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数学人教版(2024)22.1.1 二次函数课时训练
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这是一份数学人教版(2024)22.1.1 二次函数课时训练,共44页。试卷主要包含了学习目标,学习过程等内容,欢迎下载使用。
1 掌握二次函数的概念,并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。
2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
3 能够利用二次函数解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
重点:
1 掌握二次函数的图象特征及其性质。
2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
难点:
1 理解二次函数与一元二次方程的关系。
2 利用二次函数解决实际问题。
二、学习过程
章节介绍
二次函数是初中阶段函数中的重要函数,它在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。掌握二次函数图象和性质是学习二次函数的基础,根据二次函数图象判断抛物线抛的开口方向,顶点坐标,对称轴,与坐标轴交点坐标、确定二次函数的解析式为必须掌握内容,理解二次函数与各系数之间的关系,灵活运用二次函数解决实际问题。二次函数是体现综合性的重点内容,在期中期末试卷中既有相对稳定的基础题,也有新颖的试题来考查学生的分析,解决问题能力,实践和创新能力,因此经常与一次函数,三角形,四边形知识结合在一起,成为试卷的压轴题。
知识梳理
1.二次函数的概念:一般地,形如____________________(其中___________是常数,a__________0)的函数叫做二次函数。其中,_____________是自变量,a、b、c分别是函数解析式的__________、_____________和____________。
2.二次函数的特殊形式:
1)当___________________时, y=ax2+c(a≠0)
2)当___________________时, y=ax2+bx (a≠0)
3)当___________________时, y=ax2 (a≠0)
3.根据实际问题列二次函数关系式的方法:
一般方法:1)先找出题目中有关两个变量之间的____________;
2)然后用题设的__________________表示这个等量关系;
3)列出相应二次函数的关系式。
4.二次函数y=ax²的图象特征和性质
5. 二次函数y=ax²+k的图象特征和性质
6. 二次函数y=a(x-h) 2的图象特征和性质
7. 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征和性质
8. 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征和性质
9.求二次函数解析式的一般方法:
1)一般式y=ax2+bx+c.代入____________的坐标列出关于____________的方程组,并求出a, b, c,就可以写出二次函数的解析式.
2)顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点____________,可设顶点式y=____________,再将____________代入,即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
3)交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与____________的两个交点为____________时,可设y=____________,再将另一点的坐标代入即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系:
1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
①当a____________0时,抛物线开口向____________,a的值越____________,开口越____________;
②当a____________0时,抛物线开口向____________,a的值越____________,开口越____________;
【总结】a的____________决定开口方向,a的____________决定开口的大小(|a|越____________,抛物线的开口____________).
2)在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置。
即对称轴x= - b2a 在y轴____________则____________>0,在y轴的____________则____________0)的图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
2.如图,二次函数的图象与轴的一个交点为,另一个交点为,且与轴交于点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)该二次函数图象上是否存在点,使与的面积相等?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
3.已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0.
(1)设方程的两根分别是x1,x2,若满足x1+x2=x1•x2,求m的值.
(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示,求m的值.
4.已知:一次函数,二次函数为(b,c为常数).
(1)如图,两函数图象交于点.求二次函数的表达式,并写出当时x的取值范围.
(2)请写出一组b,c的值,使两函数图象只有一个公共点,并说明理由.
查题型八 二次函数与实际问题
1.某商场新进一批拼装玩具,进价为每个10元,在销售过程中发现.,日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)若该玩具某天的销售利润是600元,则当天玩具的销售单价是多少元?
(3)设该玩具日销售利润为w元,当玩具的销售单价定为多少元时,日销售利润最大?最大利润是多少元?
2.某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数解析式;
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.
3.根据以下素材,探索完成任务.
4.如图,隧道的截面由抛物线和矩形构成,矩形的长为,宽为,以所在的直线为轴,线段的中垂线为轴,建立平面直角坐标系.轴是抛物线的对称轴,最高点到地面距离为4米.
(1)求出抛物线的解析式.
(2)在距离地面米高处,隧道的宽度是多少?
(3)如果该隧道内设单行道(只能朝一个方向行驶),现有一辆货运卡车高3.6米,宽2.4米,这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.
5.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为x轴,点O为原点建立直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的点C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为.
(1)求雕塑高OA.
(2)求落水点C,D之间的距离.
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,,.问:顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明.
第二十二章 二次函数(知识清单)
一、学习目标
1)掌握二次函数的概念,并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。
2)掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
3)能够利用二次函数解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
重点:
1)掌握二次函数的图象特征及其性质。
2) 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
难点:
1) 理解二次函数与一元二次方程的关系。
2) 利用二次函数解决实际问题。
二、学习过程
章节介绍
二次函数是初中阶段函数中的重要函数,它在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。掌握二次函数图象和性质是学习二次函数的基础,根据二次函数图象判断抛物线抛的开口方向,顶点坐标,对称轴,与坐标轴交点坐标、确定二次函数的解析式为必须掌握内容,理解二次函数与各系数之间的关系,灵活运用二次函数解决实际问题。二次函数是体现综合性的重点内容,在期中期末试卷中即有相对稳定的基础题,也有新颖的试题来考查学生的分析,解决问题能力,实践和创新能力,因此经常与一次函数,三角形,四边形知识结合在一起,成为试卷的压轴题。
知识梳理
1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax²+ bx +c (其中a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。其中,x是自变量,a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 二次函数的特殊形式:
1)当b=0时, y=ax2+c(a≠0)
2)当c=0时, y=ax2+bx (a≠0)
3)当b=0,c=0时, y=ax2 (a≠0)
3.根据实际问题列二次函数关系式的方法:
一般方法:1)先找出题目中有关两个变量之间的等量关系;
2)然后用题设的变量或数值表示这个等量关系;
3)列出相应二次函数的关系式。
4.二次函数y=ax²的图象特征和性质
5. 二次函数y=ax²+k的图象特征和性质
6. 二次函数y=a(x-h) 2的图象特征和性质
7. 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征和性质
8. 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征和性质
9.求二次函数解析式的一般方法:
1)一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组,并求出a, b, c,就可以写出二次函数的解析式.
2)顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点(h,k),可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入,即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
3)交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时,可设y=a(x-x1)(x-x2),再将另一点的坐标代入即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系:
1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
1)当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小
2)当a0,在y轴的右侧则ab 0时,抛物线与y轴的交点在y轴正半轴;
2)当c = 0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点;
3)当c < 0时,抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。
【小结】c决定了抛物线与y轴交点的位置.
11.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系:
12.利用二次函数解决实际问题的步骤:
1.分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的函数解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
13.利用二次函数解决面积最值的方法:
①找好自变量;
②利用相关的图象面积公式,列出函数关系式;
③利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
14.用二次函数解决实际问题的一般步骤:
1.审:仔细审题,理清题意;
2.设:找出题中的变量和常量,分析它们之间的关系,与图形相关的问题要结合图形具体分析,设出适当的未知数;
3.列:用二次函数表示出变量和常量之间的关系,建立二次函数模型,写出二次函数的解析式;
4.解:依据已知条件,借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题;
5.检:检验结果,进行合理取舍,得出符合实际意义的结论.
15.利用二次函数解决销售利润最值的方法:
巧设未知数,根据利润公式列出函数关系式,再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
16.利用二次函数解决拱桥问题的方法:
1)建立适当的平面直角坐标系。
2)根据题意找出已知点的坐标。
3)求出抛物线解析式。
4)直接利用图象解决实际问题。
考点解读
考查题型一 根据二次函数的定义求参数
1.一个二次函数.
(1)求k的值.
(2)求当x=3时,y的值?
【详解】解:(1)依题意有,
解得:k=2,
∴k的值为2;
(2)把k=2代入函数解析式中得:,
当x=3时,y=14,
∴y的值为14.
2.已知函数.
(1)若这个函数是一次函数,求的值
(2)若这个函数是二次函数,求的取值范围.
【详解】解:(1)由题意得,解得;
(2)由题意得,,解得且.
3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+2-2m.
(1)若这个函数是二次函数,求m的取值范围.
(2)若这个函数是一次函数,求m的值.
(3)这个函数可能是正比例函数吗?为什么?
【详解】
(1)∵这个函数是二次函数,
∴m2-m≠0,∴m(m-1)≠0,
∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数,
∴∴m=0.
(3)不可能.∵当m=0时,y=-x+2,
∴不可能是正比例函数.
考查题型二 二次函数y=ax²的图象和性质
1.已知二次函数的图象经过点.求:
(1)该函数解析式及对称轴;
(2)试判断点是否在此函数的图象上.
【详解】(1)解:∵二次函数的图象经过点,
∴,
∴,
∴二次函数解析式为,
∴二次函数对称轴为y轴;
(2)解:在中,当时,,
∴点不在此函数的图象上.
2.已知是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值;
(2)k为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.当x为何值时,y的值随x值的增大而增大?
(3)k为何值时,函数有最大值?最大值是多少?当x为何值时,y的值随x值的增大而减小?
【详解】(1) 根据二次函数的定义得 解得k=±2.
∴当k=±2时,原函数是二次函数.
(2) 根据抛物线有最低点,可得抛物线的开口向上,
∴k+1>0,即k>-1,根据第(1)问得:k=2.
∴该抛物线的解析式为,∴抛物线的顶点为(0,0),当x>0时,y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数有最大值,可得抛物线的开口向下,
∴k+1<0,即k<-1,根据第(1)问得:k=-2.
∴该抛物线的解析式为,顶点坐标为(0,0),
∴当k=-2时,函数有最大值为0. 当x>0时,y随x的增大而减小.
3.如图,在正方形中,已知:点A,点B在抛物线上,点C,点D在x轴上.
(1)求点A的坐标;
(2)连接交抛物线于点P,求点P的坐标.
【详解】(1)解:由题意可设,则,
∵点A在抛物线上,
∴,
∴或(舍去),
∴;
(2)解:设直线的解析式,
∵,,
∴,解得,
∴直线为,
由解得或,
∴P点的坐标为.
考查题型三 二次函数y=ax²+k的图象和性质
1.在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象.
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标;
(2)抛物线y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?
【详解】
解:如图所示:
(1)抛物线y=x2开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标(0,0);
抛物线y=x2-1开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标(0,-1).
(2)抛物线y=x2-1可由抛物线y=x2向下平移1个单位长度得到.
2.已知二次函数.
求函数图象的对称轴和顶点坐标;
求这个函数图象与轴的交点坐标.
【详解】
(1)y=-(x2-4x)=-(x-2)2+4,
对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4)
(2)当y=0时,-x2+4x=0,解得x=0或4,
∴图象与x轴的交点坐标是(0,0)和(4,0).
3.已知二次函数y=ax2与y=﹣2x2+c.
(1)随着系数a和c的变化,分别说出这两个二次函数图象的变与不变;
(2)若这两个函数图象的形状相同,则a= ;若抛物线y=ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y=﹣2x2+c的图象完全重合,则c= ;
(3)二次函数y=﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表:
表中m、n、p的大小关系为 (用“<”连接).
【详解】解:(1)二次函数y=ax2的图象随着a的变化,开口大小和开口方向都会变化,但是对称轴、顶点坐标不会改变;二次函数y=﹣2x2+c的图象随着c的变化,开口大小和开口方向都没有改变,对称轴也没有改变,但是,顶点坐标会发生改变;
(2)∵函数y=ax2与函数y=﹣2x2+c的形状相同,
∴a=±2,
∵抛物线y=ax2沿y轴向下平移2个单位得到y=ax2﹣2,与y=﹣2x2+c的图象完全重合,
∴c=﹣2,
故答案为:±2,﹣2.
(3)由函数y=﹣2x2+c可知,抛物线开口向下,对称轴为y轴,
∵1﹣0<0﹣(﹣2)<5﹣0,
∴p<m<n,
故答案为:p<m<n.
考查题型四 二次函数y=a(x-h) 2的图象和性质
1.抛物线y=3(x-2)2与x轴交于点A,与y轴交于点B,求△AOB的面积和周长.
【详解】∵抛物线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
令,,
解得:,
令,,
,,
,,
由勾股定理得:
,
.
的面积为12,周长为.
2.已知函数,和.
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向,对称轴、顶点坐标;
(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由函数的图象得到函数和函数的图象;
(4)分别说出各个函数的性质.
【详解】(1)解:如图所示:
(2)解:开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为,
开口向上,对称轴为,顶点坐标为,
开口向上,对称轴为,顶点坐标为;
(3)解:由抛物线向左平移1个单位,由抛物线向右平移1个单位;
(4)解:当时y随着x的增大而减小,当时y随着x的增大而增大,
当时y随着x的增大而减小,当时y随着x的增大而增大,
当时y随着x的增大而减小,当时y随着x的增大而增大.
3.已知平面直角坐标系中,抛物线与直线,其中.
若抛物线的对称轴为,
①m的值为_ ﹔
②当时,有 (填“”,“”或“”) .
当时,若抛物线与直线有且只有一个公共点,请求出的取值范围.
【详解】解:(1)①由,
则对称轴,
,
②把分别代入与得,
,,
;
(2)联立、的解析式可得,,
整理得,,
则△,
,
,
即就是没有直线与抛物线相切的情况.
当时,代入方程,
得,
(负值舍去),
,
当时,代入方程,
得,
,
又,
的取值为:.
考查题型五 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
1.已知二次函数y=(x-m)2-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如下图,当m=2时,该抛物线与轴交于点C,顶点为D,求C、D 两点的坐标;
【详解】解:(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),
∴代入二次函数y=(x-m)2-1得m2-1=0,得m=±1,
所以二次函数的解析式为y=x2+2x或y=x2-2x;
(2)当m=2时,y=(x-2)2-1,
∴D(2,-1),
又当x=0时,y=3,
∴C(0,3)
2.已知函数.
(1)写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(2)求出图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐标;
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
(4)当x取何值时,函数有最大值(或最小值)?并求出最大(或小)值?
【详解】解:(1)由函数,
∵,,,
∴抛物线的开口向上,对称轴是直线,顶点坐标是(-1,-8).
(2)令,即,
解得,.
∴图象与x轴交于(1,0),(-3,0).
令,即,
∴图象与y轴交于(0,-6).
(3)由二次函数的性质,得:当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小.
(4)由顶点坐标,得:当时,y有最小值,最小值是-8.
3.已知抛物线C:y=(x﹣m)2+m+1.
(1)若抛物线C的顶点在第二象限,求m的取值范围;
(2)若m=﹣2,求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积.
【详解】解:(1)∵抛物线的解析式为,
∴抛物线的顶点坐标为(,),
∵抛物线的顶点坐标在第二象限,
∴,
∴;
(2)当时,抛物线解析式为,
令,即,
解得或,
令,,
∴如图所示,A(-3,0),B(-1,0),D(0,3),
∴OD=3,AB=2,
∴,
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3.
考查题型六 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,直线方程为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为抛物线上一点,若,请直接写出点的坐标;
(3)点是抛物线上一点,若,求点的坐标.
详解】(1)解:对于直线BC解析式y=x-3,
令x=0时,y=-3,
则C(0,-3),
令y=0时,x=3,
则B(3,0),
把B(3,0),C(0,-3),分别代入,得
,解得:,
∴求抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3;
(2)解:对于抛物线y=-x2+4x-3,
令y=0,则-x2+4x-3=0,解得:x1=1,x2=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴OA=1,OB=3,AB=2,
过点A作AN⊥BC于N,过点P作PM⊥BC于M,如图,
∵A(1,0),B(3,0),C(0,-3),
∴OB=OC=3,AB=2,
∴∠ABC=∠OCB=45°,
∴AN=,
∵,
∴PM=,
过点P作PEBC,交y轴于E,过点E作EF⊥BC于F,
则EF= PM=,
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位,与抛物线的交点,如图P1,P2,P3,P4,
∵B(3,0),C(0,-3),
∴直线BC解析式为:y=x-3,
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,
联立直线与抛物线解析式,得
或,
解得:,,,,
∴P点的坐标为(,)或(,)或(,)或(,).
(3)解:如图,点Q在抛物线上,且∠ACQ=45°,过点Q作AD⊥CQ于D,过点D作DF⊥x轴于F,过点C作CE⊥DF于E,
∵∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠CAD=45°,
∴CD=AD,
∵∠E=∠AFD=90°,
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE,
∴△CDE≌△DAD(AAS),
∴DE=AF,CE=DF,
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°,
∴四边形OCEF是矩形,
∴OF=CE,EF=OC=3,
设DE=AF=n,
∵OA=1,
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n,
∴n+1=3-n
解得:n=1,
∴DE=AF=1,
∴CE=DF=OF=2,
∴D(2,-2),
设直线CQ解析式为y=px-3,
把D(2,-2)代入,得p=,
∴直线CQ解析式为y=x-3,
联立直线与抛物线解析式,得
解得:,(不符合题意,舍去),
∴点Q坐标为(,).
2.如图,抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求点A,点B和点C的坐标;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求PB+PC的值最小时的点P的坐标.
【详解】解:(1)由 y=0,得 x2+x-2=0 解得 x=-2,x=1,
∴A(-2,0),B(1,0),
由 x=0,得 y=-2,
∴C(0,-2).
(2)连接AC与对称轴的交点即为点P.
设直线 AC 为 y=kx+b,
则﹣2k+b=0,b=﹣2:
得 k=﹣1,
y=﹣x﹣2.
对称轴为 x=,
当 x=时,
y=-2=,
∴P(,).
3.在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求二次函数图象的对称轴.
【详解】解:(1)∵二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点(1,-2),
∴-2=1-2m+5m,
解得;
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5.
(2)二次函数图象的对称轴为直线;
故二次函数的对称轴为:直线;
考查题型七 二次函数与一元二次方程
1.已知二次函数y=x2+mx+m2−3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
【详解】(1)解:∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2,4) ,
∴4=4+2m+m2−3,
即m2+2m−3=0,
解得:m1=1,m2=−3,
又∵m>0,
∴m=1;
(2)解:由(1)知二次函数y=x2+x−2,
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0,
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点.
2.如图,二次函数的图象与轴的一个交点为,另一个交点为,且与轴交于点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)该二次函数图象上是否存在点,使与的面积相等?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解】(1)解:∵二次函数的图象与轴的一个交点为,
∴,
解得,
即,
;
(2)存在,或或,
理由如下,
由,令,
即,
解得,
,
;
(3)设,边上的高为,
与的面积相等,
,
是上的点,
则,
或,
解得或.,
或或.
3.已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0.
(1)设方程的两根分别是x1,x2,若满足x1+x2=x1•x2,求m的值.
(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示,求m的值.
【详解】(1)解:由题意得:x1+x2=-1,x1•x2=-m,
∴-1=-m.
∴m=1.
当m=1时,x2+x-1=0,
此时Δ=1+4m=1+4=5>0,符合题意.
∴m=1;
(2)解:图象可知:过点(1,0),
当x=1,y=0,代入y=x2+x-m,得
12+1-m=0.
∴m=2.
4.已知:一次函数,二次函数为(b,c为常数).
(1)如图,两函数图象交于点.求二次函数的表达式,并写出当时x的取值范围.
(2)请写出一组b,c的值,使两函数图象只有一个公共点,并说明理由.
【详解】(1)将(3,m)代入得m=6-2=4,
将(n,-6)代入得-6=2n-2,
解得n=-2,
∴抛物线经过点(3,4),(-2,-6),
将(3,4),(-2,-6)代入得
,
解得,
∴,
由图象可得-2<x<3时,抛物线在直线上方,
∴时x的取值范围是-2<x<3.
(2)令,整理得,
当时,两函数图象只有一个公共点,
∴b=2,c=-2,满足题意.
考查题型八 二次函数与实际问题
1.某商场新进一批拼装玩具,进价为每个10元,在销售过程中发现.,日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)若该玩具某天的销售利润是600元,则当天玩具的销售单价是多少元?
(3)设该玩具日销售利润为w元,当玩具的销售单价定为多少元时,日销售利润最大?最大利润是多少元?
【详解】(1)解:由图可知,设一次函数的解析式为,
把点(25,50)和点(35,30)代入,得
,解得,
∴一次函数的解析式为;
(2)解:根据题意,设当天玩具的销售单价是元,则
,
解得:,,
∴当天玩具的销售单价是40元或20元;
(3)解:根据题意,则
,
整理得:;
∵,
∴当时,有最大值,最大值为800;
∴当玩具的销售单价定为30元时,日销售利润最大;最大利润是800元.
2.某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数解析式;
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.
【详解】(1)解:设,把,和,代入可得
,
解得,
则;
(2)解:每月获得利润
.
∵,
∴当时,P有最大值,最大值为3630.
答:当价格为21元时,才能使每月获得最大利润,最大利润为3630元.
3.根据以下素材,探索完成任务.
【详解】任务一:以拱顶为原点,建立如图1所示的直角坐标系,
则顶点为,且经过点.
设该抛物线函数表达式为,
则,
∴,
∴该抛物线的函数表达式是.
任务二:∵水位再上涨达到最高,灯笼底部距离水面至少,灯笼长,
∴悬挂点的纵坐标,
∴悬挂点的纵坐标的最小值是.
当时,,解得或,
∴悬挂点的横坐标的取值范围是.
任务三:有两种设计方案
方案一:如图2(坐标系的横轴,图3同),从顶点处开始悬挂灯笼.
∵,相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为,
∴若顶点一侧挂4盏灯笼,则,
若顶点一侧挂3盏灯笼,则,
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼.
∵挂满灯笼后成轴对称分布,
∴共可挂7盏灯笼.
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是.
方案二:如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼,正中间两盏与对称轴的距离均为,
∵若顶点一侧挂5盏灯笼,则,
若顶点一侧挂4盏灯笼,则,
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼.
∵挂满灯笼后成轴对称分布,
∴共可挂8盏灯笼.
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是.
4.如图,隧道的截面由抛物线和矩形构成,矩形的长为,宽为,以所在的直线为轴,线段的中垂线为轴,建立平面直角坐标系.轴是抛物线的对称轴,最高点到地面距离为4米.
(1)求出抛物线的解析式.
(2)在距离地面米高处,隧道的宽度是多少?
(3)如果该隧道内设单行道(只能朝一个方向行驶),现有一辆货运卡车高3.6米,宽2.4米,这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.
【详解】(1)解:最高点到地面距离为4米,
米,点E为抛物线的顶点,抛物线的对称轴为y轴,
设抛物线的解析式为,
四边形ABCD是矩形,
,
又,
四边形BCOF是矩形,
米,
(米),
点E的纵坐标为1,
,
,
又米,
点C的坐标为(2,0),
把点C的坐标代入解析式,得,
解得,
故抛物线的解析式为;
(2)解:把代入解析式,
得,
解得,,
故在距离地面米高处,隧道的宽度是(米);
(3)解:这辆货运卡车能通过该隧道;
当x=1.2时,,
,
这辆货运卡车能通过该隧道.
5.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为x轴,点O为原点建立直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的点C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为.
(1)求雕塑高OA.
(2)求落水点C,D之间的距离.
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,,.问:顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明.
【详解】解:(1)由题意得,A点在图象上.
当时,
.
(2)由题意得,D点在图象上.
令,得.
解得:(不合题意,舍去).
(3)当时,,
,
∴不会碰到水柱.
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?
素材1
图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽,拱顶离水面.据调查,该河段水位在此基础上再涨达到最高.
素材2
为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼,如图3.为了安全,灯笼底部距离水面不小于;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布.
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数表达式.
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?
素材1
图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽,拱顶离水面.据调查,该河段水位在此基础上再涨达到最高.
素材2
为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼,如图3.为了安全,灯笼底部距离水面不小于;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布.
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数表达式.
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
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