人教版九年级数学上册重难考点专题03圆周角定理(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)

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专题03 圆周角定理 考点类型 知识串讲（一）圆周角定理（1）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（二）圆周角的推论①推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．③推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（三）圆的内接四边形（1）圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。（2）性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 考点训练考点1：圆周角概念典例1：（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）下列图形中的∠ABC是圆周角的是（    ）A．B．C．D．【变式1】（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）．A．B． C． D．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（  ）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    )A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC考点2：圆周角定理——求角度典例2：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果∠CAB=20°，那么∠AOD等于（   ）  A．120° B．140° C．150° D．160°【变式1】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，△ABC内接于⊙O，E是BC的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，则∠OBE的度数为（　　）A．70° B．65° C．60° D．55°【变式2】（2023·云南·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A=（    ）  A．66° B．33° C．24° D．30°【变式3】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=4∠BOC，若∠ACB=60°，则∠BAC的度数是（    ）  A．20° B．18° C．15° D．12°考点3：同弧（等弧）所对的圆周角相等典例3：（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为（    ）  A．40° B．50° C．60° D．70°【变式1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点F是圆O上的点，点B、C是劣弧AD的三等分点，若∠BOC=44°，则∠AFD的度数是（    ）  A．65° B．66° C．67° D．68°【变式2】（2023·北京·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB⊥CD，垂足为E，∠A=25°，连接CO并延长交⊙O于点F，连接FD，则∠F的度数为（    ）  A．25° B．45° C．50° D．65°【变式3】（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（   ）  A．20° B．40° C．50° D．80°考点4：直径所对圆周角90°典例4：（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是（    ）  A．50° B．40° C．70° D．60°【变式1】（2023·山东威海·统考二模）如图，等边△ABC的边长为4，点F在△ABC内运动，运动过程始终保持∠AFB=90°，则线段CF长度的最大值与最小值的差约为（  ）  A．4−23 B．2 C．23−2 D．3−1【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AB是半圆O的直径，以弦为痕折叠AC后，恰好过点O则∠OAC等于（    ）  A．10° B．25° C．30° D．14°【变式3】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（    ）   A．9 B．8 C．7 D．6考点5：圆内接四边形性质典例5：（2023·山西太原·校联考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD=70°，则∠AOC的度数为（    ）  A．110° B．120° C．130° D．140°【变式1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，A，B，C是⊙O上的三点，其中点B是弧AC的三等分点，且弧AB大于弧BC，若∠A=50°，则∠ABC的度数是（    ）  A．100° B．110° C．120° D．130°【变式2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D=120°，AB=AC=6，则点O到BC的距离是（　　）  A．3 B．3 C．23 D．33【变式3】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（    ）  A．20° B．30° C．40° D．45°考点6：圆周角定理综合典例6：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，AC，BD是⊙O的两条直径．  (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)若⊙O的直径为8，∠AOB=120°，求四边形ABCD的周长和面积．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AC、BD为圆内接四边形ABCD的对角线，且点D为BDC的中点；(1)如图1，若∠CDB=60°、直接写出AD，AB与AC的数量关系；(2)如图2、若∠CDB=90°、AC平分∠BCD，BC=4，求AD的长度．【变式2】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．  (1)判断△ABC的形状，并证明；(2)若CP=6,BC=27，求S△APB．【变式3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD,DC,CP．  (1)求证：∠ADC−∠BAC=90°；（请用两种证法解答）(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长． 同步过关一、单选题1．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）已知：如图A、B是⊙O上两点中，若∠AOB=90∘，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）A．45∘ B．40∘ C．35∘ D．50∘2．（2022秋·九年级课时练习）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（　　）A．4 B．6 C．8 D．103．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=24°，则∠DCA的度数为（　　）A．40° B．41° C．42° D．43°4．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=2∠A，则∠A的度数是（    ）A．30° B．45° C．60° D．不确定5．（2023·河南焦作·统考二模）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（    ）A．30° B．40° C．50° D．80°6．（2023·内蒙古包头·二模）如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（   ）．A．0,5 B．0,53 C．0,523 D．0,5337．（2023春·九年级单元测试）如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD都是⊙O的割线．如果PA=4，AB=2，PC=CD，那么PD的长为(     )A．3 B．23 C．33 D．438．（2022秋·河南商丘·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（    ）A．90° B．100° C．110° D．120°9．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，则∠BCD=（    ）A．112° B．68° C．56° D．34°10．（2022·江苏盐城·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为32，若BC=6，则∠A的度数为（    ）A．120° B．135° C．150° D．160°二、填空题11．（2022秋·九年级课时练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60º，则∠ABC＝ º．12．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为 ．13．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为 ．14．（2022秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上。设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75∘，那么点P在大量角器上对应的刻度为 15．（2022秋·天津·九年级校考期中）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于 ．16．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值 ．三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．18．（2023·陕西·三模）如图，在△ABC中，∠C=90°，请用尺规作图法求作∠CPB=∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．19．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；(2)若∠M=∠D，求∠D的度数．20．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，对角线AC和BD交于点E．（1）若∠BAD和∠BCD的度数之比为2:3，求∠BAD的度数；（2）若AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长．21．（2022秋·广西桂林·九年级校联考期末）如图，△ABC 中，∠A 的角平分线交△ABC 的外接圆于点 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC交 AC 的延长线于 F，求证：BE＝CF．22．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．(1)用数学的眼光观察，图2 　 　．A．是轴对称图形B．是中心对称图形C． 既是轴对称图形又是中心对称图形(2)请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；(3)古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图1，已知AC,BD是⊙O内两条互相垂直的弦，连接AD、BC．(1)如图2，若AC=6,BD=8，则四边形ABCD的面积是_____________．(2)如图3，若AC是⊙O的直径，BC=2,AD=4，求⊙O的半径．(3)在（2）的情况下，若AC,BD均不是直径（如图1），⊙O的半径会发生变化吗？若发生变化，求出这个半径值；若不发生变化，请利用图1给出证明．24．（2022秋·湖北咸宁·九年级统考期末）问题提出：如图1，在Rt△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB上一点，连接CD，为探究AD2，BD2，CD2之间的数量关系，刘星同学思考后，提出以下解决方法．探究解决：将图1中CD绕着点C顺时针方向旋转90°，得到CE，连接DE，AE，如图2，请解决以下问题：(1)证明：△ACE≌△BCD；(2)证明：∠DAE=90°；(3)直接写出AD2，BD2，CD2之间的数量关系为______；(4)拓展应用：如图3，四边形ABCD内接于⊙O，且BD为⊙O直径，BC=DC，连接AC，若AB=5，BC=17，则AC=______．25．（2023·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．专题03 圆周角定理 考点类型 知识串讲（一）圆周角定理（1）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（二）圆周角的推论①推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．③推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（三）圆的内接四边形（1）圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。（2）性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 考点训练考点1：圆周角概念典例1：（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）下列图形中的∠ABC是圆周角的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的∠ABC都不是圆周角，C中的∠ABC是圆周角，故选C．【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．【变式1】（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）．A．B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可．【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（  ）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由图可知：AB所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，故选C．【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    )A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC【答案】C【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE故选：C【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.考点2：圆周角定理——求角度典例2：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果∠CAB=20°，那么∠AOD等于（   ）  A．120° B．140° C．150° D．160°【答案】B【分析】先根据垂径定理得到BC=BD，然后根据圆周角定理得∠BOD=2∠BAC=40°，据此求解即可．【详解】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴BC=BD，∴∠BOD=2∠BAC=40°．∴∠AOD=180°−∠BOD=140°．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和垂弦定理，解题的关键是熟知垂径定理及圆周角定理的内容．【变式1】（2023·云南·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A=（    ）  A．66° B．33° C．24° D．30°【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵BC=BC，∠BOC=66°，∴∠A=12∠BOC=33°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【变式2】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=4∠BOC，若∠ACB=60°，则∠BAC的度数是（    ）  A．20° B．18° C．15° D．12°【答案】C【分析】由∠ACB=60°，可得∠AOB=2∠ACB=120°，结合∠AOB=4∠BOC，可得∠BOC=14×120°=30°，再利用圆周角定理可得答案．【详解】解：∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵∠AOB=4∠BOC，∴∠BOC=14×120°=30°，∴∠BAC=12∠BOC=15°，故选C．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，△ABC内接于⊙O，E是BC的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，则∠OBE的度数为（　　）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】D【分析】连接OB、OC，则∠BOC=2∠BAC=140°，可得∠OBC=20°，再证∠EBC=∠EAC=∠EAB=12∠BAC=35°，由“等边对等角”的性质求∠OBE即可．【详解】解：连接OB、OC， ∵∠BAC=70°，∴∠BOC=2∠BAC=140°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=20°，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴∠EBC=∠EAC=∠EAB=12∠BAC=35°，∴∠OBE=∠OBC+∠EBC=55°，∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE=55°．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．考点3：同弧（等弧）所对的圆周角相等典例3：（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为（    ）  A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC=40°，∵BD为圆的直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=90°−∠BDC=50°；故选：B．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．【变式1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点F是圆O上的点，点B、C是劣弧AD的三等分点，若∠BOC=44°，则∠AFD的度数是（    ）  A．65° B．66° C．67° D．68°【答案】B【分析】根据题意可得AB=BC=CD，则∠AOB=∠BOC=∠COD，进而可得∠AOD=3∠BOC=132°，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵点B、C是劣弧AD的三等分点，∴AB=BC=CD∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∵∠BOC=44°，∴∠AOD=3∠BOC=132°∵AD=AD∴∠AFD=12∠AOD=66°，故选：B．【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角线段，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【变式2】（2023·北京·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB⊥CD，垂足为E，∠A=25°，连接CO并延长交⊙O于点F，连接FD，则∠F的度数为（    ）  A．25° B．45° C．50° D．65°【答案】C【分析】连接OD，根据圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OD，  ∵⊙O的直径AB⊥CD，∴BC=BD，∴∠BOC=∠BOD，∵∠A=25°，∠BOC=2∠A，∴∠BOC=50°，∴∠COD=100°，∴∠F=12∠COD=50°，故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，熟记圆周角定理正确作辅助线是解题的关键．【变式3】（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（   ）  A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=50°，∴∠ABC=90°−∠BAC=40°，∵AC=AC，∴∠D=∠ABC=40°；故选B．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．考点4：直径所对圆周角90°典例4：（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是（    ）  A．50° B．40° C．70° D．60°【答案】D【分析】如图所示，连接CD，先由同弧所对的圆周角相等得到∠BCD=∠BAD=30°，再由直径所对的圆周角是直角得到∠ACD=90°，则∠ACB=∠ACD−∠BCD=60°．【详解】解：如图所示，连接CD，∵∠BAD=30°，∴∠BCD=∠BAD=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=60°，故选D．  【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出∠ACD，∠BCD的度数是解题的关键．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AB是半圆O的直径，以弦为痕折叠AC后，恰好过点O则∠OAC等于（    ）  A．10° B．25° C．30° D．14°【答案】C【分析】连接BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB=60°，据此求解即可得到结论．【详解】解：如图，连接BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，    ∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，∴OD=12OE，OD⊥AC∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴OD∥BC，∵OA=OB，∴OD=12BC，∴BC=OE=OB=OC，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠OAC=∠OCA=12×60°=30°，故选：C．【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．【变式2】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（    ）   A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，  ∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB=10，∴OA=OB=OE′=5，∵BC=12，∴OC=BC2+0B2=122+52=13，则CE′=OC−OE′=13−5=8，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键．【变式3】（2023·山东威海·统考二模）如图，等边△ABC的边长为4，点F在△ABC内运动，运动过程始终保持∠AFB=90°，则线段CF长度的最大值与最小值的差约为（  ）  A．4−23 B．2 C．23−2 D．3−1【答案】A【分析】根据运动过程始终保持∠AFB=90°，可知点F在以AB为直径的圆上，该圆记作圆O，连接OC，交圆O于点F，此时满足CF最短（图1）；设AC交圆O于F，此时满足CF最长（图2）．据此利用勾股定理即可作答．【详解】∵运动过程始终保持∠AFB=90°，∴点F在以AB为直径的圆上，该圆记作圆O，连接OC，交圆O于点F，此时满足CF最短．如图1，        图1                             ∵等边△ABC的边长为4，∴AB=4，OA=OB=OF=12AB=2，∵点O为AB中点，∴OC⊥AB，∴OC=AC2−AO2=23，∴CF最短为：CF=OC−OF=23−2，如图2，假如当点F运动到AC与⊙O的交点时，CF最长．  图2∵∠AFB=90°（直径AB所对的圆周角为直角），又BA=BC，∴F为AC的中点，∴CF=12AC=12×4=2．即CF长度的最大值为2．故线段CF长度的最大值与最小值的差约为：2−23−2=4−23．故答案为：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，判断出点F在以AB为直径的圆上，是解答本题的关键．考点5：圆内接四边形性质典例5：（2023·山西太原·校联考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD=70°，则∠AOC的度数为（    ）  A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【分析】先由平行线的性质求出∠ABC=110°，再由圆内接四边形对角互补求出∠ADC=70°，则由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC=140°．【详解】解：∵AD∥BC，∠BAD=70°，∴∠ABC=180°−∠BAD=110°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC=180°−∠ABC=70°，∴∠AOC=2∠ADC=140°，故选D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，A，B，C是⊙O上的三点，其中点B是弧AC的三等分点，且弧AB大于弧BC，若∠A=50°，则∠ABC的度数是（    ）  A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【分析】连接OB，取AB的中点D，连接OD，在优弧AC上取点E，连接AE、CE，由圆的性质可求得∠AOC，根据圆周角定理可求得∠E，利用圆内角四边形的性质即可求得∠ABC．【详解】解：如图，连接OB，取AB的中点D，连接OD，在优弧AC上取点E，连接AE、CE，  ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°−50°−50°=80°，∵点B是弧AC的三等分点，∴∠BOC=∠AOD=∠BOD=40°，∴∠AOC=120°，∴∠E=12∠AOC=60°，∴∠ABC=180°−∠E=120°，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用条件构造圆内接四边形是解题的关键．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（    ）  A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD=180°，得到∠BCD=120°,∠BAD=60°，由BE是⊙O的直径，得到∠BAE=90°，再根据∠BAE−∠BAD求出∠DAE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BCD=120°,∠BAD=60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=30°，故选：B．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，正确理解圆内接四边形的性质求出∠BCD=120°,∠BAD=60°是解题的关键．【变式3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D=120°，AB=AC=6，则点O到BC的距离是（　　）  A．3 B．3 C．23 D．33【答案】B【分析】根据内接四边形得出∠A=60°，进而得出△ABC是等边三角形，进而即可求解．【详解】解：∵点A、B、C、D在⊙O上，∠D=120°，∴∠A=60°，∵AB=AC=6，∴△ABC是等边三角形，连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，∴BE=12BC=3，∠BOE=12∠BOC=∠A=60°，∴OE=33BE=3∴点O到BC的距离是3，故选：B．  【点睛】本题考查了内接四边形对角互补，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．考点6：圆周角定理综合典例6：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，AC，BD是⊙O的两条直径．  (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)若⊙O的直径为8，∠AOB=120°，求四边形ABCD的周长和面积．【答案】(1)四边形ABCD是矩形，理由见解析；(2)8+83， 163．【分析】（1）由AC，BD是⊙O的两条直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，则可判定四边形ABCD是矩形；（2）根据直角三角形的性质和矩形的周长和面积解答即可．【详解】（1）四边形ABCD是矩形．理由：∵AC，BD是⊙O的两条直径，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，DB=8，∴AD=4，AB=43，∴四边形的周长4+4+43+43=8+83，面积=43×4=163．【点睛】此题考查了圆周角定理以及矩形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AC、BD为圆内接四边形ABCD的对角线，且点D为BDC的中点；(1)如图1，若∠CDB=60°、直接写出AD，AB与AC的数量关系；(2)如图2、若∠CDB=90°、AC平分∠BCD，BC=4，求AD的长度．【答案】(1)AD+AB=AC(2)8−42【分析】（1）如图：BA绕B逆时针旋转交AC于E,即AB=BE，先说明△AEB是等边三角形可得∠ABE=60°,AE=AB；再说明△DBC是等边三角形可得∠DBC=60°,BC=BD ，进而证明△CBE≅△DBASAS可得CE=AD，最后根据AC=CE+EA即可证明结论；（2）如图：连接OD,OA交BD于E，先说明BC为⊙O直径,即OA=OB=OC=2，再运用圆周角定理和勾股定理可得BD=CD=22，进而求得DE=2、AD=8−42，最后运用勾股定理即可解答【详解】（1）解：如图：BA绕B逆时针旋转交AC于E，即AB=BE，∵∠CDB=60°，∴∠CAB=∠CDB=60°，∴△AEB是等边三角形，∴  ∠ABE=60°,AE=AB,∵点D为BDC的中点∴CD=BD，∵∠CDB=60°，∴△DBC是等边三角形，∴∠DBC=60°,BC=BD ，∴∠ABE=∠CBD,即∠CBE=∠ABD,∴△CBE≅△DBASAS，∴CE=AD,∴AC=CE+EA=AD+AB,即AD+AB=AC．  （2）解：如图：连接OD，OA交BD于E，∵∠CDB=90°，∴BC为⊙O直径,即OA=OB=OC=2∵点D为BDC的中点，∴BD=CD，  ∴BC=BD2+CD2,即4=2BD2,解得：BD=CD=22,∵AC平分∠BCD，∴AD=AB,又∵OD=OB,∴AE垂直平分BD,即DE=12BD=2，∴CD∥OA,∵OC=OB．∴OE是△OBD的中位线，∴OE=12CD=2，∴AE=OA−OE=2−2，∴AD=AE2+DE2=2−22+22=8−42．  【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关定理是解答本题的关键．【变式2】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．  (1)判断△ABC的形状，并证明；(2)若CP=6,BC=27，求S△APB．【答案】(1)等边三角形，证明见解析(2)23【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J.证明△ABK≌△ACJAAS，推出AK=AJ，BK=CJ，证明Rt△AKP≌Rt△AJPHL推出PK=PJ，设PK=PJ=x，则AK=AJ=3x，构建方程求解即可．【详解】（1）解：△ABC是等边三角形，  理由如下：由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J．∵∠K=∠AJC=90°，AB=AC，∠ABK=∠ACJ，∴△ABK≌△ACJAAS，∴AK=AJ,BK=CJ，∵AP=AP，∴Rt△AKP≌Rt△AJPHL，PK=PJ，设PK=PJ=x，则AK=AJ=3x，∵AK2+BK2=AB2，∴3x2+6−x2=272，解得，x=1或2，∴PJ=1或2，AK=AJ=3或23，∴PB=2或4，∴△APB的面积=12×2×23=23或12×4×3=23，综上所述，△APB的面积为23．【点睛】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．【变式3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD,DC,CP．  (1)求证：∠ADC−∠BAC=90°；（请用两种证法解答）(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）证法一：连接BD，得到∠ADB=90°，因为∠BAC=∠BDC，所以∠ADC−∠BAC=90°；证法二：连接BC，可得∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC=180°−∠ADC，根据∠ACB=90°，可得∠BAC+∠ABC=90°，即可得到结果；（2）连接OC，根据角度间的关系可以证得△OCP为直角三角形，根据勾股定理可得边OP的长，进而求得结果．【详解】（1）证法一：如图，连接BD，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC−∠BAC=90°，  证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°−∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°−∠ADC=90°，∴∠ADC−∠BAC=90°，  （2）解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC−∠BAC=90°，∴∠ACP−∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP−∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，  【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键． 同步过关一、单选题1．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）已知：如图A、B是⊙O上两点中，若∠AOB=90∘，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）A．45∘ B．40∘ C．35∘ D．50∘【答案】A【分析】根据圆周角定理即可解答．【详解】解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB=90∘，∴∠ACB=12∠AOB=45∘故选：A【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．（2022秋·九年级课时练习）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（　　）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【详解】解：由垂径定理得：CE=52−42=3 ∴CD=2CE=6 则过E点所有弦中长度为整数的有：6（1条）,7,8,9各两条,10（1条）；共8条.故选C.3．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=24°，则∠DCA的度数为（　　）A．40° B．41° C．42° D．43°【答案】C【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到ABC所对的圆周角，然后根据∠ACD等于ABC所对的圆周角减去CD所对的圆周角，计算即可得解．【详解】解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠BAC=24°，∴∠B=90°−∠BAC=90°−24°=66°，根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ACD，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠CDB=180°，∴∠B=∠CDB=66°，∴∠DCA=∠CDB−∠BAC=66°−24°=42°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠的性质，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．4．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=2∠A，则∠A的度数是（    ）A．30° B．45° C．60° D．不确定【答案】C【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180°，∵∠C=2∠A，∴∠A=60°．故选：C【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠A的度数．5．（2023·河南焦作·统考二模）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（    ）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】根据题意，确定A、B、C、D在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到∠BCD=12∠BOD=40°．【详解】解：令圆心为O，连接OD，如图所示：∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，∴C在⊙O上，∵量角器上点D对应的读数是100°，∴∠DOA=100°，∴∠BOD=180°−100°=80°，∵DB=DB，∴∠BCD=12∠BOD=40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键．6．（2023·内蒙古包头·二模）如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（   ）．A．0,5 B．0,53 C．0,523 D．0,533【答案】A【分析】首先设⊙A与x轴的另一个交点为点D，连接CD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径．由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，进而由含30°角的直角三角形的性质求得OC的长，即得出点C坐标．【详解】解：设⊙A与x轴的另一个交点为点D，连接CD，如图，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径，即CD=10．∵OC=OC，∴∠ODC=∠OBC=30°，∴OC=12CD=5，∴点C的坐标为：0,5．故选A．【点睛】此题考查圆周角定理的推论，含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．7．（2023春·九年级单元测试）如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD都是⊙O的割线．如果PA=4，AB=2，PC=CD，那么PD的长为(     )A．3 B．23 C．33 D．43【答案】D【分析】连结BC、BD，证明△PCB∽△PAD，由PA：PD＝PC：PB可得到PD的长.【详解】如图，连结BC、BD.∵同弧所对的圆心角相等∴∠PDA＝∠PBC，又∵∠BPD是△PCB和△PAD共同的角，∴△PCB∽△PAD，∴PA：PD＝PC：PB＝PD：PA＋AB，∴PD＝4.【点睛】本题考查了相似三角形、同弧对应的圆周角相等，灵活运用这些知识是解答此题的关键.8．（2022秋·河南商丘·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（    ）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】连接AD，根据圆周角定理，可分别求出∠ADB=90°，∠ADE=∠ACE=20°，即可求∠BDE的度数．【详解】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACE=20°，∴∠ADE=∠ACE=20°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=110°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，则∠BCD=（    ）A．112° B．68° C．56° D．34°【答案】D【分析】先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠A＝90°−∠ABD＝34°，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°−∠ABD＝90°−56°＝34°，∴∠BCD＝∠A＝34°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直10．（2022·江苏盐城·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为32，若BC=6，则∠A的度数为（    ）A．120° B．135° C．150° D．160°【答案】B【分析】连接OB和OC，作OD⊥BC，求出∠BOD=∠DBO=45°，再求出∠BOC的度数，最后利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，作OD⊥BC，∵圆O半径为32，BC=6，OD⊥BC，∴OB=32，BD=3，∠BDO=90°，∴OD=OB2−BD2=(32)2−32=3，∴∠BOD=∠DBO=45°，∴∠BOC=90°，∴∠A=135°，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是正确的作出辅助线．二、填空题11．（2022秋·九年级课时练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60º，则∠ABC＝ º．【答案】150【详解】如图，在优弧 ADC 上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=60°，∴∠ADC=12∠AOC=30°．∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°－∠ADC=180°－30°=150°．12．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为 ．【答案】8【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=AE2−BE2=102−62=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查圆心角定理，角的补角、勾股定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．13．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为 ．【答案】30°或150°【详解】与半径相等的弦与两条半径可构成等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为60°，而弦所对的圆周角两种，根据圆内接四边形对角互补可知，这两个圆周角互补，其中一种圆周角的度数为12×600=300 ，所以另一种圆周角的度数为150°．故答案为30°或150°．14．（2022秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上。设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75∘，那么点P在大量角器上对应的刻度为 【答案】30°【分析】设大量角器的左端点为A，连接AP、PO2，利用三角形的内角和定理求出∠PAO2的度数．然后根据圆周角定理即可求出大量角器上对应的度数．【详解】设大量角器的左端点是A，连接AP，PO2，则∠APO2=90°，由题可知∠AO2P=75°，∴∠PAO2=180°－90°－75°=15°，根据圆周角定理可得，在大量角器中弧PO2所对的圆心角是30°，∴P在大量角器上对应的度数为30°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、圆周角定理，熟练掌握直径所对圆周角为直角及圆周角定理是解题的关键.15．（2022秋·天津·九年级校考期中）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于 ．【答案】25°【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ADC＝∠ABC＝65°，然后利用互余计算∠CDB的度数．【详解】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝65°，∴∠CDB＝90°﹣65°＝25°．故答案为25°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．16．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值 ．【答案】210−22【分析】由题意可知，∠AGB=90°，可得∠APB=12∠AGB=45°，可知点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧），设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，可知△AOB为等腰直角三角形，求得OA=22AB=22=OP，AQ=OQ=22OA=2，QD=AD−AQ=6，OD=OQ2+QD2=210，再由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=210−22，当点P在线段OD上时去等号，即可求得DP的最小值．【详解】解：∵B、G关于EF对称，∴BH=GH，且EF⊥BG∵E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，∴EH∥AG，∴∠AGB=90°，∵∠APB=12∠AGB，即∠APB=12∠AGB=45°，∴点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧）设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，则OA=OB=OP，∵∠APB=45°，∴∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，∴OA=22AB=22=OP，又∵E为AB中点，∴OE⊥AB，OE=12AB=AE=BE，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=8，∴四边形AEOQ是正方形，∴AQ=OQ=22OA=2，QD=AD−AQ=6，∴OD=OQ2+QD2=210，由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=210−22，当点P在线段OD上时去等号，∴DP的最小值为210−22，故答案为：210−22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB=12∠AGB=45°得知点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上是解决问题的关键．三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．【答案】（1）20°；（2）8【分析】（1）由垂径定理，可知弧AD＝弧BD，再由圆周角定理求得∠DEB的度数．（2）由垂径定理可得AC=4，由勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD，∴∠DEB＝12∠AOC＝12×40°＝20°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝OA2−OC2=52−32=4，则AB＝2AC＝8．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．解答关键是应用垂径定理构造方程．18．（2023·陕西·三模）如图，在△ABC中，∠C=90°，请用尺规作图法求作∠CPB=∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】作AB的垂直平分线，再以AB为直径作圆，AB下方交点就是所求【详解】解：如图，∠CPB即为所作．①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；③连接BP,CP，则∠CPB就是所求作的角．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；(2)若∠M=∠D，求∠D的度数．【答案】(1)⊙O的直径是20(2)∠D=30°【分析】（1）先根据垂径定理得到CE=DE=8，设OB=x，利用勾股定理求解即可；（2）根据圆周角定理得到∠BOD=2∠D，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可．【详解】（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=x−42+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）解：∵∠M=12∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D=12∠BOD，即∠BOD=2∠D，∵AB⊥CD，∴∠D+∠BOD=90∘∴∠D=30°．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键．20．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，对角线AC和BD交于点E．（1）若∠BAD和∠BCD的度数之比为2:3，求∠BAD的度数；（2）若AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长．【答案】（1）∠BAD=72°；（2）AC=833．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAD和∠BCD的度数之比为2:3计算求值即可；（2）利用点C为劣弧BD的中点，得到BC=CD，∠BAC=∠DAC=30°，BC=CD，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△ECB，得A、B、E三点共线，过点C作CG⊥AE于G求得EG=12AE=12AB+BE=12AB+AD=123+5=4，CG=12AC，根据勾股定理CG2+EG2=CE2，列得12AC2+42=AC2，计算即可．【详解】（1）如图所示，∵点A、B、C、D都在⊙O上，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAD和∠BCD的度数之比为2:3，∴∠BCD=32∠BAD，∴∠BAD=72°；（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠BCD=120°，∵点C为劣弧BD的中点，∴BC=CD，∴∠BAC=∠DAC=30°，BC=CD．将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△ECB，如图所示．则∠E=∠DAC=∠BAC=30°，BE=AD=5，∠ADC=∠EBC，AC=CE，∵∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠ADC=180°，∴A、B、E三点共线．过点C作CG⊥AE于G，则EG=12AE=12AB+BE=12AB+AD=123+5=4，CG=12AC．∵Rt△EGC中，CG2+EG2=CE2，∴12AC2+42=AC2，解得AC=833． ．【点睛】此题考查圆内接四边形对角互补的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各部分知识并综合运用是解题的关键．21．（2022秋·广西桂林·九年级校联考期末）如图，△ABC 中，∠A 的角平分线交△ABC 的外接圆于点 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC交 AC 的延长线于 F，求证：BE＝CF．【答案】详见解析.【分析】首先连接BD,CD，根据角平分线的定义可知∠BAD=∠CAD，可得BD=CD，则BD=CD，再结合角平分线的性质定理得出DE=DF，然后可证△DEB≌△DFC（HL），从而得出BE＝CF．【详解】证明：连接 DB、DC，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BAD＝∠CAD，DE＝DF，∴ BD=CD，∴DB＝DC，∵∠BED＝∠DFC＝90°，DE＝DF，在RtΔDEB和RtΔDFC中BD=CDDE=DF ∴RtΔDEB≌RtΔDFC（HL），∴BE＝CF．【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.解题关键是掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.22．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．(1)用数学的眼光观察，图2 　 　．A．是轴对称图形B．是中心对称图形C． 既是轴对称图形又是中心对称图形(2)请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；(3)古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．【答案】(1)C(2)见解析(3)这枚古钱币是真品，理由见解析【分析】（1）根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可；（2）正方形的对角线的交点即为所求；（3）利用勾股定理求出BC，即可判断．【详解】（1）解：图2既是轴对称图形又是中心对称图形，故答案为：C；（2）如图4中，点O即为所求；（3）如图5中，连接BC．∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∵BC＝AB2+AC2=22+32=13≈3.6（cm），∴这枚古钱币是真品．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是作为中心对称图形，轴对称图形的定义，灵活运用所学知识解决问题．23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图1，已知AC,BD是⊙O内两条互相垂直的弦，连接AD、BC．(1)如图2，若AC=6,BD=8，则四边形ABCD的面积是_____________．(2)如图3，若AC是⊙O的直径，BC=2,AD=4，求⊙O的半径．(3)在（2）的情况下，若AC,BD均不是直径（如图1），⊙O的半径会发生变化吗？若发生变化，求出这个半径值；若不发生变化，请利用图1给出证明．【答案】(1)24(2)5(3)不变，5【分析】（1）四边形ABCD的面积等于三角形ABD和BCD的面积之和，以BD为底，两个三角形的高之和为AC，从而得出结果；（2）连接AB，由垂径定理得出AC平分BD，进而得出AB=AD，根据勾股定理得出直径，从而得出半径的值；（3）作直径AE，连接CE，DE，可以得出∠BDE=∠DCE，从而DE=BC，进而得出DE=BC=2，进一步得出结论．【详解】（1）解：S四边形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，∴四边形ABCD的面积是24；（2）解：连接AB，如图所示：∵直径AC⊥BD，∴AC平分BD，∴AB=AD=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴AC= AC2+AB2=22+42=25，∴⊙O的半径为：5；（3）解：⊙O的半径不变，理由如下：作直径AE，连接DE，CD，如图所示：∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE，∵AC⊥BD，∴BD∥CE， ∴∠BDC=∠DCE， ∴ DE=BC，∴DE=BC=2，由（2）知：AE=25，∴⊙O的半径为：5，故⊙O的半径不变．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆中的圆周角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆的有关知识．24．（2022秋·湖北咸宁·九年级统考期末）问题提出：如图1，在Rt△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB上一点，连接CD，为探究AD2，BD2，CD2之间的数量关系，刘星同学思考后，提出以下解决方法．探究解决：将图1中CD绕着点C顺时针方向旋转90°，得到CE，连接DE，AE，如图2，请解决以下问题：(1)证明：△ACE≌△BCD；(2)证明：∠DAE=90°；(3)直接写出AD2，BD2，CD2之间的数量关系为______；(4)拓展应用：如图3，四边形ABCD内接于⊙O，且BD为⊙O直径，BC=DC，连接AC，若AB=5，BC=17，则AC=______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AD2+BD2=2CD2(4)42【分析】（1）由旋转得CD=CE，∠DCE=∠ACE+∠ACD=90°，从而可证得∠BCD=∠ACE，然后由SAS可证得结论；（2）由△ACE≌△BCD得∠CBD=∠CAE，又由∠ACB=90°，即∠CBD+∠BAC=90°，则可得∠CAE+∠BAC=90°，即可得出结论；（3）由（2）知∠DAE=90°，根据勾股定理得AD2+AE2=DE2，由旋转得∠DCE=90°，CD=CE，根据勾股定理得CD2+CE2=DE2，即可得出结论；（4）过B作BE⊥AC于E，先证明△AEB是等腰直角三角形，求得AE=BE=522，在直角△CEB中，由勾股定理求得CE=BC2−BE2=322，然后由AC=AE+CE求解即可．【详解】（1）证明：由CD绕着点C顺时针方向旋转90°得，CD=CE，∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=AB，∴△ACE≌△BCD．（2）证明：∵△ACE≌△BCD∴∠CBD=∠CAE，∵∠ACB=90°∴∠CBD+∠BAC=90°∴∠CAE+∠BAC=90°∴∠DAE=90°（3）解：由（2）知∠DAE=90°，∴AD2+AE2=DE2，由旋转得∠DCE=90°，CD=CE，∴CD2+CE2=DE2，即2CD2=DE2，∴AD2+AE2=2CD2∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∴AD2+BD2=2CD2；（4）解：过B作BE⊥AC于E，∵BD为⊙O直径，∴∠BCD=90°，∵BC=DC，∴∠BDC=45°，∴∠BAC=∠BDC=45°，∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠BEC=90°，∴∠ABE=∠BAE=45°，∴AE=BE，∵AB=5，∴AE=BE=522，∵BC=17，∴CE=BC2−BE2=172−5222=322，∴AC=AE+CE=522+322=42．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的确判定与性质，勾股定理，圆周角定理的推论，熟练掌握全等三角形的确判定与性质、勾股定理、圆周角定理的推论及灵活运用是解题的关键．25．（2023·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．【答案】（1）270°；（2）DB2＝DA2+DC2；（3）π3．【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可；（2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题；（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．想办法证明∠BEC=150°即可解决问题.【详解】（1）如图1中，在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠C＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°；（2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2，理由：连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ，∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，∵AB＝BC，DB＝BQ，∴△ABD≌△CBQ，∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴DQ2＝DC2+CQ2，∵CQ＝DA，DQ＝DB，∴DB2＝DA2+DC2；（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE，则△AER是等边三角形，∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB，∴RE2＝RB2+EB2，∴∠EBR＝90°，∴∠RAE+∠RBE＝150°，∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，∴∠BEC＝150°，∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，∵∠K+∠BEC＝180°，∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴点E的运动路径=60⋅π⋅1180=π3．【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．