人教版九年级数学上册重难考点专题02解一元二次方程(知识串讲+9大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难考点专题02解一元二次方程(知识串讲+9大考点)特训(原卷版+解析)，共54页。
专题02 解一元二次方程 考点类型 知识串讲（一）解一元二次方程的方法（1）解法一：直接开平方法概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】①若n≥0，方程有两个实数根。 （若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）②若n0)的两个根分别是4m−3与2m−3，则m的值是_________．【变式1】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程(x−2)2=6的根是______．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）若x2+y2−52=4，则x2+y2=________．【变式3】（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b=a2−b2+5，则方程x⊕3=0的解为 _____．考点2：解一元二次方程——配方法典例2：（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（a，b 为常数）的形式，则ab＝_____．【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）方程−x2+4x−1=0的解是______．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程x2+10x−7=0，方程可变形为x+m2=n，则m=_________，n=__________．【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：x2+12x-15=0解：可以把常数项移到方程的右边，得①__________________，两边同时加上62（一次项系数12一半的平方），得②________________，即③_____________．两边开平方，得④_______________，即⑤_________________．所以⑥_________________．考点3：配方法的应用典例3：（2023春·浙江·八年级专题练习）已知实数a，b满足b=a+1，则代数式a2+2b−6a+5的最小值等于__________．【变式1】（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知M=5x2+6，N=4x2+4x，则M_______N．(填“>”“−14 B．k≥−14 C．k≥−14且k≠0 D．k>−14且k≠07．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是3和－5，则x2＋px＋q可分解为(    )A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)8．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情况是（  ）．A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根9．（2023秋·九年级课时练习）方程ax2−22x+2=0(a≠0) 的判别式定义零，则该方程有 （    ）．A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．10．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）用配方法解方程x2−4x＋3=0，下列变形正确的是（　　）A．(x−2)2=−7 B．(x＋2)2=1 C．(x＋2)2=−1 D．(x−2)2=111．（2013·广东广州·中考真题）若5k+200)，∴x=±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴4m−3+2m−3=0，∴m=1；故答案为：1．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．【变式1】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程(x−2)2=6的根是______．【答案】x1=6+2，x2=−6+2，【分析】利用直接开平方法可得方程的解．【详解】解：原方程两边直接开平方可得：x−2=6或者x−2=−6，∴x1=6+2，x2=−6+2，故答案为：x1=6+2，x2=−6+2．【点睛】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）若x2+y2−52=4，则x2+y2=________．【答案】3或7/7或3【分析】根据x2+y2−52=4，可得x2+y2−5=2或x2+y2−5=−2，即可求解．【详解】解：∵x2+y2−52=4，∴x2+y2−5=±2，∴x2+y2−5=2或x2+y2−5=−2，∴x2+y2=7或x2+y2=3．故答案为：3或7．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键把x2+y2看作一个整体，同时注意x2+y2的值是一个非负数．【变式3】（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b=a2−b2+5，则方程x⊕3=0的解为 _____．【答案】x1=2，x2=−2【分析】先根据新定义得到x2−32+5=0，再移项得x2=4，然后利用直接开平方法求解．【详解】解：∵x⊕3=0，∴x2−32+5=0，∴x2=4，所以x1=2，x2=−2．故答案为：x1=2，x2=−2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成nx+m2=pp≥0的形式，那么nx+m=±p．考点2：解一元二次方程——配方法典例2：（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（a，b 为常数）的形式，则ab＝_____．【答案】−84【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．【详解】解：方程x2−8x−5=0，变形得：x2−8x=5，配方得：x2−8x+16=21，即(x−4)2=21，则a=−4，b=21，故ab=−4×21=−84，故答案为：−84．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）方程−x2+4x−1=0的解是______．【答案】x=2±3【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：−x2+4x−1=0x2−4x=−1x2−4x+4=3x−22=3x−2=±3x=2±3，故答案为：x=2±3．【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方的方法是解题的关键．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程x2+10x−7=0，方程可变形为x+m2=n，则m=_________，n=__________．【答案】 5 34【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：x2+10x−7=0，∴x2+10x=7，∴x2+10x+25=34，即x+52=34，∴m=5，n=34．故答案为：5，34【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：x2+12x-15=0解：可以把常数项移到方程的右边，得①__________________，两边同时加上62（一次项系数12一半的平方），得②________________，即③_____________．两边开平方，得④_______________，即⑤_________________．所以⑥_________________．【答案】 x2+12x=15 x2+12x+62=15+36 （x+6）2=51 x+6 =±51 x+6 =51，或x+6 =-51 x1=51−6；x2=−51−6【解析】略考点3：配方法的应用典例3：（2023春·浙江·八年级专题练习）已知实数a，b满足b=a+1，则代数式a2+2b−6a+5的最小值等于__________．【答案】3【分析】将b=a+1代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵b=a+1∴a2+2b−6a+5 =a2+2a+1−6a+5=a2−4a+7=a−22+3，∵a−22≥0，∴a−22+3≥3，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．【变式1】（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知M=5x2+6，N=4x2+4x，则M_______N．(填“>”“【分析】计算M−N，然后将结果配方，即可求解．【详解】解：∵M=5x2+6，N=4x2+4x，∴M−N=5x2+6−4x2+4x=x2−4x+6=x−22+2≥2>0，∴M>N,故答案为：>．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．【变式2】（2023春·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知：a、b、c是ΔABC的三边，且a2-2a+b-2b-1+|c-5|+1=0，ΔABC的形状是 ________ ．【答案】直角三角形【分析】等式配方成a2-2a+b-2b-1+|c-5|+1=0，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【详解】解：∵a2-2a+b-2b-1+|c-5|+1=0，∴a2-2a+1+(b-1)2-2b-1+1+|c-5|=0，∴(a-1)2+(b-1-1)2+|c-5|=0，∴a-1=0，b-1-1=0，c-5=0，∴a=1，b=2，c=5，∵12+22=(5)2，∴ΔABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【变式3】（2022秋·全国·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2−5x−3=0，可以写成（x＋h）2＝k的形式，则___________．【答案】(x−54)2=4916【分析】根据配方法的一般步骤进行配方即可．【详解】解：原方程可以化为：x2−52x−32=0，移项，得x2−52x=32，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2−52x+542=32+542，配方，得(x−54)2=4916；故答案是：(x−54)2=4916．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，掌握配方法解一元二次方程是解答本题的关键．考点4：利用△判断根的情况典例4：（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）不解方程，判别方程3x2+4x=-2的根的情况：_________________________．【答案】方程无实数根【分析】先化为一般式，再根据根的判别式解答即可．【详解】解：∵3x2+4x=−2，∴3x2+4x+2=0，∴a=3,b=4,c=2，∴b2−4ac=42−4×3×2=−80时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δc，即a+b2>c2，由a+bx2−2cx+a+b=0可得：Δ=4c2−4a+b20，∴方程1☆x=2有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式Δ=b2-4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ