苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题3.3第二次月考试卷(12月份培优卷，九年级苏科第1-6章)特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题3.3第二次月考试卷(12月份培优卷，九年级苏科第1-6章)特训(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了3第二次月考试卷，6米，AE＝0，2．等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•宿豫区期末）下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣mx+4＝0C．x2﹣4x﹣m＝0D．x2﹣4x﹣m2＝0
2．（2022春•润州区校级期末）不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则（ ）
A．摸到标号为1的球的可能性最大
B．摸到标号为2的球的可能性最大
C．摸到标号为3的球的可能性最大
D．摸到标号为1，2，3的球的可能性一样大
3．（2022春•崇川区期末）某校准备选派甲、乙、丙、丁中的一名队员代表学校参加市直跳绳比赛，表中是这四名队员选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（ ）
A．4米B．3米C．3.2米D．3.4米
5．（2021秋•沭阳县期末）若将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
6．（2022春•崇川区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．（2022春•工业园区期末）已知，则＝ ．
8．（2022春•惠山区校级期末）已知方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则k的值是 ．
9．（2022春•靖江市校级期末）小丽与同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，她随机出“剪刀”概率为 ．
10．（2022春•崇川区期末）某校规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中平时成绩：期中成绩：期末成绩＝2：3：5．小彤的体育平时成绩、期中成绩、期末成绩（百分制）依次是85分、80分、90分，则小彤的学期体育成绩是 分．
11．（2022•南京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）＝ ．
12．（2021秋•滨海县期末）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 ．
13．（2022春•工业园区校级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为≈0.618），如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较长线段AP的长度为 cm（结果精确到0.1）．
14．（2022春•崇川区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，3），（4，0），若当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
15．（2022春•兴化市期末）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是 ．
16．（2020秋•射阳县校级期末）如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022•南京模拟）解方程：
（1）25（x+3）2﹣16＝0；
（2）x（2x+3）＝4x+6．
18．（2021秋•高邮市期末）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．
（1）第一个节目是说相声的概率是 ；
（2）求第二个节目是弹古筝的概率．
19．（2022春•如皋市期末）为增强学生的防疫意识，学校拟选拔一支代表队参加市级防疫知识竞赛，甲、乙两支预选队（每队各10人）参加了学校举行的选拔赛，选拔赛满分为100分．现对甲、乙两支预选队的竞赛成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲队10名学生的竞赛成绩是：92，84，92，92，96，84，92，100，82，96
b．甲、乙两队学生竞赛成绩统计表：
（1）在甲、乙两队学生竞赛成绩统计表中，m＝ ，n＝ ；
（2）学校准备从甲，乙两支预选队中选取成绩前10名（包括第10名）的学生组成代表队参加市级比赛，小聪的成绩正好是甲乙两队中某一队成绩的中位数，但他却落选了，请判断小聪所属的队伍，并说明理由．
20．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
21．（2022春•工业园区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是△ABC的角平分线．
（1）找出图中的相似三角形，并证明；
（2）求出的值．
22．（2022春•海门市期末）某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 （填一次函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）若当月销售量不低于300件，售价为多少时，当月利润最大？最大利润是多少？
23．（2021秋•南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点．
24．（2021秋•玄武区期末）已知二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣2）（a为常数，且a≠﹣1）．
（1）求证：无论a取何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）点P（m，y1），Q（m+3，y2）在二次函数的图象上，且y1＞y2，直接写出m的取值范围．
25．（2021秋•姜堰区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）请再从以下三个选项中选择两个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算过程．①AF＝10，②BF＝2，③BE＝．
你选择的条件是 ，结论是 ．（填序号）
26．（2021秋•玄武区期末）实验表明，汽车急刹车的停车距离等于反应距离与制动距离之和；反应距离与汽车速度成正比，制动距离与汽车速度的平方成正比，已知当汽车的速度为10m/s时，急刹车的停车距离为17m；当汽车的速度为20m/s时，急刹车的停车距离为50m．设汽车的速度为x（m/s），急刹车的停车距离为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一辆汽车以15m/s的速度行驶，突然发现正前方30m处有一障碍物，紧急刹车，问汽车与障碍物是否会相撞？并说明理由；
（3）一辆行驶中的汽车突然发现正前方100m处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，要使汽车距离运输车不小于1m处停住，则汽车行驶的最大速度是 m/s．
27．（2021秋•玄武区期末）在△ABC与△A'B'C'中，点D与D'分别在边BC，B'C'上，∠B＝∠B'，．
（1）如图1，当∠BAD＝∠B'A'D'时，求证△ABC∽△A'B'C'；
（2）当∠CAD＝∠C'A'D'时，△ABC与△A'B'C'相似吗？小明发现：△ABC与△A'B'C'不一定相似．小明先画出了△ABC∽△A'B'C'的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图②中，作出△ABC与△A'B'C'不相似的反例．
（3）小明进一步探索：当∠B＝∠B'＝30°，∠CAD＝∠C'A'D'＝60°时，设＝k（0＜k＜1），如果存在△ABC∽△A'B'C'，那么k的取值范围为 ．
甲
乙
丙
丁
平均数（个/分）
201
180
201
180
方差
2.4
5.5
13
2.4
组别
甲队
乙队
平均分
91
87
中位数
m
85
众数
n
93
方差
31.4
30
售价x（元）
42
45
50
55
…
销售量y（件）
480
450
400
350
…
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】
专题3.3第二次月考试卷（12月份培优卷，九年级苏科第1-6章）
注意事项：
本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•宿豫区期末）下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣mx+4＝0C．x2﹣4x﹣m＝0D．x2﹣4x﹣m2＝0
【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【解析】A、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，该方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B、Δ＝（﹣m）2﹣4×1×4＝m2﹣16，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）2＝16+4m2＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意．
故选：D．
2．（2022春•润州区校级期末）不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则（ ）
A．摸到标号为1的球的可能性最大
B．摸到标号为2的球的可能性最大
C．摸到标号为3的球的可能性最大
D．摸到标号为1，2，3的球的可能性一样大
【分析】根据概率公式分别求出摸到标号为1的球的可能性，摸到标号为2的球的可能性，摸到标号为3的球的可能性，然后进行比较即可得出答案．
【解析】∵不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，
∴摸到标号为1的球的可能性是，摸到标号为2的球的可能性是＝，摸到标号为3的球的可能性是＝，
∴摸到标号为3的球的可能性最大．
故选：C．
3．（2022春•崇川区期末）某校准备选派甲、乙、丙、丁中的一名队员代表学校参加市直跳绳比赛，表中是这四名队员选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【解析】∵甲、丙成绩的平均数大于乙、丁成绩的平均数，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵S甲2＜S丙2，
∴最适合的队员是甲；
故选：A．
4．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（ ）
A．4米B．3米C．3.2米D．3.4米
【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
【解析】由题意知：AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴解得CD＝3，
∴水面以上深度CD为3米．
故选：B．
5．（2021秋•沭阳县期末）若将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】易得圆锥的母线长为16cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π×16÷2＝16π（cm），
∴圆锥的底面半径为16π÷2π＝8（cm），
故选：C．
6．（2022春•崇川区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点即可判断①；当x＝﹣1时，y＜0，即可判断②；当x＝2时，y＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有2个交点，即可判断④．
【解析】①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵2a+b＝0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②观察函数图象，可知：
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，②错误．
③∵抛物线的对称轴为x＝1，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正确；
④∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
7．（2022春•工业园区期末）已知，则＝ 4 ．
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【解析】∵，
∴设a＝3k，b＝5k，
∴＝＝＝4，
故答案为：4．
8．（2022春•惠山区校级期末）已知方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则k的值是 1 ．
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．
【解析】∵方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，
∴把x＝1代入，得
12+k×1﹣2＝0，
解得，k＝1．
故答案是：1．
9．（2022春•靖江市校级期末）小丽与同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，她随机出“剪刀”概率为 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解析】小丽与同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，她随机出“剪刀”概率为，
故答案为：．
10．（2022春•崇川区期末）某校规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中平时成绩：期中成绩：期末成绩＝2：3：5．小彤的体育平时成绩、期中成绩、期末成绩（百分制）依次是85分、80分、90分，则小彤的学期体育成绩是 86 分．
【分析】根据加权平均数的公式列式计算可得．
【解析】小彤的成绩为：
85×+80×+90×
＝17+24+45
＝86（分）．
答：小彤的学期体育成绩是86分．
故答案为：86．
11．（2022•南京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）＝ 12 ．
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，得α+β＝2，αβ＝﹣3，即可得（α+3）（β+3）＝αβ+3（α+β）+9＝12．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣3，
∴（α+3）（β+3）＝αβ+3（α+β）+9＝﹣3+3×2+9＝12，
故答案为：12．
12．（2021秋•滨海县期末）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 y＝2（x﹣3）2+2 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解析】抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（3，2），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝2（x﹣3）2+2．
故答案为：y＝2（x﹣3）2+2．
13．（2022春•工业园区校级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为≈0.618），如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较长线段AP的长度为 6.2 cm（结果精确到0.1）．
【分析】利用黄金分割的定义可计算出AP的长．
【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB≈0.618×10≈6.2（cm），
故答案为：6.2．
14．（2022春•崇川区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，3），（4，0），若当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣a≤且a≠0 ．
【分析】将已知点代入解析式，用含a的代数式表示b，再表示出对称轴，根据二次函数的性质解答即可．
【解析】将（1，3）代入y＝ax2+bx+c得3＝a+b+c①，
将（4，0）代入y＝ax2+bx+c得0＝16a+4b+c②，
由②﹣①得﹣3＝15a+3b，
∴5a＝﹣1﹣b，b＝﹣5a﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝+，
∵当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，
a＜0时，+≤1，
解得﹣≤a＜0，
a＞0时，+≥4，
解得0＜a≤，
综上所述，﹣a≤且a≠0．
15．（2022春•兴化市期末）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是 110° ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝110°，
故答案为：110°．
16．（2020秋•射阳县校级期末）如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ＜S≤ ．
【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长，进而得出答案．
【解析】如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，
∴CF＝FO＝，
∴S△AOC＝×1×＝，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD＝90°时DE最长为半径，
S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．
∴＜S≤，
故答案为：＜S≤．
三．解答题（共11小题）
17．（2022•南京模拟）解方程：
（1）25（x+3）2﹣16＝0；
（2）x（2x+3）＝4x+6．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解析】（1）25（x+3）2﹣16＝0，
移项，得25（x+3）2＝16，
则（x+3）2＝，
∴x+3＝±，
∴x1＝﹣，x2＝﹣；
（2）x（2x+3）＝4x+6，
则x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，
∴（x﹣2）（2x+3）＝0，
∴x﹣2＝0或2x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣．
18．（2021秋•高邮市期末）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．
（1）第一个节目是说相声的概率是 ；
（2）求第二个节目是弹古筝的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出第二个节目是弹古筝的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】（1）第一个节目是说相声的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中第二个节目是弹古筝的结果数为3，
∴第二个节目是弹古筝的概率为＝．
19．（2022春•如皋市期末）为增强学生的防疫意识，学校拟选拔一支代表队参加市级防疫知识竞赛，甲、乙两支预选队（每队各10人）参加了学校举行的选拔赛，选拔赛满分为100分．现对甲、乙两支预选队的竞赛成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲队10名学生的竞赛成绩是：92，84，92，92，96，84，92，100，82，96
b．甲、乙两队学生竞赛成绩统计表：
（1）在甲、乙两队学生竞赛成绩统计表中，m＝ 92 ，n＝ 92 ；
（2）学校准备从甲，乙两支预选队中选取成绩前10名（包括第10名）的学生组成代表队参加市级比赛，小聪的成绩正好是甲乙两队中某一队成绩的中位数，但他却落选了，请判断小聪所属的队伍，并说明理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义求解即可．
【解析】（1）将甲队10名学生的竞赛成绩重新排列为：84，84，82，92，92，92，92，96，96，100，
所以这组数据的中位数m＝＝92，n＝92，
故答案为：92、92；
（2）小聪应该属于乙队．
理由：∵甲队的中位数为92分高于乙队的中位数85分，
∵小聪的成绩正好是本队成绩的中位数，却不是甲、乙两队成绩的前20名，
∴小聪应该属于乙队．
20．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．
【解析】如图，连接OC，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，
OE2+CE2＝OC2，
即（5﹣r）2+32＝r2，
解得r＝3.4，
∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，
答：AE的长为1.8．
21．（2022春•工业园区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是△ABC的角平分线．
（1）找出图中的相似三角形，并证明；
（2）求出的值．
【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC＝36°，得∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，由BD是△ABC的角平分线求得∠DBC＝36°，则∠DBC＝∠BAC，而∠C是△BDC和△ABC的公共角，即可证明△BDC∽△ABC；
（2）先证明AD＝BD，BD＝BC，则AD＝BC，设AD＝BC＝x，AC＝AB＝a，由△BDC∽△ABC得＝，所以BC2＝AC•（AC﹣AD），可列方程x2＝a（a﹣x），解方程求得符合题意的x的值为a，即可求出的值．
【解答】（1）△BDC∽△ABC．
证明：AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠DBA＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC．
（2）解：∵∠DBA＝∠BAC，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠DBA+∠A＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC，
设AD＝BC＝x，AC＝AB＝a，
∵△BDC∽△ABC，
∴＝，
∴BC2＝AC•（AC﹣AD），
∴x2＝a（a﹣x），
解得x1＝a，x2＝a（不符合题意，舍去），
∴BC＝a，
∴＝＝．
22．（2022春•海门市期末）某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 一次函数 （填一次函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）若当月销售量不低于300件，售价为多少时，当月利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由x的值每增加1元时，y的值均减小10件知这个函数为一次函数，待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，再配方成顶点式依据二次函数的性质和x的取值范围求函数最值．
【解析】（1）由表可知，x的值每增加1元时，y的值均减小10件，
据此可知y与x的函数关系为一次函数，
设该一次函数为y＝kx+b，
代入（42，480）和（45，450），
得：，
解得：，
∴y＝﹣10x+900，
故答案为：一次函数；
（2）设月利润为w元，
则w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+900）w＝﹣10（x﹣65）2+6250，
∵月销售量不低于300件，
∴﹣10x+900≥300，
∴x≤60，
∵a＝﹣10，
∴x≤65时，w随x的增大而增大，
∴x＝60时，w有最大值6000．
答：当售价定为60元时，利润最大，最大值为6000元．
23．（2021秋•南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为 ﹣4≤y＜12 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点．
【分析】（1）先由顶点坐标设二次函数的顶点式，然后代入点（1，0）求得函数的解析式；
（2）先求得x＝﹣5、x＝0和x＝﹣1时的函数值，然后结合函数的增减性得到y的取值范围；
（3）先由平移后的函数与x轴只有一个交点可知图象向上平移4个单位，然后由原图象经过点（1，0）和对称轴为直线x＝﹣1得到向上平移4个单位后的图象经过（1，4）和（﹣3，4），最后由平移后的图象经过点（3，4）得到左右平移的距离．
【解析】（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+1） 2﹣4，
将（1，0）代入，得4a﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3．
（2）当x＝﹣5时，y＝12；当y＝0时，y＝﹣3；
∵当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴﹣4≤y＜12．
（3）∵平移后的函数图象与x轴只有一个交点，
∴函数向上平移了4个单位长度，
此时，函数图象经过点（1，4），
∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数图象经过点（﹣3，4），
∵平移后的函数图象经过点（3，4），
∴再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度，
∴函数图象先向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度．
24．（2021秋•玄武区期末）已知二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣2）（a为常数，且a≠﹣1）．
（1）求证：无论a取何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）点P（m，y1），Q（m+3，y2）在二次函数的图象上，且y1＞y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，解方程，即可解答；
（2）先计算其对称轴，根据点P，Q在对称轴左铡或对称轴两铡列不等式可得结论．
【解答】（1）证明：由题意得：令y＝0时，（x+a）（x﹣a﹣2）＝0，
∴x1＝﹣a，x2＝a+2，
∵a≠﹣1，
∴﹣a≠a+2，
∴无论a取何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）解：对称轴是：x＝＝1，
∵点P（m，y1），Q（m+3，y2）在二次函数的图象上，且y1＞y2，
∴m+3≤1或1﹣m＞m+3﹣1，
∴m≤﹣2或m＜﹣；
综上，m的取值是：m＜﹣．
25．（2021秋•姜堰区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）请再从以下三个选项中选择两个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算过程．①AF＝10，②BF＝2，③BE＝．
你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ ．（填序号）
【分析】（1）连接OE，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠EOB＝2∠BDE，则可证明∠EOB＝∠A，则∠C+∠EOC＝90°，所以∠OEC＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）利用AF＝10，BF＝2得到OB＝6，再证明△BEF∽△BOE，然后利用相似比可得到DE＝2．
【解析】（1）CE与⊙O相切．
理由如下：连接OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠EOB＝2∠BDE，∠A＝2∠BDE，
∴∠EOB＝∠A，
∵∠C＝∠ABD，
∴∠C+∠EOC＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴OE⊥EC，
而OE为⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）条件：①AF＝10，②BF＝2，结论：③BE＝，
解答过程为：∵AF＝10，BF＝2，
∴OB＝6，
∵∠BED＝∠A，
而∠BOE＝∠A，
∴∠BEF＝∠BOE，
而∠EBF＝∠OBE，
∴△BEF∽△BOE，
∴BE：OB＝BF：BE，即BE：6＝2：BE，
∴BE＝2．
故答案为：①②；③．
26．（2021秋•玄武区期末）实验表明，汽车急刹车的停车距离等于反应距离与制动距离之和；反应距离与汽车速度成正比，制动距离与汽车速度的平方成正比，已知当汽车的速度为10m/s时，急刹车的停车距离为17m；当汽车的速度为20m/s时，急刹车的停车距离为50m．设汽车的速度为x（m/s），急刹车的停车距离为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一辆汽车以15m/s的速度行驶，突然发现正前方30m处有一障碍物，紧急刹车，问汽车与障碍物是否会相撞？并说明理由；
（3）一辆行驶中的汽车突然发现正前方100m处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，要使汽车距离运输车不小于1m处停住，则汽车行驶的最大速度是 30 m/s．
【分析】（1）设y1＝ax（a≠0），y2＝bx2（b≠0），得到y＝y1+y2＝ax+bx2，把x＝10m/s时，y＝17m；x＝20m/s时，y＝50m代入得到方程组，解方程组即可得到结论；
（2）当x＝15时，得到y＝0.08×152+0.9×15＝31.5，解方程即可得到结论；
（3）根据要使汽车距离运输车不小于1m处停住得到方程，解方程即可得到结论．
【解析】（1）∵反应距离与汽车速度成正比，
∴设y1＝ax（a≠0），
∵制动距离与汽车速度的平方成正比，
∴设y2＝bx2（b≠0），
∴y＝y1+y2＝ax+bx2，
∵x＝10m/s时，y＝17m；x＝20m/s时，y＝50m，
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为y＝0.08x2+0.9x（x＞0），
（2）汽车与障碍物会相撞，
理由：当x＝15时，y＝0.08×152+0.9×15＝31.5，
∵31.5＞30，
∴汽车与障碍物会相撞；
（3）当y＝0.08x2+0.9x＝100﹣1时，
解得x1＝30，x2＝﹣（不合题意舍去），
答：汽车行驶的最大速度是30m/s，
故答案为：30．
27．（2021秋•玄武区期末）在△ABC与△A'B'C'中，点D与D'分别在边BC，B'C'上，∠B＝∠B'，．
（1）如图1，当∠BAD＝∠B'A'D'时，求证△ABC∽△A'B'C'；
（2）当∠CAD＝∠C'A'D'时，△ABC与△A'B'C'相似吗？小明发现：△ABC与△A'B'C'不一定相似．小明先画出了△ABC∽△A'B'C'的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图②中，作出△ABC与△A'B'C'不相似的反例．
（3）小明进一步探索：当∠B＝∠B'＝30°，∠CAD＝∠C'A'D'＝60°时，设＝k（0＜k＜1），如果存在△ABC∽△A'B'C'，那么k的取值范围为 0＜k≤4﹣2 ．
【分析】（1）先证ABD∽△A′B′D′，可推出＝，进而命题得证；
（2）根据“定弦对定角”，可作△A′C′D′的外接圆于A′B′交于另外一点A″，从而举出反例；
（3）当∠C＝45°时，最大．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠B'，∠BAD＝∠B'A'D'，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴＝，
∵．
∴＝，
∴＝，
∵＝，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A'B'C'；
（2）如图，作△A′C′D′的外接圆交A′B′于点A″，连接A″D′，
则∠C′A″D′＝∠C′A′D′，
∵∠CAD＝∠C'A'D'，
∴∠CAD＝∠C'A″D'，
但△ABC与△A″B'C'不相似，
故图②中的△A″B′C′为所求作的反例；
（3）如图③，
当∠C＝45°时，最大，
作DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝105°﹣60°＝45°，
不妨设DE＝1，
∴AD＝＝，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△ADF中，∠DAC＝60°，
∴DF＝AD•sin60°＝＝，
在Rt△DCF中，∠C＝45°，
∴CD＝＝，
∴＝4﹣2，
故答案是：0＜k≤4﹣2．
甲
乙
丙
丁
平均数（个/分）
201
180
201
180
方差
2.4
5.5
13
2.4
组别
甲队
乙队
平均分
91
87
中位数
m
85
众数
n
93
方差
31.4
30
售价x（元）
42
45
50
55
…
销售量y（件）
480
450
400
350
…