解因式】  PAGEREF _Toc18521 \h 39 HYPERLINK \l "_Toc20046" 【考点13 利用添项法分解因式】  PAGEREF _Toc20046 \h 43 HYPERLINK \l "_Toc8936" 【考点14 利用因式分解进行有理数的简算】  PAGEREF _Toc8936 \h 47 HYPERLINK \l "_Toc2206" 【考点15 利用因式分解判定三角形的形状】  PAGEREF _Toc2206 \h 49 HYPERLINK \l "_Toc10267" 【考点16 利用因式分解求值】  PAGEREF _Toc10267 \h 54 HYPERLINK \l "_Toc9778" 【考点17 因式分解的探究题】  PAGEREF _Toc9778 \h 56 HYPERLINK \l "_Toc27383" 【考点18 因式分解的应用】  PAGEREF _Toc27383 \h 61【考点1 整式的乘法】【例1】（2022·福建·大同中学八年级期中）计算2x+3y−42x+ay+b得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则a−b的值为（    ）A．1 B．−1 C．−7 D．7【答案】B【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方程组求解即可得到答案．【详解】解：2x+3y−42x+ay+b=4x2+2axy+2bx+6xy+3ay2+3by−8x−4ay−4b=4x2+(2a+6)xy+(2b−8)x+(3b−4a)y+3ay2−4b∵展开后多项式不含x、y的一次项，∴2b−8=03b−4a=0，∴a=3b=4，∴a−b=−1，故选B．【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键．【变式1-1】（2022·江西景德镇·七年级期中）小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，【答案】(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【详解】（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．【变式1-2】（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)n(n=1，2，3，4，⋯)的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．1   1        (a+b)1=a+b1   2   1        (a+b)2=a2+2ab+b21   3   3   1        (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31   4   6   4   1        (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4……            ……请依据上述规律，写出(x−2x)2022展开式中含x2020项的系数是（    ）A．2022 B．−4044 C．−2020 D．4042【答案】B【分析】首先确定x2020是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．【详解】解：由题意：，(x−2x)2022=x2022−2022x2021⋅(2x)+…，=x2022−4044x2020+…，可知，(x−2x)2022展开式中第二项为含x2020项，∴(x−2x)2022展开式中含x2020项的系数是﹣4044．故选B．【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．【变式1-3】（2022·全国·八年级专题练习）设a1,a2,a3,⋯a2021,a2022都是正数，M=a1+a2+…+a2021a2+a3+…+⋯a2022，N=a1+a2+a2022a2+a3+⋯a2021，试比较M、N的大小．【答案】M＞N．【分析】设a2+a3+…+a2021=m，代入M、N中化简后比较即可．【详解】解：设a2+a3+…+a2021=m，则M=（a1+m）（m+a2022）=a1m+m2+a2022m+a1a2022，N=（a1+m+a2022）m=a1m+m2+a2022m，M-N=a1a2022，∵a1，a2，…，a2022都是正数，∴a1a2022＞0，∴M-N＞0，∴M＞N．【点睛】本题考查了整式乘法的混合运算，规律型：数字的变化类，设a2+a3+…+a2021=m，利用多项式乘多项式的法则计算出M、N是解题的关键．【考点2 整式乘法的应用】【例2】（2022·浙江宁波·七年级期中）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b、a的长方形纸片一张，其中a”号填空）．【答案】(1)C(2)4(3)19，(x+1)2+3(4)3(5)1，(a+3)(a−1)(6)−4,4(7)< 【分析】（1）直接利用完全平方公式求解即可；（2）直接利用完全平方公式求解即可；（3）利用配方法求解即可得；（4）利用配方法求解即可得；（5）先利用配方法计算，然后利用平方差公式因式分解；（6）先利用配方法计算，然后利用平方的非负性求解即可；（7）利用两个整式作差即可比较大小．【详解】（1）解：x2+kx+16=x2+kx+42∴k=±2×4=±8，故选：C（2）x2+4x+m=x2+2×2·x+22，∴m=4，故答案为：4；（3）x2−6x−10=x2−6x+9−9−10=x−32−19，x2+2x+4=x2+2x+1+3=(x+1)2+3，故答案为：19；x+12+3；（4）x2−4x+7=x2−4x+4−4+7=x−22+3，∵x−22≥0，∴x−22+3≥3，故答案为：3；（5）a2+2a−3=a2+2a+1−4=a+12−4=a+1+2a+1−2=(a+3)(a−1)故答案为：1；(a+3)(a−1)（6）m2+2mn+2n2−8n+16=0，m2+2mn+n2+n2−8n+16=0，(m+n)2+(n−4)2=0，∴m+n=0且n−4=0，解得：n=4，m=-4，故答案为：-4；4；（7）M-N=(a+1)(a−3)-2(a−1)(a−2)=a2−2a−3−2(a2−3a+2)=a2−2a−3−2a2+6a−4=−a2+4a−7=−(a−2)2−3<0∴Mb−2，且a-2、b-2都是整数，a−2=8，4，﹣1或−2b−2=1，2，﹣8或−4 易得a=10b=1或a=6b=4（其他两种不符合a，b为正整数，舍去）故：2a+b=21或16；（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得ab=a+b+1带入MM=a2+3a+3b+3+b2−9a−7b=a2+3(a+b+1)+b2−9a−7b=（a﹣3）2+（b-2）2﹣10，∵(a−3)2≥0,(b−2)2≥0，∴M≥-10，∴M的最小值是﹣10．【点睛】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键．【考点11 利用整体思想分解因式】【例11】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：x+y2+2x+y+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12．再将“A”还原，得原式=x+y+12．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将a2+b2a2+b2−4−5分解因式的结果是___________．【答案】a2+b2−5a2+b2+1【分析】令A=a2+b2，代入后因式分解后，再将A还原即可得到答案．【详解】解：令A=a2+b2，则原式=AA−4−5=A2−4A−5=A−5A+1，再将A还原，原式=a2+b2−5a2+b2+1，故答案为：a2+b2−5a2+b2+1．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．【变式11-1】（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．解：设x2+3x＝y原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y2﹣8y+16（第二步）＝（y﹣4）2（第三步）＝（x2+3x﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x-1）2（x+4）2；（3）（3x-1）4．【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】解：（1）由y2﹣8y+16＝（y﹣4）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法故选：C；（2）（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25，解：设x2+3x＝y原式＝（y﹣9）（y+1）+25＝y2﹣8y+16＝（y﹣4）2＝（x2+3x﹣4）2=(x-1)2(x+4)2；故答案为：(x-1)2(x+4)2；（3）（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4设9x2 6x =y，原式=(y+3)（y-1）+4，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（9x2 6x +1）2，=（3x-1）4．【点睛】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．【变式11-2】（2022春·湖南永州·七年级统考期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．【变式11-3】（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．【答案】（1）(a+b−1)2；（2）(x−1)4【分析】（1）令A=a+b，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．（2）令B=x2−2x，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．【详解】解：（1）令A=a+b，则原式变为A(A−2)+1=A2−2A+1=(A−1)2，∴ (a+b)(a+b−2)+1=(a+b−1)2．（2）令B=x2−2x，则原式变为(B−1)(B+3)+4=B2+2B−3+4=(B+1)2∴ (x2−2x−1)(x2−2x+3)+4 =(x2−2x+1)2=(x−1)4【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．【考点12 利用拆项法分解因式】【例12】（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．ax+by+bx+ay=ax+bx+ay+by=xa+b+ya+b=a+bx+y例2．2xy+y2−1+x2=x2+2xy+y2−1=x+y2−1=x+y+1x+y−1（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1+2x+1−2=x+3x−1请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：(1)分解因式：①x2−n2+x−n；②x2−2xy−9+y2(2)分解因式：a2+4a+3．(3)若多项式ax2−9y2+bx+3y利用分组分解法可分解为2x+3y2x−3y+1，请求出a,b的值．【答案】(1)①x−nx+n+1②x−y+3x−y−3(2)a+1a+3(3)a=4，b=2【分析】（1）①将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；②利用分组分解法先将原式整理为x2−2xy+y2−9，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）利用拆项法先将原式变形为[a2+4a+4−1]，然后再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；（3）利用多项式乘以多项式法则进行运算，然后比较系数即可获得答案．【详解】（1）解：①原式=x+nx−n+x−n=x−nx+n+1；②原式=x2−2xy+y2−9=x−y2−9=x−y+3x−y−3；（2）原式=a2+4a+4−1=a2−1+4a+4=a+1a−1+4a+1=a+1a−1+4=a+1a+3；（3）2x+3y2x−3y+1=2x+3y2x−3y+2x+3y=4x2−9y2+2x+3y，∵ax2−9y2+bx+3y=2x+3y2x−3y+1，∴ax2−9y2+bx+3y=4x2−9y2+2x+3y，比较系数可得a=4，b=2．【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂题目材料并理解所给做法是解题的关键．【变式12-1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以如下分解：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=x−32−16=x−3+4x−3−4=x+1x−7(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解；(2)拓展：把代数式x2+4xy−5y2因式分解得______；当xy=______时，代数式x2+4xy−5y2=0．【答案】(1)x−1x−7(2)x+5yx−y；1或−5【分析】（1）根据题目中给出的方法分解因式即可；（2）先将x2+4xy−5y2分解因式得出x2+4xy−5y2=x+5yx−y，根据x2+4xy−5y2=0得出x+5y=0或x−y=0，求出xy的值即可．【详解】（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16−16+7=x−42−9=x−4+3x−4−3=x−1x−7；（2）解：x2+4xy−5y2=x2+4xy+4y2−4y2−5y2=x+2y2−9y2=x+2y+3yx+2y−3y=x+5yx−y；∵x2+4xy−5y2=x+5yx−y，∴当x+5y=0或x−y=0时，x2+4xy−5y2=0，∴x=−5y或x=y时，x2+4xy−5y2=0，∴xy=−5或xy=1时，x2+4xy−5y2=0．故答案为：x+5yx−y；1或−5．【点睛】本题主要考查了因式分解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2和平方差公式a2−b2=a+ba−b．【变式12-2】（2022春·全国·七年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．②拆项法：例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．仿照以上方法分解因式：(1)4x2+4x−y2+1；(2)x2−6x+8．【答案】(1)2x+1+y2x+1−y(2)x−2x−4【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为x2−6x+8=x2−6x+9−1，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：4x2+4x−y2+1=4x2+4x+1−y2=2x+12−y2=2x+1+y2x+1−y；（2）解：x2−6x+8=x2−6x+9−1=x−32−1=x−3+1x−3−1=x−2x−4．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．【变式12-3】（2022秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x+a2，但对于二次三项式x2+2ax−8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax−8a2中先加上一项a2，使其成为某个多项式的平方，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax−8a2=x2+2ax−8a2+a2−a2=x2+2ax+a2−8a2−a2=x2+2ax+a2−8a2+a2=x+a2−9a2=x+a+3ax+a−3a=x+4ax−2a像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用上述方法将下列各式进行因式分解．(1)x2+2ax−3a2；(2)a4+4．【答案】(1)x+3ax−a(2)a2+2+2aa2+2−2a【分析】（1）将式子x2+2ax−3a2，添项a2，再减去a2，重新分组后，利用平方差公式分解因式；（2）将式子a4+4，添项4a2，再减去4a2，重新分组后，利用平方差公式分解因式．【详解】（1）解：x2+2ax−3a2=x2+2ax−3a2+a2−a2 =x2+2ax+a2−3a2−a2=x+a2−4a2 =x+a2−2a2=x+a+2ax+a−2a =x+3ax−a．（2）解：a4+4=a4+4a2+4−4a2 =a2+22−2a2 =a2+2+2aa2+2−2a．【点睛】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．【考点13 利用添项法分解因式】【例13】（2022年河北省邢台市九年级中考第三次模拟数学试题）嘉琪采用一种新的方法将x2−4x+3分解因式，过程如下：x2−4x+3   =x2−2×2x+22−22+3      ①=x−22−1                 ②=x−2+1x−2−1         ③ =x−1x−3               ④(1) ③的变形依据是 ．(2)仿照嘉琪的做法，分解因式x2−6x−7．【答案】（1）利用平方差公式因式分解；（2）x+1x−7【分析】（1）根据利用平方差公式分解因式可得答案；（2）将原式变形为x2−6x+32−32−7，再利用公式法进行因式分解．【详解】解：（1）③的变形依据是利用平方差公式因式分解；(2) x2−6x−7，=x2−6x+32−32−7，=x−32−42，=x−3+4x−3−4，=x+1x−7．【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题的关键是理解材料中因式分解的方法和步骤，正确的运用乘法公式．【变式13-1】（2022秋·上海·七年级校联考期末）阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2−B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．解：原式=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+2+2xx2+2−2x即原式=x2+2+2xx2+2−2x请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：(1)4x4+1；(2)x4+x2+1．【答案】(1)2x2+1+2x2x2+1−2x(2)x2+1+xx2+1−x【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到4x4+4x2+1−4x2，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；（2）原式按照阅读材料提供的方法得到x4+2x2+1−x2，利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】（1）解：4x4+1=4x4+4x2+1−4x2=2x2+12−2x2=2x2+1+2x2x2+1−2x；（2）解：x4+x2+1=x4+2x2+1−x2=x2+12−x2=x2+1+xx2+1−x．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．【变式13-2】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把x4+4分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和x22+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，再将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2．这种方法叫填项法．任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)4m4+n4；(2)x2−2x−y2−4y−3．【答案】(1)2m2+n2+2mn2m2+n2−2mn(2)x+y+1x−y−3【分析】（1）原式仿照题意添一项4m2n2，再减去4m2n2，利用乘法公式分解因式即可；（2）仿照题意求解即可．【详解】（1）解：4m4+n4=4m4+4m2n2+n4−4m2n2=2m2+n22−4m2n2=2m2+n2+2mn2m2+n2−2mn；（2）解：x2−2x−y2−4y−3=x2−2x+1−1−y2−4y−4−3+4=x−12−y+22=x−1+y+2x−1−y−2=x+y+1x−y−3．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．【变式13-3】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．例题：x3+8=x3+2x2−2x2+8（添上2x2，再减去2x2使多项式的值不变）=x3+2x2−2x2−8（分成两组）=x2x+2−2x+2x−2（两组分别因式分解）＝________（两组有公因式，再提公因式）(1)请将上面的例题补充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x4+1；(3)若a，b，c是△ABC三边长，满足3a2+4b2-6a-16b+19＝0，且c为整数，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】(1)x+2x2−2x+4；(2)8x2+1+4x8x2+1−4x；(3)△ABC是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）运用提公因式法分解即可；（2）需要添项，64x4=8x22，1=12，所以添16x2，凑成完全平方式，然后再运用平方差公式继续分解；（3）仿照例题运用拆项分组分解法，把19拆成3和16，然后凑成两个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算．【详解】（1）解：x3+8=x3+2x2−2x2+8=x3+2x2−2x2−8=x2x+2−2x+2x−2=x+2x2−2x+4．故答案为：x+2x2−2x+4；（2）解：64x4+1=64x4+16x2+1−16x2=8x22+2⋅8x2⋅1+12−16x2=8x2+12−4x2=8x2+1+4x8x2+1−4x；（3）解：∵3a2+4b2−6a−16b+19=0，∴3a2−6a+3+4b2−16b+16=0，∴3a2−2a+1+4b2−4b+4=0，∴3a−12+4b−22=0，∴a−1=0，b−2=0，∴a=1，b=2．∵a，b，c是△ABC三边长，∴b−a＜c＜b+a，∴1＜c＜3．又∵c为整数，∴c=2，∴b=c=2，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查了因式分解的应用，需要学生必须掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能灵活运用到解题中去．【考点14 利用因式分解进行有理数的简算】【例14】（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−122×1−132×1−142×1−152×1−162的值为（    ）．A．512 B．12 C．712 D．1130【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式=1−12×1+12×1−13×1+13×1−14×1+14×1−15×1+15×1−16×1+16，=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，=12×76，=712，故选：C．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．【变式14-1】（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．【答案】1．【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.【详解】20082﹣4016×2007+20072，＝20082﹣2×2008×2007+20072，＝（2008﹣2007）2，＝1．【点睛】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键.【变式14-2】（2022秋·广东惠州·九年级校考开学考试）利用因式分解简便运算：52.82−47.22＝_____．【答案】560【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；【详解】原式＝52.8+47.2×52.8−47.2＝100×5.6 ＝560．故答案为：560．【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．【变式14-3】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）利用因式分解计算：(1)8.67×15.3+15.3×1.33(2)10×912−10×92．【答案】(1)153(2)82000【分析】（1）提取公因数，进行计算即可得；（2）提取公因数，运用平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=15.3×(8.67+1.33)=153．（2）解：原式=10×(912−92)=10×(91+9)(91−9)=82000．【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．【考点15 利用因式分解判定三角形的形状】【例15】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）已知a、b、c是△ABC的三边，a2−2ab+b2=0且2b2−2c2=0，则△ABC的形状是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据完全平方公式将已知等式进行因式分解，得到a=b，且b=c，可得a=b=c，然后根据等边三角形的判定方法判定即可得到答案．【详解】解：∵a2−2ab+b2=0，且2b2−2c2=0，b＞0，c＞0∴a−b2=0，且b+cb−c=0，∴a−b=0，且b−c=0，∴a=b，且b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形，故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用∶利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式15-1】（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】见解析.【详解】试题分析：根据因式分解法，把原式进行变形，化为ab=0的形式，然后根据其性质求出a、b、c的关系，然后判断三角形的形状.试题解析：△ABC为等腰三角形．∵a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，∴（a﹣b）2=c（a﹣b），∴（a﹣b）2﹣c（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a﹣b﹣c）=0，∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a﹣b﹣c≠0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC为等腰三角形．【变式15-2】（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．【典例分析】已知实数x，y满足x+y＝4，试求代数式x2+y2的最小值．【分析】均值换元法：由x+y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2+t，再代入代数式换元求解．【解法】∵x+y＝4，∴设x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：(1)若实数a，b满足a+b＝2，求代数式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．(3)若实数a，b，c满足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．【答案】(1)4(2)△ABC是等边三角形，证明见解析(3)a=b=4，c=-1【分析】（1）设a=1+t，b=1-t，把问题转化为t的二次函数，利用二次函数的性质求解；（2）结论：△ABC是等边三角形．可以假设b=4+t，c=4-t，利用非负数的性质求解即可；（3）设a=3-c+t，b=3-c-t，利用非负数的性质求出t，c的值可得结论．(1)解：∵a+b=2，∴可以假设a=1+t，b=1-t，∴a2+b2+2=（1+t）2+（1-t）2+2=2t2+4≥4，∴a2+b2+2的最小值为4；(2)结论：△ABC是等边三角形．理由：∵b+c=8，∴可以假设b=4+t，c=4-t，∵bc=a2-8a+32，∴16-t2=a2-8a+32，∴t2+（a-4）2=0，∵t2≥0，（a-4）2≥0，∴t=0，a=4，∴b=c=a=4，∴△ABC是等边三角形；(3)∵a+b+2c=6，∴可以假设a=3-c+t，b=3-c-t，∵ab=2c2-4c+10，∴（3-c）2-t2=2c2-4c+10，∴c2+2c+1+t2=0，∴（c+1）2+t2=0，∵（c+1）2≥0，t2≥0，∴c=-1，t=0，∴a=b=4．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．【变式15-3】（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：x2−y2+xz−yz；2．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2+ac=12k,b2+bc=12k,c2+ac=24k,d2+ad=24k，同时成立．①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）【答案】知识运用：x+y+zx−y；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）①a+c=±6；②b=−3a，c=2a，d=−3a【分析】知识运用：x2−y2用公式法因式分解，xz−yz提取公因式z，再提取两者的公因式x−y；解决问题：（1）将b2+2ab=c2+2ac写成b2−c2+2ab−2ac=0，等式左边因式分解，得2a+b+cb−c=0，证明b=c，△ABC是等腰三角形；（2）①由k=1得到a2+ac=12和c2+ac=24，推出c=2a，就可以算出a和c的值，再算a+c；②同①可得c=2a，根据a2+ac=12k=b2+bc，利用因式分解得到a+b+c=0，同理由c2+ac=24k=d2+ad，得a+c+d=0，从而可以用a表示出b、c、d．【详解】解：知识运用原式=x+yx−y+zx−y=x+y+zx−y；解决问题（1）b2+2ab=c2+2acb2−c2+2ab−2ac=0b+cb−c+2ab−c=02a+b+cb−c=0，∵2a+b+c≠0，∴b−c=0，即b=c，∴△ABC是等腰三角形；（2）①当k=1时，a2+ac=12，即aa+c=12，c2+ac=24，即cc+a=24，若a+c≠0 则c=2a，把它代入a2+ac=12，得a2+2a2=12，解得a=±2，当a=2时，c=4，则a+c=6，当a=−2时，c=−4，则a+c=−6，综上：a+c的值为6或−6；②当k≠0，∵a2+ac=12k=b2+bc，∴a+b+ca−b=0，∵a≠b，∴a+b+c=0，同理由c2+ac=24k=d2+ad，得a+c+d=0，由a2+ac=12k，c2+ac=24k，若a+c=0，则c=−a，b=0，d=0，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，若a+c≠0，则c=2a，b=−a−c=−3a，d=−a−c=−3a，综上：b=−3a，c=2a，d=−3a．【点睛】本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法．【考点16 利用因式分解求值】【例16】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果为x−1x+1x+2．当x=18时，x−1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3−xy2分解因式后可以形成数字密码：____________．(2)将关于x的多项式(m−n)x3−m+12nx分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数字密码182016，求m，n的值．【答案】(1)283917或者281739(2)m的值为3，n的值为2【分析】（1）先分解因式得到x3−xy2 =xx+yx−y或=xx−yx+y，再根据题意得x+y=39，x−y=17，据此求解即可；（2）先求出20=x+2，16=x−2，再由所得的数字密码得到m−nx3−m+12nx=xx+2x−2=xx2−4=x3−4x，从而得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（1）解：x3−xy2=xx2−y2=xx+yx−y或=xx−yx+y，∵x=28，y=11，∴x+y=39，x−y=17，∴此时可以得到数字密码是283917或281739，故答案为：283917或281739；（2）解：∵x=18，∴20=x+2，16=x−2，∴m−nx3−m+12nx=xx+2x−2=xx2−4=x3−4x，∴m−n=1m+12n=4  ，解得m=3n=2，∴m的值为3，n的值为2．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．【变式16-1】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期中）已知mn=1，m−n=2，则m2n−mn2的值是（    ）A．−1 B．3 C．2 D．−2【答案】C【分析】先因式分解，再代值求解即可．【详解】m2n−mn2 =mn(m−n)把mn=1,m−n=2代入m2n−mn2=2故选：C．【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是会因式分解．【变式16-2】（2022·浙江·七年级期中）已知a−b=3，b−c=−4，则代数式a2−ac−ba−c的值是________．【答案】-3【分析】先根据a−b=3，b−c=−4，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【详解】∵a−b=3，b−c=−4，∴a-c=-1，∴a2−ac−ba−c=a(a−c)−b(a−c)=(a−c)(a−b)=−1×3 =-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.【变式16-3】（2022·河南周口·八年级期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．【答案】3【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．【详解】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac2=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)22=(−1)2+(−2)2+(−1)22=3，故答案为：3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．【考点17 因式分解的探究题】【例17】（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为(x+a)，宽为(x+b)．(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． 尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解．(2)若x2−7x+m=(x−9)(x+2)，则m= ．(3)若x2+px−4可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．(4)若x2−4x+q 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ． A．4             B．0              C．有限个             D．有无数个 【答案】(1)x+ax+b=x2+a+bx+ab(2)−18(3)0或±3(4)D【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则，即可求解；（2）把(x−9)(x+2)展开，即可求解；（3）由−4=1×−4=−1×4=2×−2，进而即可求解；（4）根据“和为−4的两个整数有无数组”，进而即可求解．【详解】（1）∵S甲=x+ax+b，S乙=x2+ax+bx+ab=x2+a+bx+ab，∴x+ax+b=x2+a+bx+ab，故答案为：x+ax+b=x2+a+bx+ab；（2）∵x2−7x+m=(x−9)(x+2) =x2−7x−18，∴m=−18，故答案为：−18；（3）∵x2+px−4可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，∴−4=1×−4=−1×4=2×−2，∴p=0或±3，故答案为：0或±3（4）∵和为−4的两个整数有无数组，∴整数q的值有无数个，故选D．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算法则，因式分解，通过题目得到结论：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是解题的关键．【变式17-1】（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2−2mm+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴m2−2mn+n2+n2−8n+16=0，∴m−n2+n−42=0，∴m−n2=0，n−42=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+4ab+5b2+6b+9=0，求a、b的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+2b2−4b+6=0，求c的值；(3)若A=3a2+3a−4，B=2a2+4a−6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．【答案】(1)a=6，b=−3(2)c=2(3)A>B，详见解析【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解．（2）先配凑完全平方公式求出a，b值，再根据三角形三边关系求出第三边．（3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断．【详解】（1）解：∵a2+4ab+5b2+6b+9=0，∴a2+4ab+4b2+b2+6b+9=0，∴a+2b2+b+32=0，∴a+2b=0，b+3=0，∴a=6，b=−3．（2）解：∵a2−4a+2b2−4b+6=0，∴a2−4a+4+2b2−4b+2=0∴a−22+2b−12=0，∴a−2=0，b−1=0，解得a=2，b=1，∵a、b、c是△ABC的三边长，∴1B，理由如下：∵A=3a2+3a−4，B=2a2+4a−6，∴A−B=3a2+3a−4−2a2+4a−6=3a2+3a−4−2a2−4a+6=a2−a+2=a−122+74，∵a−122⩾0，∴a−122+74>0，∴A>B．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．【变式17-2】（2022春·江苏南京·七年级校考期末）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2+b2≥2ab．（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn=2，求3m2+3n2−1的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值是11【分析】（1）根据完全平方公式即可证明；（2）根据m2+n2≥2mn，依此可求3m2+3n2−1的最小值．【详解】解：（1）∵(a−b)2≥0，∴a2−2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）∵m、n是实数，且mn=2，∴3m2+3n2−1=3m2+n2−1≥3×2mn−1，∴3×2mn−1=6mn−1=12−1=11．故3m2+3n2−1的最小值是11．【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式17-3】（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m，n的值.解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴m2−2mn+n2+n2−8n+16=0.∴m−n2+n−42=0.∴m−n2=0，n−42=0，∴n=4，m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+2b2−2ab+6b+9=0，求ab的值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2−10a−12b+61=0，求△ABC的最长边c的值；(3)已知a−b=8，ab+c2−16c+80=0，求a+b+c的值.【答案】(1)9(2)6、7、8、9、10(3)8【分析】（1）根据例题凑成2个完全平方式，进而根据非负数的性质求得x,y的值即可求解；（2）方法同（1）进而求得a,b的值，根据三角形的三边关系，列出不等式，求得不等式的整数解，进而求得c的值；（3）由已知式子，根据代入法求得b=a−8，根据（1）的方法求得a,c的值，进而求得b的值，即可求得答案．【详解】（1）解：∵a2+2b2−2ab+6b+9=0∴a2−2ab+b2+b2+6b+9=0，∴a−b2+b+32=0∴a−b2=0，b+32=0∴a=−3，b=−3∴ab=−3×−3=9（2）解：∵a2+b2−10a−12b+61=0∴a2−10a+25+b2−12b+36=0∴a−52+b−62=0∴a−52=0，b−62=0∴a=5，b=6，∵△ABC的三边长a，b，c都是正整数，∴6−5