人教版九年级数学上册重难考点专题02中心对称(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)

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专题02 中心对称 考点类型 知识串讲（一）中心对称的相关概念（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.（二）中心对称的性质（1）中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形.（2）找对称中心的方法和步骤：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.（三）平面直角坐标系——原点对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y) 考点训练考点1：中心对称及中心对称图形典例1：（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）小明想用图形1通过作图变换得到图形2，下列这些变化中不可行的是（　　）A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．中心对称变换【变式1】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）下面的垃圾分类标志是中心对称图形的是（    ）A．   B．   C．   D．  【变式2】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形（    ）A．   B．   C．   D．  【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论中不成立的是（    ）A．点A与点A'是对称点 B．BO=B'OC．AB∥A'B' D．∠ACB=∠C'A'B'考点2：确定对称中心典例2：（2023·全国·九年级假期作业）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ）A．点G B．点H C．点I D．点J【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【变式2】（2023春·江苏·八年级专题练习）图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（    ）A．P点 B．M点 C．N点 D．Q点【变式3】（2021秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　）A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定考点3：中心对称作图典例3：（2023·江苏·八年级假期作业）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ）A．① B．② C．③ D．④【变式1】（2022秋·北京大兴·九年级统考期中）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中四个涂黑的小正方形组成的图形是中心对称图形，选择的小正方形的序号是（    ）A．① B．② C．③ D．④【变式2】（2023春·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有阴影部分组成中心对称图形的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【变式3】（2022秋·北京·九年级北京一七一中校考期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（    ）A．B．C． D．考点4：关于原点对称的点的坐标典例4：（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）平面直角坐标系内一点P−2,3关于原点对称的点的坐标是(   )A．2,−3 B．2,3 C．−2,−3 D．3,−2【变式1】（2023春·上海闵行·七年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点M与点N3,4关于原点对称，那么点M的坐标为（    ）A．3,4 B．−3,−4 C．−3,4 D．3,−4【变式2】（2023·全国·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，有A(5，-3)，B0，4，C-4，0，D(-5，3)四点，其中关于原点对称的两点为（　　）A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A【变式3】（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，点A(−3,6)与点B(3,−6)关于（    ）A．原点中心对称 B．y轴轴对称C．x轴轴对称 D．以上都不对考点5：利用原点对称的性质求字母典例5：（2023春·河北邯郸·八年级校联考阶段练习）已知点A−2,b与点Ba,3关于原点对称，则a−b的值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【变式1】（2023春·湖南·八年级期末）若点P关于x轴的对称点为P12a+b,−a+1，关于y轴的对称点为P24−b,b+2，则P点的坐标为（    ）A．（9，3） B．（−3，−3） C．（9，−3） D．（−9，−3）【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）在直角坐标系中，已知点A2a，a−b+1，Bb，a+1关于原点对称，则a，b的值是（　　）A．a=12，b=1 B．a=−12，b=−1 C．a=12，b=−1 D．a=−12，b=1【变式3】（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）若点P2,n−1与点Qm+1,3关于原点对称，则m+n的值为（    ）A．−5 B．−1 C．1 D．5考点6：中心对称性质——求面积，长度，角度典例6：（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连接AB、CD，以下结论错误的是（    ）  A．OA=OB B．△AOD≌△COBC．AD=BC D．S△ACD=S△BCD【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ）A．点A与点A'是对称点 B．BO=B'O C．∠AOB=∠A'OB' D．∠ACB=∠C'A'B'【变式2】（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为22，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（    ）（A．2 B．2−1 C．5 D．5−1【变式3】（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）如图，抛物线y=ax2+2ax−3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（    ）A．12或32 B．13或32 C．13或33 D．12或33考点7：中心对称性质——规律问题典例7：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　）A．（4n﹣1，﹣3） B．（4n﹣1，3） C．（4n+1，﹣3） D．（4n+1，3）【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）A．Q3,240° B．Q3,−450° C．Q3,600° D．3,−120°【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ）A．图① B．图② C．图③ D．图④【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知点Ex0,y0，点Fx2,y2，点Mx1,y1是线段EF的中点，则x1=x0+x22，y1=y0+y22．在平面直角坐标系中有三个点A1,−1，B−1,−1，C0,1，点P0,2关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（    ）A．0,2 B．2,0 C．2,−4 D．−4,2 同步过关一、单选题1．（2022秋·江西宜春·九年级校考开学考试）若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　)A．12 B．﹣12 C．64 D．﹣642．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．3．（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点2,3关于原点对称的点的坐标是（　　）A．−2,3 B．2,−3 C．3,2 D．−2,−34．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）A． B． C． D．5．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．6．（2023·辽宁辽阳·统考模拟预测）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．7．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（    ）A．B． C． D．8．（2023·山东·统考中考真题）下列图形中，是中心对称图形的是（    ）A．  B．      C．   D．  9．（2022秋·九年级课时练习）已知点A（1，2）与点A'（a，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（    ）A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣210．（2023·山东菏泽·统考一模）在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(　　)A． B． C． D．11．（2023·河北石家庄·校联考一模）2023年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（　　）A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形C．它的外角和是360° D．它的每个内角都是140°12．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．13．（2023秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD>AB，E、F是AB边上的点，且EF=12AB；G、H是BC边上的点，且CH=13BC，若S1,S2分别表示△EOF和△COH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（    ）A．S1S2=23 B．S1S2=32 C．S1S2=21 D．S1S2=1214．（2023·云南·九年级统考学业考试）用围棋子在棋盘上摆图案，棋子均放在格点上．如图所示，右下角的白棋所在位置用有序实数对4,2表示．如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放位置正确的是（    ）A．黑3,3，白3,1 B．黑3,1，白3,3C．黑1,5，白5,5 D．黑3,2，白3,315．（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB,AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2，…，以此类推，则平行四边形AOnCn+1B的面积为（ ）cm2A．52n−2 B．52n−1 C．52n D．52n+1二、填空题16．（2022秋·北京·九年级校考期中）平面直角坐标系中，若点A3，−1，则点A关于原点中心对称的点的坐标是 ．17．（2023秋·九年级单元测试）已知点(3, m)与点(n, −2)关于坐标系原点对称，则mn= ．18．（2023秋·九年级单元测试）在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转180∘后能与自身重合的有 个．19．（2023·山东济宁·九年级校联考期中）已知点Ax,y−4与点B1−y,2x关于原点对称，则yx= .20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）点A5,−1关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为 ．21．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）在平面直角坐标系中，已知点Am,−3与点B4,n关于原点对称．则m+n2021= ．22．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）已知点Px,3和点Q4,y关于原点对称，则x2−4y等于 ．23．（2023·湖北孝感·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点P1处，接着跳到点P1关于y轴的对称点P2处，第三次再跳到点P2关于原点的对称点处，…，如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是 ．24．（2023春·八年级课时练习）如图， 在平面直角坐标系中， 若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是 ．25．（2023春·北京西城·七年级校考期中）如果点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点的坐标分别为A(−1,0),B(0,1),O(0,0)，点P1,P2,P3，…中相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与P6点关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…且这些对称中心依次循环，已知点P1的坐标是(−1,2)，则点P2的坐标为 ，点P2021的坐标为 ．三、解答题26．（2023春·江苏·八年级期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．（1）画出△A′B′C′，使之与△ABC关于原点成中心对称，此时B点的对应点B′的坐标是 ；（2）若以A′、B′、C′、D ′ 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第一象限中的D′坐标 ．27．（2023秋·广东佛山·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（　 　），B′（　 　），C′（　 　）（3）计算△ABC的面积． 28．（2022秋·辽宁营口·九年级校联考期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，0），C（﹣1，0）．（1）请画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，写出点A1，B1的坐标；（2）连接AB1，A1B，求四边形AB1A1B的面积．29．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，在正方形网格当中，三角形ABC的三个顶点都在格点上．直线MN与直线PQ相交于点O．（1）画出将三角形ABC向右平移5个单位长度后的三角形A1B1C1（点A,B,C的对应点分别是点A1,B1,C1）．（2）画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A2B2C2（点A,B,C的对应点分别是点A2,B2,C2）．（3）画出将三角形ABC绕着点O旋转180∘后的三角形A3B3C3（点A,B,C的对应点分别是点A3,B3,C3）．（4）在三角形A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3中，三角形 与三角形 成轴对称，三角形 与三角形 成中心对称30．（2022秋·九年级单元测试）一个小球在如图所示的方格上任意滚动，并随机停留在某个方格上，每个方格的大小完全相同．(1)小球停留在黑色区域的概率为_____________．(2)现要从其余白色小方格中任选出一个也涂成黑色，求涂完后图中的黑色方格部分构成轴对称图形的概率，并用数字①、②、③……在图中将符合要求的白色方格位置标出来．31．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为−5，1，−5，4，−1，4．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1；(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别是A2，B2，C2．32．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上．(1)将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A'B'C，请在图中画出△A'B'C；(2)将△ABC向上平移1个单位，再向右平移4个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″；(3)若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是___________．33．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为4,−1．(1)画出与△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1，点A1的坐标是________；(2)画出将△ABC绕着点A逆时针方向旋转90°得到的△AB2C2．34．（2022秋·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）点 C关于x轴的对称点C2的坐标为_____；（3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：_____．35．（2022秋·七年级单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A1,2，B3,1．(1)C点的坐标为________；(2)点A关于y轴对称的点的坐标为________；(3)和点B关于原点成中心对称的点的坐标为________；(4)将三角形ABC先向下平移4个单位，再向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1并写出C1的坐标________．专题02 中心对称 考点类型 知识串讲（一）中心对称的相关概念（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.（二）中心对称的性质（1）中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形.（2）找对称中心的方法和步骤：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.（三）平面直角坐标系——原点对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y) 考点训练考点1：中心对称及中心对称图形典例1：（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）小明想用图形1通过作图变换得到图形2，下列这些变化中不可行的是（　　）A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．中心对称变换【答案】B【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．【详解】解：图形1通过轴对称变换可以得到图形2，故选项A不合题意；图形1沿某一直线方向移动不能与图形2重合，故平移变换不可行，选项B符合题意；图形1将图形绕着中心点旋转180度的整数倍后均能与图形1重合，旋转变换和中心对称变换可以．选项CD不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．【变式1】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）下面的垃圾分类标志是中心对称图形的是（    ）A．   B．   C．   D．  【答案】D【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．【详解】解：A中图形不是中心对称图形，不符合题意；B中图形不是中心对称图形，不符合题意；C中图形不是中心对称图形，不符合题意；D中图形是中心对称图形，符合题意，故选：D【点睛】本题考查中心对称图形定义，掌握定义并找准对称中心是解题关键．【变式2】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形（    ）A．   B．   C．   D．  【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论中不成立的是（    ）A．点A与点A'是对称点 B．BO=B'OC．AB∥A'B' D．∠ACB=∠C'A'B'【答案】D【分析】根据成中心对称的性质判断A，B，D，再证明△ABO≌△A'B'O判断C即可．【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与A'是一组对称点，BO=B'O，AO=A'O，AB=A'B'，∴△ABO≌△A'B'O，∴∠ABO=∠A'B'O，∴AB∥A'B'.所以A，B，C正确；∴A，B，C都不合题意．∵∠ACB与∠C'A'B'不是对应角，∴∠ACB=∠C'A'B'不成立．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握成中心对称图形的性质．考点2：确定对称中心典例2：（2023·全国·九年级假期作业）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ）A．点G B．点H C．点I D．点J【答案】C【分析】如图，连接BE，CF，根据交点的位置可得答案．【详解】解：如图，连接BE，CF，根据交点的位置可得：对称中心为I，故选C【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【分析】找出两组对应点，然后连接每组对应点，则两组对应点连线的交点即为对称中心．【详解】解：如图所示：点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B，所以点B是对称中心．故选B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的对称中心的找法，找出其中的两组对应点，然后连线是解决此类问题的关键．【变式2】（2023春·江苏·八年级专题练习）图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（    ）A．P点 B．M点 C．N点 D．Q点【答案】A【分析】根据中心对称图形的概念即可分析判断.【详解】观察图形可知，图形中所有的点都关于P点中心对称，∴P点为对称中心，故选：A.【点睛】本题考查中心对称，掌握中心对称图形的概念，旋转180°后与原图重合，掌握图形所有点都关于对称中心对称，是解题的关键.【变式3】（2021秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　）A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定【答案】C【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可．【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键．考点3：中心对称作图典例3：（2023·江苏·八年级假期作业）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．【变式1】（2022秋·北京大兴·九年级统考期中）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中四个涂黑的小正方形组成的图形是中心对称图形，选择的小正方形的序号是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图形，据此判断即可．【详解】解：①的位置涂黑，整个图形是中心对称图形．故选：A．【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型．【变式2】（2023春·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有阴影部分组成中心对称图形的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．【详解】解：由图可得，应该将③涂成阴影，可与图中原有阴影部分组成中心对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【变式3】（2022秋·北京·九年级北京一七一中校考期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（    ）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断．【详解】解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；C、△ABC与△A'B'C'关于（-12，0）对称，所以C选项不符合题意；D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；【点睛】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．考点4：关于原点对称的点的坐标典例4：（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）平面直角坐标系内一点P−2,3关于原点对称的点的坐标是(   )A．2,−3 B．2,3 C．−2,−3 D．3,−2【答案】A【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，从而可得出答案．【详解】解：根据中心对称的性质，得点P(−2,3)关于原点对称点的坐标是(2,−3)，故选A．【点睛】本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【变式1】（2023春·上海闵行·七年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点M与点N3,4关于原点对称，那么点M的坐标为（    ）A．3,4 B．−3,−4 C．−3,4 D．3,−4【答案】B【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．【详解】解：∵点M与点N3,4关于原点对称，∴点M的坐标为−3,−4，故选：B．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．【变式2】（2023·全国·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，有A(5，-3)，B0，4，C-4，0，D(-5，3)四点，其中关于原点对称的两点为（　　）A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A【答案】D【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．【详解】解：A、点A(5，-3)与点B0，4关于原点不对称，故此选项不符合题意；B、点B0，4与点C-4，0关于原点不对称，故此选项不符合题意；C、点C-4，0与点D(-5，3)关于原点不对称，故此选项不符合题意；D、点A(5，-3)与点D(-5，3)关于原点对称，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点Px,y关于原点O的对称点是P'-x,-y．【变式3】（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，点A(−3,6)与点B(3,−6)关于（    ）A．原点中心对称 B．y轴轴对称C．x轴轴对称 D．以上都不对【答案】A【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断．【详解】解：∵点A(−3,6)与点B(3,−6)横坐标和纵坐标都互为相反数，∴A(−3,6)与点B(3,−6)关于原点中心对称，故选：A【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键．考点5：利用原点对称的性质求字母典例5：（2023春·河北邯郸·八年级校联考阶段练习）已知点A−2,b与点Ba,3关于原点对称，则a−b的值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据中心对称的性质求解．【详解】根据中心对称的性质，−2+a=0，b+3=0，解得a=2，b=−3∴a−b=2−(−3)=5故选：B．【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．【变式1】（2023春·湖南·八年级期末）若点P关于x轴的对称点为P12a+b,−a+1，关于y轴的对称点为P24−b,b+2，则P点的坐标为（    ）A．（9，3） B．（−3，−3） C．（9，−3） D．（−9，−3）【答案】D【分析】根据题意可知P1和P2关于原点对称，“横反纵反”，可以得到关于a和b的方程组，解出a和b，表示出P1或P2的坐标，可求得P点的坐标．【详解】∵点P关于x轴的对称点为P12a+b,−a+1，关于y轴的对称点为P24−b,b+2，∴P1和P2关于原点对称，∴可得2a+b+4−b=0−a+1+b+2=0，解得a=−2b=−5，∴P1−9,3，∵点P和P1关于x轴对称，∴P−9,−3，故选D．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点关于x轴、y轴、原点对称的点的特点，“关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同；关于原点对称，横反纵反”，还考查了二元一次方程组的解法，灵活掌握运用这些知识点是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）在直角坐标系中，已知点A2a，a−b+1，Bb，a+1关于原点对称，则a，b的值是（　　）A．a=12，b=1 B．a=−12，b=−1 C．a=12，b=−1 D．a=−12，b=1【答案】D【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的方程组，进而得出答案．【详解】解：∵点A2a，a−b+1，Bb，a+1关于原点对称，∴2a=−ba−b+1=−a−1，解得：a=−12b=1．故选：D．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．【变式3】（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）若点P2,n−1与点Qm+1,3关于原点对称，则m+n的值为（    ）A．−5 B．−1 C．1 D．5【答案】A【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：∵点P2,n−1与点Qm+1,3关于原点对称，∴m+1=−2，n−1=−3，∴m=−3，n=−2．∴m+n=−3−2=−5．故选：A．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点Px,y关于原点O的对称点是P'−x,−y．考点6：中心对称性质——求面积，长度，角度典例6：（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连接AB、CD，以下结论错误的是（    ）  A．OA=OB B．△AOD≌△COBC．AD=BC D．S△ACD=S△BCD【答案】A【分析】依据△AOD与△BOC关于点O成中心对称，即可得到△AOD≌△COB，进而得到正确结论．【详解】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，∴△AOD≌△COB，故选项B不符合题意；∴S△AOD=S△COB，AD=BC，故选项C不符合题意；∴S△AOD+S△OCD=S△COB+S△OCD，∴S△ACD=S△BCD，故选项D不符合题意；而OA和OB不是对应边，不一定相等，故选项A符合题意；故选：A．【点睛】本题考查中心对称，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．掌握中心对称的概念和性质是解题的关键．也考查了全等三角形的性质．【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ）A．点A与点A'是对称点 B．BO=B'O C．∠AOB=∠A'OB' D．∠ACB=∠C'A'B'【答案】D【分析】根据中心对称图形的性质，逐项进行判断即可．【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与A'是一组对称点，OB=OB'，∠AOB=∠A'OB'，故A，B，C都不合题意．∵∠ACB与∠C'A'B'不是对应角，∴∠ACB与∠C'A'B'不一定相等，∠ACB=∠C'A'B'不成立，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，熟练掌握成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等，是解题的关键．【变式2】（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为22，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（    ）（A．2 B．2−1 C．5 D．5−1【答案】D【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】解：设正方形的中心为O，连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．∵正方形ABCD的边长为22，AC是正方形的对角线，∴BD=2AB=4，∵直线EF经过正方形的中心O，∴OB=OD=2，∵M是OB中点，∴OM=BM=1，∵EF⊥BG，∴GM=12OB=1，∵Rt△BHM是等腰直角三角形，∴MH=BH=22，AH=322，由勾股定理可得MA=HM2+AH2=222+3222=5，∵AG≥AM-MG=5−1，当A，M，G三点共线时，AG最小=5−1，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．【变式3】（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）如图，抛物线y=ax2+2ax−3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（    ）A．12或32 B．13或32 C．13或33 D．12或33【答案】A【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′=16+64a2，CD=36+16a2，CD′=4+16a2，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+2ax−3a（a＞0）与x轴交于A，B，∴y=0,ax2+2ax−3a=0∵a＞0x2+2x−3=0解得x=−3,x=1∴点A（-3，0），点B（1，0），∵点B为中心对称，∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，∴点C（5，0），∴抛物线y=ax2+2x−3a=ax+12−4a，∴D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，∴D′（3，4a），DD′=3+12+4a+4a2=16+64a2，CD=5+12+0+4a2=36+16a2，CD′=5−32+0−4a2=4+16a2，∵△CDD′是直角三角形，当∠CD′D=90°，根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即4+16a2+16+64a2=36+16a2，解得a=±12，∵a＞0，∴a=12；当∠DCD′=90°，根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即4+16a2+36+16a2=16+64a2，解得a=±32，∴a=32，∴综合得a的值为12或32．故答案选：A．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．考点7：中心对称性质——规律问题典例7：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　）A．（4n﹣1，﹣3） B．（4n﹣1，3） C．（4n+1，﹣3） D．（4n+1，3）【答案】A【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2，点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为 (1,3)，B1的坐标为（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-3，∴点A2的坐标是(3,−3)，∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×4﹣3＝5，纵坐标是3，∴点A3的坐标是(5,3)，∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-3，∴点A4的坐标是(7,−3)，…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣3，∴顶点A2n的纵坐标是﹣3，∴顶点A2n的坐标是 (4n−1,−3)．故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）A．Q3,240° B．Q3,−450° C．Q3,600° D．3,−120°【答案】B【分析】根据中心对称的性质解答即可．【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ）A．图① B．图② C．图③ D．图④【答案】B【分析】探究规律后利用规律解决问题即可．【详解】观察图形可知每4次循环一次，2022÷4=505⋯2，∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，故选：B．【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题．【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知点Ex0,y0，点Fx2,y2，点Mx1,y1是线段EF的中点，则x1=x0+x22，y1=y0+y22．在平面直角坐标系中有三个点A1,−1，B−1,−1，C0,1，点P0,2关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（    ）A．0,2 B．2,0 C．2,−4 D．−4,2【答案】A【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．【详解】解：由题意，P12,−4，P2−4,2，P34,0，P4−2,−2，P50,0，P60,2，P72,−4， ……可得每6次为一个循环，∵2022÷6=337，∴点P2022的坐标是0,2，故选：A．【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 同步过关一、单选题1．（2022秋·江西宜春·九年级校考开学考试）若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　)A．12 B．﹣12 C．64 D．﹣64【答案】A【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值，进而得出答案．【详解】∵P(x,3)与点Q(4,y)关于原点对称，∴x=−4，y=−3，∴xy=12．故选A．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．2．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．正确掌握相关定义是解题关键．3．（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点2,3关于原点对称的点的坐标是（　　）A．−2,3 B．2,−3 C．3,2 D．−2,−3【答案】D【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：点2,3关于原点对称的点的坐标是−2,−3，故选：D．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．4．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不中心对称图形．故错误．故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】中心对称图形是指将图形绕某点旋转180°后，得到的图形与原图形完全重合，这样的图形即为中心对称图形，由此判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意；故选：D【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形的定义是解题关键．6．（2023·辽宁辽阳·统考模拟预测）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A选项：是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C选项：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D选项：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．7．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（    ）A．B． C． D．【答案】C【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．【详解】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，通过选项中的图形判断可得C选项中的图形为中心对称图形，故选：C．【点睛】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．8．（2023·山东·统考中考真题）下列图形中，是中心对称图形的是（    ）A．  B．      C．   D．  【答案】B【分析】在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；由此判断即可得出答案．【详解】选项A、C、D中的图形不是中心对称图形，故选项A、C、D不符合题意；选项B中的图形是中心对称图形，故B符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．9．（2022秋·九年级课时练习）已知点A（1，2）与点A'（a，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（    ）A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2【答案】D【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值．【详解】解：∵点A（1，2）与点A'（a，b）关于坐标原点对称，∴实数a、b的值是：a＝-1，b＝-2．故选：D．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．10．（2023·山东菏泽·统考一模）在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(　　)A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可判断出只有C选项符合要求．故选C．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．11．（2023·河北石家庄·校联考一模）2023年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（　　）A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形C．它的外角和是360° D．它的每个内角都是140°【答案】B【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断A、B的正误；根据正多边形的外角和为360°可判断C的正误；根据正n边形的内角为180°n−2n可判断D的正误．【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形∴A正确，B错误；由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°∴C正确；由正n边形的内角为180°n−2n，可得180°×9−29=140°∴D正确；故选B．【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角、外角与对称性．12．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键．13．（2023秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD>AB，E、F是AB边上的点，且EF=12AB；G、H是BC边上的点，且CH=13BC，若S1,S2分别表示△EOF和△COH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（    ）A．S1S2=23 B．S1S2=32 C．S1S2=21 D．S1S2=12【答案】B【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出S1SΔAOB=EFAB=12，S2SΔBOC=GHBC=13，再由点O是▱ABCD的对称中心， 根据平行四边形的性质可得SΔAOB=SΔBOC=14S▱ABCD，从而得出S1与S2之间的等量关系 ．【详解】解：∵ S1SΔAOB=EFAB=12，S2SΔBOC=GHBC=13，∴S1=12SΔAOB，S2=13SΔBOC．∵点O是▱ABCD的对称中心，∴SΔAOB=SΔBOC=14S▱ABCD，∴ S1S2=1213=32．即S1与S2之间的等量关系是S1S2=32．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称， 三角形的面积， 平行四边形的性质， 根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出S1SΔAOB=EFAB=12，S2SΔBOC=GHBC=13是解题的关键 ．14．（2023·云南·九年级统考学业考试）用围棋子在棋盘上摆图案，棋子均放在格点上．如图所示，右下角的白棋所在位置用有序实数对4,2表示．如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放位置正确的是（    ）A．黑3,3，白3,1 B．黑3,1，白3,3C．黑1,5，白5,5 D．黑3,2，白3,3【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别把四个选项代入分析，判断是否满足轴对称和中心对称即可得到答案．【详解】A．当摆放黑3,3，白3,1时，此时图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故A项错误；B. 当摆放黑3,1，白3,3时，此时图案是轴对称图形又是中心对称图形，故B项正确；C．当摆放黑1,5，白5,5时，此时图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故C项错误D．当摆放黑3,3，白3,1时，此时图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项错误故B为答案．【点睛】本题主要考车了平面直角坐标系的有关概念、图形的轴对称以及图形的中心对称（把一个图形绕着某一点转180°，如果旋转后的图形能够与原来图形重合，那么这个图形叫中心对称图形），熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．15．（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB,AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2，…，以此类推，则平行四边形AOnCn+1B的面积为（ ）cm2A．52n−2 B．52n−1 C．52n D．52n+1【答案】B【分析】矩形ABCD的面积=AB×AD=20,过点O作AB的垂线，垂足为E，平行四边形AOC1B的面积为AB×OE,根据矩形的性质，OE=12AD,即平行四边形AOC1B的面积=AB×12AD=12×20 ,过点O1作AB的垂线，垂足为F，根据平行四边形的性质，O1F=12OE=122AD,即平行四边形AO1C2B的面积=AB×122AD=122×20,以此类推即可求出答案．【详解】解：过点O作AB的垂线，垂足为E，过点O1作AB的垂线，垂足为F，如图所示：∵∠DAB=∠OEB, ∴OE∥DA,∵点O为矩形ABCD对角线的交点，∴OB=OD,∴OE=12AD,矩形ABCD面积=AB×AD=20，平行四边形AOC1B面积=AB×12×AD=12×20,同理，根据平行四边形的性质，O1F=12OE=122AD,平行四边形AO1C2B面积=AB×122×AD=122×20,依此类推：平行四边形AOnCn+1B 的面积=AB×12n+1×AD=12n+1×20=52n−1,故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，规律型-图形的变化，根据矩形和平行四边形的性质，找到前两个图形的规律，据此类推即可，掌握规律是解题的关键．二、填空题16．（2022秋·北京·九年级校考期中）平面直角坐标系中，若点A3，−1，则点A关于原点中心对称的点的坐标是 ．【答案】−3，1【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标均互为相反数解答即可．【详解】点A关于原点中心对称的点的坐标是−3，1．故答案为：−3，1．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标．掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标均互为相反数是解题关键．17．（2023秋·九年级单元测试）已知点(3, m)与点(n, −2)关于坐标系原点对称，则mn= ．【答案】−6【分析】根据关于坐标系原点对称的点的特征求出m、n.【详解】解：∵点(3, m)与点(n, −2)关于坐标系原点对称∴m=2,n=-3∴mn=-6.故答案为:-6.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征.18．（2023秋·九年级单元测试）在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转180∘后能与自身重合的有 个．【答案】4【分析】根据中心对称图形的概念对各小题分析判断即可得解．【详解】①正方形是中心对称图形；②长方形是中心对称图形；③等边三角形不是中心对称图形；④线段是中心对称图形；⑤锐角，不是中心对称图形；⑥平行四边形是中心对称图形；所以，①②④⑥共4个．故答案为4．【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的概念.19．（2023·山东济宁·九年级校联考期中）已知点Ax,y−4与点B1−y,2x关于原点对称，则yx= .【答案】2【详解】关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于原点的对称点是（-x，-y），所以得，X=y-1,y-4=-2x解得：x=1,y=2则y=21=220．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）点A5,−1关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为 ．【答案】−5,1【分析】根据关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可得解．【详解】解：A5,−1关于原点的对称点的坐标为−5,1；故答案为：−5,1．【点睛】本题考查求关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键．21．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）在平面直角坐标系中，已知点Am,−3与点B4,n关于原点对称．则m+n2021= ．【答案】−1【分析】利用直角坐标系中两点关于原点对称的性质，可知A和B的坐标，继而知道m和n的值，代入式中即可得到答案．【详解】因为点Am,−3与点B4,n关于原点对称，∴A−4,−3，B4,3所以m=−4，n=3，所以m+n2021 =−4+32021=−1.故答案为：-1.【点睛】本题考查坐标系中关于原点对称的两个点的性质，正确解出m,n的值是解题的关键．22．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）已知点Px,3和点Q4,y关于原点对称，则x2−4y等于 ．【答案】28【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点是P'(−x，−y)，进而可得出答案．【详解】解：∵点 Px,3和点Q4,y关于原点对称，∴x=−4，y=−3，则 x2−4y=(−4)2−4×(−3)=28．【点睛】此题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键．23．（2023·湖北孝感·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点P1处，接着跳到点P1关于y轴的对称点P2处，第三次再跳到点P2关于原点的对称点处，…，如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是 ．【答案】3，−2【分析】根据关于坐标轴以及原点对称的点的坐标的关系，以及循环的规律就可以得到棋子落点处的坐标．【详解】解：首先发现点P的坐标是−3，2，第一次跳到点P关于x轴的对称点P1处是−3，−2，接着跳到点P1关于y轴的对称点P2处是3，−2，第三次再跳到点P2关于原点的对称点处是−3，2…，发现3次一循环．又2009÷3=669⋯2，当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是3，−2．故答案为：3，−2．【点睛】此类题应首先找到循环的规律，然后进行计算．熟悉：两个点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点若关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点若关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．24．（2023春·八年级课时练习）如图， 在平面直角坐标系中， 若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是 ．【答案】3，−1【分析】连接△ABC与△A1B1C1的对应点，其对应点连线的交点，即为对称中心E点，进而得出坐标．【详解】解：如图，连接AA1，CC1，两连线的交点，即为对称中心E点，∴对称中心E点的坐标是3，−1．故答案为：3，−1【点睛】本题考查了坐标与图形、中心对称图形的定义，解本题的关键在正确找出对称中心．25．（2023春·北京西城·七年级校考期中）如果点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点的坐标分别为A(−1,0),B(0,1),O(0,0)，点P1,P2,P3，…中相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与P6点关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…且这些对称中心依次循环，已知点P1的坐标是(−1,2)，则点P2的坐标为 ，点P2021的坐标为 ．【答案】 （-1，-2） （-1，4）【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：由题意，P1（-1，2），P2（-1，-2），P3（1，4），P4（-1，-4），P5（-1，4），P6（1，-2），P7（-1，2），P8（-1，-2），P9（1，4），P10（-1，-4），P11（-1，2），P12（1，-2）••••••由此可知，6次一个循环，∵2023÷6=371......5，∴P2023的坐标与P5相同，（-1，4）．故答案为：（-1，-2），（-1，4）．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题26．（2023春·江苏·八年级期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．（1）画出△A′B′C′，使之与△ABC关于原点成中心对称，此时B点的对应点B′的坐标是 ；（2）若以A′、B′、C′、D ′ 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第一象限中的D′坐标 ．【答案】（1）作图见解析， B′的坐标是（2，﹣3），（2）D′的坐标是（4，3）.【分析】(1)根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；(2)根据平行四边形的对边平行且相等解答．【详解】(1)如图所示，△A′B′C′即为所求，B(﹣2，3)点的对应点B′的坐标是(2，﹣3)；(2)∵四边形A′B′C′D ′为平行四边形，∴第一象限D′的坐标(4，3)．故答案为：(4，3)．【点睛】本题考查了作中心对称图形，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．27．（2023秋·广东佛山·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（　 　），B′（　 　），C′（　 　）（3）计算△ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；（3）7.5【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；（3）利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解．【详解】解：（1）如图所示 （2）A′（　1，5　），B′（　1，0　），C′（　4，3　） （3）∵A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3），∴AB＝5，AB边上的高为3，∴S△ABC＝12×5×3=7.5．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟悉网格结构并找出对应点的位置是解题的关键．28．（2022秋·辽宁营口·九年级校联考期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，0），C（﹣1，0）．（1）请画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，写出点A1，B1的坐标；（2）连接AB1，A1B，求四边形AB1A1B的面积．【答案】（1）见解析，（-3，-2），（-5，0）；（2）16【分析】（1）根据中心对称的性质画出点A，B的对应点A1，B1，顺次连接即可；根据点的位置写出坐标；（2）求出三角形AB1B和三角形B1BA1的面积，相加即可．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求作三角形；根据点的位置可知，点A1，B1的坐标分别是（-3，-2），（-5，0）；（2）三角形AB1B的面积为12×(3+5)×2=8；三角形B1BA1的面积12×(3+5)×2=8，四边形AB1A1B的面积为三角形AB1B和三角形B1BA1的面积的和，即8+8=16．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中画中心对称，解题关键是明确中心对称图形的画法，熟练运用点的坐标求解．29．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，在正方形网格当中，三角形ABC的三个顶点都在格点上．直线MN与直线PQ相交于点O．（1）画出将三角形ABC向右平移5个单位长度后的三角形A1B1C1（点A,B,C的对应点分别是点A1,B1,C1）．（2）画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A2B2C2（点A,B,C的对应点分别是点A2,B2,C2）．（3）画出将三角形ABC绕着点O旋转180∘后的三角形A3B3C3（点A,B,C的对应点分别是点A3,B3,C3）．（4）在三角形A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3中，三角形 与三角形 成轴对称，三角形 与三角形 成中心对称【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）A2B2C2，A3B3C3，A1B1C1，A3B3C3.【分析】（1）将A、B、C分别向右平移5个单位，再顺次连接即可；（2）分别找到A、B、C关于直线MN的对称点，再顺次连接；（3）分别找到A、B、C关于O点的对称点，再顺次连接；（4）观察图形，由轴对称和中心对称的定义进行判断.【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示，△A3B3C3即为所求；（4）由图形可知， △A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，△A1B1C1与△A3B3C3成中心对称，故答案为：A2B2C2，A3B3C3，A1B1C1，A3B3C3.【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握轴对称与中心对称的定义是关键.30．（2022秋·九年级单元测试）一个小球在如图所示的方格上任意滚动，并随机停留在某个方格上，每个方格的大小完全相同．(1)小球停留在黑色区域的概率为_____________．(2)现要从其余白色小方格中任选出一个也涂成黑色，求涂完后图中的黑色方格部分构成轴对称图形的概率，并用数字①、②、③……在图中将符合要求的白色方格位置标出来．【答案】(1)316(2)413；图见解析【分析】（1）根据概率定义即可解决问题；（2）根据轴对称的性质即可解决问题．（1）解：∵16个方格中有黑色方格3个，∴小球停留在黑色区域的概率为316．故答案为：316．（2）解：符合要求的白色方格位置如图所示：∴与黑色方格部分构成轴对称图形的概率为416−3=413．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，几何概率，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．31．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为−5，1，−5，4，−1，4．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1；(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别是A2，B2，C2．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；（2）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于原点的对称点，再顺次连接可得．【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：如图，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换、中心对称等，解题的关键是熟练掌握轴对称变换、中心对称的定义和性质．32．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上．(1)将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A'B'C，请在图中画出△A'B'C；(2)将△ABC向上平移1个单位，再向右平移4个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″；(3)若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是___________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4,−1【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点的位置即可画出图形；（2）根据平移的性质得出对应点的位置即可画出图形；（3）利用关于原点对称的点的坐标特征得出对应点的坐标．【详解】（1）解：如图，△A'B'C即为所求作；（2）解：如图，△A″B″C″即为所求作；（3）解：∵将△ABC绕原点O旋转180°，A与其对应点A1关于原点对称，A−4,1∴A的对应点A1为4,−1，故答案为：4,−1．【点睛】本题考查旋转变换、平移变换，根据题意得出对应点的位置是解答的关键．33．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为4,−1．(1)画出与△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1，点A1的坐标是________；(2)画出将△ABC绕着点A逆时针方向旋转90°得到的△AB2C2．【答案】(1)图见解析；−1,4(2)图见解析【分析】（1）分别找到点A、点B、点C关于原点对称的点A1、点B1、点C1，顺次连接即可，根据坐标系写出点A1的坐标；（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2、C2即可．【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标是−1,4；（2）解：如图所示，△AB2C2即为所求．【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．34．（2022秋·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）点 C关于x轴的对称点C2的坐标为_____；（3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：_____．【答案】 （4，﹣2）； 6【详解】分析：（1）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案；（2）知己利用关于x轴对称点的性质进而得出答案；（3）直接利用平移的性质得出答案.详解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点C2的坐标为：(4，﹣2)．    故答案为（4，﹣2）；（3）答案不唯一．如：6．点睛：此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键.35．（2022秋·七年级单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A1,2，B3,1．(1)C点的坐标为________；(2)点A关于y轴对称的点的坐标为________；(3)和点B关于原点成中心对称的点的坐标为________；(4)将三角形ABC先向下平移4个单位，再向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1并写出C1的坐标________．【答案】(1)3,4(2)−1,2(3)−3,−1(4)图见解析，C10,0【分析】（1）根据坐标系中点的位置进行求解即可；（2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可；（3）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可；（4）根据平移方式先确定A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1，进而求出C1的坐标即可．【详解】（1）解：由题意得，C点的坐标为3,4，故答案为：3,4；（2）解：∵A1,2，∴点A关于y轴对称的点的坐标为−1,2，故答案为；−1,2；（3）解：∵B3,1，∴和点B关于原点成中心对称的点的坐标为−3,−1，故答案为：−3,−1；（4）解：如图所示，三角形A1B1C1即为所求；∵将三角形ABC先向下平移4个单位，再向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，C点的坐标为3,4，∴C1的坐标为0,0．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，轴对称，中心对称，画平移图形，灵活运用所学知识是解题的关键．