人教版九年级数学上册重难考点专题02弧、弦、圆心角(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)

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专题02 弧、弦、圆心角 考点类型 知识串讲（一）弧、弦、圆心角的基本概念（1）弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．（2）弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。（3）弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点） QUOTE 半径2 （二）弧、弦、圆心角的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 考点训练考点1：弧、弦、圆心角的概念典例1：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A，O，D，点 C，D，E 以及点 B，O，C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）  A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条【变式1】（2023春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的是（    ）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称【变式2】（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，C为圆外一点，则下列说法正确的是（    ）A．∠BOC是圆心角 B．AC是⊙O的弦 C．∠C是圆周角D．AC+OC2CD C．AB2CD C．ABBC，∴BC≠2AC，故选项C错误；D、无法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故选项D错误．故选：B．  【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．【变式1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在两个同心圆中，AB为60°，则CD的度数为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】求出∠AOB=60°，可得结论．【详解】解：∵AB的度数为60°，∴∠AOB=60°，∴CD的度数为60°，故选D．【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解圆心角的度数与所对的弧的度数相等．【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，AB是⊙O的直径BC=CD=DE，若∠COD=35°，则∠AOE的度数是（      ）．      A．35° B．55° C．75° D．95°【答案】C【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到∠DOE=∠BOC=∠COD=35°，再根据平角的定义求出∠AOE的度数即可．【详解】解：∵BC=CD=DE，∠COD=35°，∴∠DOE=∠BOC=∠COD=35°，∴∠AOE=180°−∠DOE−∠BOC−∠COD=75°，故选C．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（    ）A．90° B．270° C．90°或270° D．45°或135°【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB的度数为：360°×14=90°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90°，优弧AB的度数为：360°×34=270°，即：优弧所对的圆心角的度数为270°，∴弦AB所对圆心角的度数为90°或270°；故选C．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．考点3：弧、弦、圆心角——求线段典例3：（2023·陕西渭南·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（   ）  A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根据垂径定理的推论得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，进而得到CD=2CG=8，再证明BE=CD，则BE=CD=8．【详解】解：如图所示，连接OC，∵点B是CD的中点，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，BC=BD，∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=12AB=5，∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得CG=OC2−OG2=4，∴CD=2CG=8，∵点C是BE的中点，∴BC=EC，∴BC=EC=BD，∴BE=CD，∴BE=CD=8，故选D．  【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式1】（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（    ） A．2 B．3 C．1 D．2【答案】C【分析】延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，根据圆心角、弧、弦、的关系由AC=BC得到AC=BC，可以判断OC是AB的垂直平分线，则AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用点C和点D关于AB对称得出CE=2，最后计算OE−CE即可得出答案．【详解】解：延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，如图，∵C为折叠后AB的中点，∴AC=BC，∴AC=BC，∵OA=OB，∴OC是AB的垂直平分线，∴AE=BE=12AB=4，在Rt△AOE中，OE=OA2−AE2=52−42=3,∴DE=OD−OE=5−3=2，∵ADB沿AB折叠得到ACB，CD⊥AB，∴点C和点D关于AB对称，∴CE=DE=2，∴OC=OE−CE=3−2=1，故选C【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE=2，⊙O的直径为10，则AC长为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据垂径定理求出DE=EF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出AC=DF，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案．【详解】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE=EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴ AD=DC，∴ ADC=DAF，∴AC=DF，∵⊙O的直径为10，∴OF=OA=5，∵AE=2，∴OE=OA−AE=5−2=3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=OF2−OE2=52−33=4，∴DE=EF=4，∴AC=DF=DE+EF=4+4=8，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．【变式3】（2021秋·浙江杭州·九年级统考期中）如图，AB为圆O的直径，B为劣弧CD中点，∠A=22.5°,AB=16，则CD的长为（    ）A．82 B．42 C．8 D．16【答案】A【分析】连接OC，设AB与CD交于点E，可得AB⊥CD，根据垂径定理可得CD=2CE，再由∠A=22.5°,AB=16，可得△COE是等腰直角三角形，从而得到OE=CE=42，即可求解．【详解】解：如图，连接OC，设AB与CD交于点E，∵B为劣弧CD中点，∴AB⊥CD，∴CD=2CE，∵∠A=22.5°,AB=16，∴∠BOC=45°,OA=OB=OC=8，∴△COE是等腰直角三角形，∴OE=CE=42，∴CD=2CE=82．故选：A【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．考点4：弧、弦、圆心角——证明题典例4：（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，证明AC=BD．  【答案】见解析【分析】根据等式的性质得到∠AOC=∠BOD，再根据弧、弦、圆心角的关系证明即可．【详解】解：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，∴AC=BD．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，学生掌握运用定理进行推理的能力是关键．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE．试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．【答案】BD=DE=EC，理由见解析【分析】连接OD，OE．根据题意得出△BOD与△COE都是等边三角形，继而得出∠BOD=∠DOE=∠COE，根据圆心角与弦的关系即可得证．【详解】解：BD=DE=EC．理由如下：如图，连接OD，OE．　∵OB=OD=OE=OC，∠B=∠C=60°，∴△BOD与△COE都是等边三角形．∴∠BOD=∠COE=60°．∴∠DOE=180°−∠BOD−∠COE=60°．∴∠BOD=∠DOE=∠COE．∴BD=DE=EC．【点睛】本题考查了在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．【变式2】（2022秋·九年级单元测试）如图，已知 ⊙O 的半径 OA，OB，C 在 AB⏜ 上，CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，且 CD=CE，求证：AC=BC．  【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得∠AOC=∠BOC，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵CD=CE，CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠AOC=∠BOC， ∴AC=BC．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明∠AOC=∠BOC是解题关键．【变式3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD．  (1)求证：BE=CE；(2)若AE=1，CE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）作OM⊥AB于点M，作ON⊥CD于点N，证明四边形OMEN为矩形，可得AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，可得OM=ON，证明四边形OMEN是正方形，可得OM=ME=EN．证明BM=CN，从而可得结论；（2）连接OA，求解AB=AE+BE=4，可得AM=12AB=2，可得OM=ME=1，再由勾股定理可得答案.【详解】（1）证明：作OM⊥AB于点M，作ON⊥CD于点N，又∵AB⊥CD，∴四边形OMEN为矩形，∵AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形，∴OM=ME=EN．∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴BM=12AB，CN=12CD，又∵AB=CD，∴BM=CN，∴BM+ME=CN+NE即BE=CE．（2）连接OA，      由（1）可知BE=CE=3，∴AB=AE+BE=1+3=4，∵OM⊥AB，∴AM=12AB=2，∴EM=AM−BE=1，∴OM=ME=1．在Rt△AMO中，OA=OM2+AM2=5，∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键.考点5：弧、弦、圆心角——比较问题典例5：（2021·甘肃·九年级专题练习）如图，在⊙O中，AB⏜=BC⏜=CD⏜，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（    ）．A．AC=2CD B．AC2CD D．无法比较【答案】B【分析】连接AB，BC，根据AB=BC=CD得AB=BC=CD，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB，BC，如图，∵AB=BC=CD∴AB=BC=CD又AB+BC>AC ∴AC2CD C．ABAB，再根据等量代换，即可得出结果．【详解】解：如图，作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，∵AB=2CD，∴AE=BE=CD，∴AE=BE=CD，在△ABE中，∵AE+BE>AB，∴AB2CD C．ABAB,于是有2CD>AB.【详解】如图,取AB的中点E, 连结AE，BE，则AE=BE 因为AB=2CD，所以，AE=EB=CD，AE=EB=CD，在ΔAEB中，AE+EB>AB，所以AB0，∴BE＞GE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键．【变式1】（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，OD交AC于点E，AD=CD．(1)求证：OD ∥ BC；(2)若AC=12，DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由AD=CD可得AD=CD，根据垂径定理的推论可得OD⊥AC，AE=CE，由三角形中位线定理即可判定OD∥BC；（2）由垂径定理可得AE=CE=12AC=6，再用勾股定理解Rt△AOE求出OE，最后根据中位线定理可得BC的长．【详解】（1）证明：∵ AD=CD，∴ AD=CD，又∵OD是半径，∴ OD⊥AC，AE=CE，又∵ OA=OB，∴ OE是△ABC的中位线，∴ OE∥BC，OE=12BC，∴ OD∥BC；（2）解：∵ AC=12，DE=4，∴ AE=CE=12AC=6，OA=OD=OE+ED=OE+4，又∵在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，∴ 62+OE2=OE+42，解得OE=52，由（1）知OE=12BC，∴ BC=2OE=5．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等，求解方法不唯一，解题的关键是综合运用上述知识点，利用勾股定理解Rt△AOE．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，∠AOB=90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE=BF=CD．【答案】见解析【分析】连接AC，BD，根据C，D是AB的三等分点，得出AC=CD=BD，得出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由OA=OB，∠AOB=90°，得出∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°，进而得出∠ACE=75°，根据等角对等边得出AE=AC，同理可得BF=BD，即可得证．【详解】证明：如图，连接AC，BD．∵C，D是AB的三等分点， ∴ AC=CD=BD．∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠BOD．又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°．∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°．∵OA=OC，∠AOC=30°，∴∠ACE= 12 ×(180°−30°)=75°=∠AEC．∴AE=AC．同理可得BF=BD．∴AE=BF=CD．【点睛】本题考查了弧与弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握弧与弦的关系是解题的关键．【变式3】（2022秋·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C、D是半⊙O的三等分点，CE⊥AB于点E，求∠ACE的度数并指出AC与OD的关系．【答案】∠ACE=30°；AC=OD【分析】连接OC，根据题意得出∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，进而得出△AOC是等边三角形，则∠A=60°，由CE⊥OA，得∠ACE=30°，AC=OC=OD．【详解】解：如图，连接OC．∵AB是直径，AC⏜=CD⏜=BD⏜，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°−60°=30°．∵△AOC是等边三角形，∴AC=OC=OD．【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，得出∠AOC=∠COD=∠DOB=60°是解题的关键． 同步过关一、单选题1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，半圆O的直径AB为15，弦BC为9，弦BD平分∠ABC，则BD的长是（    ）A．12 B．55 C．65 D．925【答案】C【分析】连接OD，OC，作DF⊥AB于F，OE⊥BC于E，由BD是角平分线，可得∠DOA=∠OBC，可证△BOE≌△ODF(AAS)，可求OF=BE=12BC，BF=OF+OB，在Rt△DOF中，由勾股定理DF=6（cm），在Rt△BDF中，BD=65（cm）．【详解】解：连接OD，OC，作DF⊥AB于F，OE⊥BC于E，∵∠CBD=∠ABD（角平分线的性质），∴CD=AD，∴∠DOA=∠OBC=2∠ABD，∴△BOE≌△ODF(AAS)，∴OF=BE=12BC=4.5（cm），∴BF=OF+OB=7.5+4.5=12（cm），在Rt△DOF中，DF=OD2−OF2=6（cm），在Rt△BDF中，BD=DF2+BF2=65（cm）．故选C．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，全等三角形的判定与性质；.勾股定理．掌握圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，全等三角形的判定与性质；.勾股定理．关键是引辅助线构造准确图形．2．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O 上，∠CDB=25°，则∠AOB=（  ） A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【详解】试题分析：连接OC，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的两倍可得：∠BOC=2∠CDB=50°，根据AB=BC可得：∠AOB=∠BOC=50°．故选B．3．（2023春·九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）A．相等的弦所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等C．相等的弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等【答案】C【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等对各选项进行判断．【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所以A选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以B选项不符合题意；C、相等的弧所对的弦相等，所以C选项符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以D选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）下列说法中，正确的是（   ）A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆【答案】D【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．【详解】解：A、错误，弧是圆上两点间的部分，不符合题意；B、如图，弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误，不符合题意；C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径，故本选项错误，不符合题意；D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，故本选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型．5．（2022春·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3．点P为ΔABC内一点，且满足PA2+PC2 =AC2．当PB的长度最小时，ΔACP的面积是（   ）A．3 B．33 C．334 D．332【答案】D【分析】由题意知∠APC=90°，又AC长度一定，则点P的运动轨迹是以AC中点O为圆心，12AC长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在RtΔBCO中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到ΔPCO是等边三角形，利用特殊RtΔAPC三边关系即可求解．【详解】解：∵PA2+PC2=AC2∴ ∠APC=90°取AC中点O，并以O为圆心，12AC长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短∴AO=PO=CO∵CO=12AC=12×23=3,BC=3∴BO=BC2+CO2=23∴BP=BO−PO=3∴点P是BO的中点∴在RtΔBCO中，CP=12BO=3=PO∴ ΔPCO是等边三角形∴ ∠ACP=60°∴在RtΔAPC中，AP=CP×tan60°=3∴SΔAPC=12AP×CP=3×32=332．【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．6．（2022秋·九年级单元测试）下列说法正确的是（   ）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．相等的弦所对的圆心角相等 D．等弧所对的弦相等【答案】D【分析】由圆心角、弧、弦的关系，可知等弧所对的弦相等；由垂径定理的推论可知：平分（非直径的）弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；注意不要少条件：在同圆或等圆中.【详解】A，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故本选项错误.B，平分(非直径的)弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；故本选项错误；C，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故本选项错误；D，等弧所对的弦相等；故本选项正确；故选:D【点睛】此题考查垂径定理及其推论，与圆心角、弧、弦的关系的结合运用，解题关键在于掌握相关概念.7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为（    ）A．2 B．23 C．4 D．43【答案】D【分析】连接OB，根据勾股定理计算BM=23，利用垂径定理，AB=2BM计算即可．【详解】连接OB，∵直径CD=8，AB⊥CD，OM=2∴BM=OB2−OM2=42−22=23，根据垂径定理，得AB=2BM=43，故选D．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握连接半径构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键．8．（2022秋·浙江·九年级专题练习）下列图形中的角，是圆心角的为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C、是圆心角，故本选项符合题意；D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．9．（2022秋·九年级课时练习）如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（    ）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB【答案】C【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出AC=BD，判断B选项正确；连结AD，由AC=BD，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，判断D选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出AC=BD不一定等于CD那么AC=BD不一定等于CD，判断C选项不正确．【详解】连接OA，OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．在△OAE与△OBF中，OA=OB∠OAE=∠OBFAE=BF，∴△OAE≌△OBF（SAS），∴OE=OF，故A选项正确；∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，∴AC=BD，故B选项正确；连结AD,∵AC=BD，∴∠BAD=∠ADC，∴CD∥AB，故D选项正确；∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，∴AC=BD不一定等于CD，∴AC=BD不一定等于CD，故C选项不正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．10．（2023·九年级课时练习）在⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是(    )A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定【答案】C【分析】根据题意可画出示意图，连接AM、BM，根据三角形两边之和大于第三边可得出结论.【详解】根据题意可画出示意图，连接AM、BM.∵点M是AB的中点，∴AM=BM，∴AM=BM.∵在△ABM中，AB＜AM+BM，∴AB＜2AM.故选C.【点睛】本题考查圆中弧与弦的关系以及三角形三边关系，作出示意图分析是解决此问题的好办法.二、填空题11．（2022秋·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为 ．【答案】56°【分析】连接CD，利用互余计算出∠A＝62°，再根据三角形内角和180°定理，计算∠ACD＝56°即可．【详解】解：连结CD．∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣∠B＝62°，∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝62°，∴∠ACD＝56°，∴弧AD的度数为56°，故答案为56°．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2022秋·陕西安康·九年级汉滨高中校考期中）如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有 个．【答案】4．【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案.【详解】解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；②中，同①的证明方法；③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分．故有4个．【点睛】本题考查的是菱形的判定，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．13．（2022秋·河北唐山·九年级统考期中）在ΔABC中，∠A=40°，⊙O截ΔABC三边所得的线段相等，那么∠BOC的度数是 ．【答案】110【分析】如图，DE=FG=MN，作OK⊥DE于K，OH⊥FG于H，OP⊥MN于P，连接OB、OC，利用圆心角、弧、弦和弦心距的关系可得到OK=OH=OP，则根据角平分线定理的逆定理得到OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算∠BOC得度数.【详解】解：如图，DE=FG=MN，作OK⊥DE于K，OH⊥FG于H，OP⊥MN于P，连接OB、OC，∵DE=FG=MN，∴OK=OH=OP∴ OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB=180°－40°＝140°∴∠OBC＋∠OCB＝12（∠ABC+∠ACB）=12×140°＝70°∴∠BOC＝180°－70°＝110°故答案为：110°【点睛】本题考查圆心角、弧、弦和弦心距的关系、三角形内角和定理，解题的关键是综合运用所学知识求得12（∠ABC+∠ACB）的度数.14．（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB于点P，若AB＝4，OP＝1，则弦CD所对的圆周角等于 度．【答案】60或120．【分析】先确定弦CD所对的圆周角∠CBD和∠CAD两个，再利用圆的相关性质及菱形的判定证四边形ODBC是菱形，推出∠CBD=2∠CAD,根据圆内接四边形对角互补即可分别求出∠CBD和∠CAD的度数．【详解】如图，连接OC，OD，BC，BD，AC，AD，∵AB为⊙O的直径，AB＝4，∴OB＝2，又∵OP＝1，∴BP＝1，∵CD⊥AB，∴CD垂直平分OB，∴CO＝CB，DO＝DB，又OC＝OD，∴OC＝CB＝DB＝OD，∴四边形ODBC是菱形，∴∠COD＝∠CBD，∵∠COD＝2∠CAD，∴∠CBD＝2∠CAD，又∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBD＝120°，∵弦CD所对的圆周角有∠CAD和∠CBD两个，故答案为：60或120．【点睛】本题考查了圆周角的度数问题，掌握圆的有关性质、菱形的性质以及判定定理是解题的关键．15．（2022秋·九年级课时练习）666666如图，已知AB,CD是⊙O的直径，CE是弦，且AB∥CE,∠C=350，则BE的度数为 【答案】35°【详解】试题解析：∵AB∥CE∴∠DOB=∠C=35°∵OC=OE∴∠COE=180°-35°×2=110°∴∠BOE=180°-110°-35°=35°∴BE的度数为35°. 16．（2023春·九年级课时练习）弦MN把⊙O分成两段弧, 它们的度数比为4:5, 如果T为劣弧MN的中点, 那么∠MOT= ．【答案】80°【分析】先根据题意求得劣弧MN的圆心角∠MON=160°，再根据圆心角的定理可得∠MOT=12∠MON =80°.【详解】解：∵弦MN把⊙O分成两段弧, 它们的度数比为4:5，∴劣弧MN的圆心角∠MON=49×360°=160°，又∵T为劣弧MN的中点，∴∠MOT=12∠MON =80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查圆周角定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.三、解答题17．（2023·江苏南京·九年级专题练习）（1）如图1，四边形ABQP内接于⊙O，AP=BQ．求证PQ//AB．（2）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹），①在图2中，作弦EF，使EF//BC；②在图3中，以BC为边作一个45°的圆周角．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解【分析】（1）连接AQ，证明∠AQP＝∠QAB即可；（2）①延长CA交⊙O于E，延长BA交⊙O于F，连接EF，线段EF即为所求；②在（1）基础上分别延长BF、CE，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．【详解】（1）证明：连接AQ．∵AP＝BQ，∴AP=BQ，∴∠AQP＝∠QAB，∴PQ∥AB；（2）解：①如图，线段EF即为所求．②如图，∠DBC即为所求．【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．(1)已知AB=6，EC=2，求圆O的半径；(2)如果DE=3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．【答案】(1)134(2)120°【分析】（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OE=r−2，先根据垂径定理得到AE=BE=3，CD⊥AB，在Rt△OAE中利用勾股定理得到32+(r−2)2=r2，然后解方程即可；（2）连接OB，如图，先利用DE=3EC得到OE=CE，即OE=12OA，再利用正弦的定义得到∠A=30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠AOB即可．【详解】（1）解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OE=r−2，∵CD平分AB，∴AE=BE=3，CD⊥AB，在Rt△OAE中，32+(r−2)2=r2，解得r=134，即⊙O的半径为134；（2）解：连接OB，如图，∵DE=3EC，∴OC+OE=3EC，即OE+CE+OE=3CE，∴OE=CE，∴OE=12OC=12OA，在Rt△OAE中，∵sinA=OEOA=12，∴∠A=30°，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=180°−∠A−∠B=120°，即弦AB所对的圆心角的度数为120°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．19．（2022·陕西·统考模拟预测）如图，已知扇形AOB，请用尺规作图在AB上求做一点P，使PA=PB（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析【分析】作∠AOB的角平分线交AB于P，则AP=BP，即知PA=PB，P即为符合条件的点．【详解】解：以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点O交AB于P，即：作∠AOB的角平分线交AB于P，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP，∴AP=BP，∴PA=PB，即：该点P即为所求．【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，解题的关键是掌握作角平分线的方法．也考查了弦与圆心角、弧的关系．20．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．(1)求证：AB=AC；(2)若BC=16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)128【分析】（1）根据垂径定理可得AB=AC，根据等弧所对的弦相等，即可求解．（2）连接OB，勾股定理求得OD，继而得出AD，根据三角形面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）证明：∵AD ⊥BC，∴AB=AC，∴AB=AC；（2）如图，连接OB，∵AD ⊥BC，∴BD=12BC=8，∵⊙O的半径为10．∴BO=10，在Rt△OBD中，BO=10,BD=8，∴OD=OB2−BD2=6，∴AD=AO+OD=10+6=16，∴S△ABC=12BC×AD=12×16×16=128．【点睛】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．21．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB＝CD，M是AC的中点．求证：MB＝MD．【答案】见解析．【分析】首先由点M是弧AC的中点，得出弧AM=弧CM，再由AB=CD根据等弦对等弧得出弧AB=弧CD，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论．【详解】证明：∵M是弧AC的中点，∴弧AM=弧CM，∵AB=CD∴弧AB=弧CD，∴弧AB+弧AM=弧CD+弧CM，∴弧MB=弧MD，∴MB=MD．【点睛】本题考查的知识点是同圆中弧、弦的关系，关键是明确在同圆中等弦对等弧、等弧对等弦．22．（2022秋·陕西西安·九年级西安益新中学校考期末）如图，AB为圆O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且AC=DB．（1）求证：OE=OF．（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB=8，MN=2，求OM的长．【答案】（1）证明见解析   （2）3．【分析】（1）连接OA、OB，证明△OAE≌△OBF，即可得到OE=OF；（2）设OM=x，则OA=ON=x+2，在Rt△AOM中，根据勾股定理，列出方程，求出x，即可．【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示：∵AC=DB∴∠AOE=∠BOD∵OA=OB∴∠OAE=∠OBF∴△OAE≌△OBF∴OE=OF（2）∵OM⊥AB∴AM=BM=4设OM=x，则OA=ON=x+2在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，解得：x=3∴OM=3．【点睛】本题主要考查了圆的性质，全等三角形判定，垂径定理以及勾股定理，熟练各知识点以及准确计算是解决本题的关键．23．（2022秋·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在⊙中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，∠ACB=90°，AD=BD，OE与弦CD垂直于点E．（1）求⊙O的半径；（2）求OE的长．【答案】（1）5cm；（2）22cm【分析】（1）连接AB，则可得AB为直径，由勾股定理可求得直径的长，从而可求得半径；（2）连接AD，BD，CO，过点D作DF⊥DC交CB的延长线于点F，由AD⏜=BD⏜易得∠BCD=∠ACD=12∠ACB=45゜，从而可得DC=DF；可以证明△ADC≌△BDF，从而得BF=AC=2cm，进而求得CF与CD，由垂径定理可得CE的长，由勾股定理即可求得OE的长．【详解】（1）连接AB，如图，∵ ∠ACB=90°，∴ AB是⊙O的直径．在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=22+42=25cm．∴ ⊙O的半径是5cm．（2）连接AD，BD，CO，过点D作DF⊥DC交CB的延长线于点F，如图．∵ AD⏜=BD⏜，∴ AD=BD，∠BCD=∠ACD=12∠ACB．又∵ ∠ACB=90°，∴ ∠BCD=45°．∵ DF⊥DC，∴ ∠CDF=90°．∴ ∠F=∠BCD=45°．∴ DC=DF．又∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ADB=90°．∴ ∠ADB=∠CDF=90°．∴ ∠1=∠2．∵∠F=∠ACD=45°∴ △ADC≌△BDF SAS．∴ BF=AC．∵ AC=2cm，BC=4cm，∴ CF=BC+BF=BC+AC=4+2=6cm．在Rt△DCF中，DC2+DF2=CF2，DC=DF=22CF=22×6=32cm．∵ OE⊥DC，∴ CE=12DC=12×32=322cm．在Rt△COE中，OE=OC2−CE2=52−3222=22cm．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角的性质，勾股定理，垂径定理，同圆中相等的弧与弦及圆周角的关系，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证得三角形全等是（2）的关键．24．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B.（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长.【答案】（1）233；（2）33【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．证明△AOP是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵OH⊥AB，∴AH=HB=1，∴OA=AH÷cos30°=233．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．∵PA=PB，∴OP⊥AB，∴∠AHO=90°，∵∠OAH=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ=QA=12OA=33．【点睛】本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.25．（2022春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A＝25°，求DE的度数；（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．【答案】（1）40°；（2）545【分析】（1）连接CD，先利用互余计算出∠B=90°−∠A=65°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠DCE的度数，从而得到DE的度数；（2）作CH⊥BD，根据垂径定理得到BH=DH，再利用勾股定理计算出AB=15，接着利用面积法计算出CH=365，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．【详解】解：（1）如图，连接CD， ∵∠ACB=90°，∠A＝25°，∴∠B=90°−∠A=65°，∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=65°，∴∠BCD=180°−2∠B=50°，∴∠DCE=∠ACB−∠BCD=40°，∴ DE的度数为40°；（2）如图，作CH⊥BD，则BH=DH，∵∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，∴在Rt△ACB中，AB=BC2+AC2=15，∵ S△ACB=12CH⋅AB=12BC⋅AC，∴CH=9×1215=365，在Rt△BCH中，BH=BC2−CH2=92−(365)2=275，∴BD=2BH=545．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，垂径定理以及勾股定理的应用，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．