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苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.19 作平行线求相关线段长或比值（专项练习）（附答案）
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专题6.19 作平行线求相关线段长或比值（专项练习）一、单选题1．如图，，，则的值是（ ）A． B． C． D．2．如图，在中，，点是上一点，，在上有一点，恰好满足，则的值是（）A． B． C． D．23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（ ）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：75．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（ ）A． B． C． D．6．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝4，则线段ON的长为（ ）A．2 B． C．2 D．27．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC重心的坐标是（ ）A．（2，4） B．（3，4） C．（，） D．（，）8．如图，在中，、分别是边上两个三等分点，、分别交、、于、、，则（ ）A．3：2：1 B．5：3：2 C．6：5：4 D．5：4：39．如图，在△ABC的中，BC=6，EF∥BC，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ=CE时，EP+BP的值为( )A．6 B．9 C．12 D．1810．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）A．： B．： C．： D．：二、填空题11．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=AD，CE交AB于点F．若AF=1.2cm，则AB=_____12．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝___．13．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=8，BC=3，点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=3，BE=2，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为_________．14．在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC＝1：2，E为BD中点，延长AE交BC于点F，则BF：FC的值是 ___．15．如图，在中，为边上的一点，且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若与的面积之和为，则的面积为 __．16．如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____．17．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论中①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．正确的有____18．如图，AD是ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN=______．三、解答题19．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，交于点O，则．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在中，点D在线段上，，，，求的长．20．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．21．如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．22．数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．(1) 请按照小明的思路写出求解过程．(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．23．已知中，于点D，AE平分，交CD于点F．请从A，B两题中任选一题作答．我选择________题．A．如图1，若，则CF的长为________．B．如图2，若，则DF的长为________．24．请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．参考答案1．B【分析】过点作DFBE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出，，进而得到答案．【详解】解：如图，过点作DFBE交AC于点F，由平行线分线段成比例定理得，则，，∴ CF＝EF，AE＝3EF∴ EC＝CF＋EF＝∴AE∶EC＝3EF∶＝6：5，故选：B【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．C【分析】过D作DN⊥AC于N，设AE=x，则CE=3x，利用DE=DC得到EN=NC=1.5x，证得DN∥BC，得到．【详解】解：过D作DN⊥AC于N，设AE=x，则CE=3x，∵DE=DC，∴EN=NC=1.5x，∵∠AND=，∴DN∥BC，∴，故选：C．【点拨】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，平行线截线段成比例，熟记平行线截线段成比例是解题的关键．3．D【分析】过A作AH⊥BC于H，先证明DE为△ABC的中位线，DF为△ABH的中位线，可得到BC=2DE，AH=2DF，从而得到，进而得到，再由AB＝CE，可得AB=2，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴，即AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴，∴BF=HF，∴DF为△ABH的中位线，∴AH=2DF，∵△DFE的面积为1，∴，∴DE×DF=2，∴，∵∠A＝90°，∴∴，∵AB=CE，∴AC=2AB，∴，解得：AB=2或-2（舍去），∴AC=4，∴．故选：D【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．4．A【分析】过点D作DHAE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝EH，即可得EH：CH＝2：3，根据平行线等分线段定理即可得．【详解】解：如图，过点D作DHAE交BC于H，∵BF＝DF，FEDH，∴BE＝EH，∴BE：BC＝2：7，∴EH：CH＝2：3，∵AEDH，∴，故选：A．【点拨】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题．5．B【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得，推出，即a2+ab-b2=0，可得（）2+（）-1=0，求出即可解决问题．【详解】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，CE=AD，∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，∵DK∥EC，∴，∴，∴a2+ab-b2=0，∴（）2+（）-1=0，∴=或（舍弃），∴，故选B．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想6．C【分析】过M点作MH⊥AC，根据等腰直角三角形的性质求出HM长，再根据角平分线性质可得BM长，由此得到正方形的边长，求出OC和HC长，根据ON∥HM得到，从而可求ON长．【详解】过M点作MH⊥AC，∵∠HAM＝45°，∴AH＝HM＝AM＝4．∵CM平分∠ACB，HM⊥AC，MB⊥CB，∴BM＝HM＝4．∴正方形边长AB＝4+4，∴正方形对角线AC＝4+8，OC＝AC＝2+4．∴HC＝AC﹣AH＝4+4．∵ON∥HM，∴．∴，解得ON＝2．故选C．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度．7．D【分析】连接OC，如图，先确定△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，根据三角形重心的性质得OD：OC＝1：3，由于DF∥CE，则＝，然后计算出DF和OF，从而得到D点坐标．【详解】解：连接OC，如图，∵A（﹣6，0），B（6，0），∴O点为AB的中点，∴△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，∵D点为△ABC的重心，∴CD＝2OD，∴OD：OC＝1：3，∵DF∥CE，∴＝，而C（4，8），∴OE＝4，CE＝8，∴，∴DF＝，OF＝，∴D（，）．故选D．【点拨】本题主要考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质．8．B【分析】过作，交于，于，根据三角形中位线定理得到，得到，，得到、与的关系，求比即可．【详解】解：过作，交于，于，为中点，是的中位线，，，，，，，，是的中位线，，，，，，，故选：B．【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用定理、找准对应关系．9．C【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG//BC，推出EG：BC=EQ：QC=2：1，即可求出EG解决问题．【详解】如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵EG//BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ=EC，∴EQ＝2CQ，∵EG//BC，∴EG：BC=EQ：QC=2：1，∵BC＝6，∴EG＝12，∴EP+PB＝EG＝12，故选C．【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．10．A【分析】过点D作与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2【详解】过点D作与BF交于点G，如图：是的中线即即故选：A．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．11．6cm【分析】作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理可得到AG，FG的长，从而也就求得了AB的长．【详解】作DG∥CF于G，∵AD是△ABC的中线，根据平行线等分线段定理，得BG=FG，根据平行线分线段成比例定理，得： ，∵AF=1.2cm，AE=AD∴AG=3.6cm，则FG=2.4cm，∴BG=FG=2.4cm∴AB= AG + BG =3.6 +2.4= 6cm故答案为6cm【点拨】本题考查的是平行线等分线段定理以及平行线分线段成比例定理，能正确的运用平行线等分线段定理以及平行线分线段成比例定理添加辅助线是关键．12．【分析】过点C作，交DF于点G，根据平行线分线段成比例定理可得，，由此即可求得答案．【详解】解：如图，过点C作，交DF于点G，∵，E是AC的中点，∴，∴，∴，∵，C是BD的中点，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．13．##【分析】过点作，交于点，根据BG∥EF，得出比例式，得出，以及得出，AC＝AF＋FG＋CG=8，即可得出AF的长．【详解】解：过点作，交于点，如图所示：∵BG∥EF，即,∴，∴AF＝AG，∴，∵BC=3，BE=2，∴,∵，∴，∴，∴,∴AC＝AF＋FG＋CG＝，∴FG＝，∴；故答案为：．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由三角形中位线定理得出BG∥EF是解决问题的关键．14．##【分析】根据题意作出图形，过点作，根据平行线分线段成比例可得，进而即可求得的值．【详解】如图，过点作交于点，即是的中点，即故答案为：【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，作出辅助线是解题的关键．15．【分析】作交于．首先得到，推出，再利用三角形的中线，可得S△BDE＋S△AEF＝S△ABE＋S△AEF＝S△ABF，即可解决问题．【详解】解：作交于．，，为的中点，，，，，，，，，即，，解得：．故答案为：21．【点拨】本题考查三角形的面积、平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．16．2【分析】过点D作BE的平行线交AC于点G，由平行线分线段成比例可得，再根据D为BC中点，即可推出G为CE中点．再根据E为AC中点，即可推出，最后再次利用平行线分线段成比例可得．【详解】如图，过点D作BE的平行线交AC于点G，∵，∴．∵D为BC中点，∴G为CE中点，即CG=EG．∵E为AC中点，∴AE=CE，∴，即．∵，∴．【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．17．①②③【分析】利用SAS证△BEC≌△AFC，即可判定①；由△BEC≌△AFC，则CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，即可得出∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等边三角形，可判定②；由∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，则∠AGE＝∠AFC，可判定③；过点E作EMBC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，由AFEM，则．即可判定故④．【详解】解：①∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，∴AB=BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC＝60°，∴∠FAC=∠BAD-∠BAC＝60°，∴∠B=∠FAC，∵BE=AF，∴△BEC≌△AFC （SAS），正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠ECA＝60，∴△CEF是等边三角形，故②正确；③∵∠AGE＝∠FGC＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，∴∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点E作EMBC交AC下点M点，∵EMBC，∴∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠ACB=60°，∴△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，∵AFEM，∴．故④错误，故答案为：①②③．【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握等边三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键．18．##【分析】作DEBN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到NE＝EC和AN＝NE，即可得到答案．【详解】解：如图，作DEBN交AC于E，∵AD是ABC的中线，∴BD＝DC，又∵DEBN，∴，∴NE＝EC，∵DE∥BN，AM＝MD，∴，∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC，∴．故答案为：．【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系得到相关的比例是解题的关键．19．3【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可．【详解】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，则＝，又BD＝2DC，∴∵AD＝2，∴DE＝1，∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，∴∠ACE＝∠E＝75°，∴AC＝AE＝AD + DE =3．【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，恰当作辅助线，正确运用定理找准对应关系，列出比例式求值是解题的关键．20．（1）证明见解析，（2）作图见解析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．【详解】（1）证明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m (a－an)，∵EF∥DG，∴＝，∵F为AD的中点，∴即．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题．21．见解析【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线段成比例定理证明结论．【详解】证明：作EH∥AC交BC于H，∵点E为AD的中点，∴DH＝HC，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，又DH＝HC，∴BH＝3HC，∵EH∥AC，∴，∴EF＝BF．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键．22．(1)见解析(2)正确，见解析【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，结合平行线分线段成比例定理可得：，由DE＝EP，可知DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得，进而可求得EM与EN的比值；（2）作MH∥BC交AB于点H，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB∥CD，可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性质可证得∠DPC＝∠MNH，进而可得△DPC≌△MNH，从而有DP＝MN．（1）解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图1），则，GF＝BC＝12，∵DE＝EP，∴DF＝FC，∴EF＝CP＝＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，∵AB∥CD，∴；（2）解：正确，证明：作MH∥BC交AB于点H，（如图2），则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，∴∠DCP＝∠MHN，∵AB∥CD，∴∠MNH＝∠CMN，∵NE是DP的垂直平分线，∴∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，∵∠DPC＝90°﹣∠CDP，∴∠DPC＝∠MNH，∴△DPC≌△MNH（AAS），∴DP＝MN．【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．23． A或B ## 【分析】选择A题，过点F作FG⊥AC，垂足为G，设FG=FD=CG=x，利用△AFD≌△AFG，得到AD=AG，计算即可．选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，设CE=EM=x，利用勾股定理，求得AB，根据三角形的面积求得CD，继而求得AD，根据DF∥EM，计算即可．【详解】选择A题，如图1，过点F作FG⊥AC，垂足为G，∵，，∴∠FCG=∠GFC=45°，AB=，AD=DB=，∴CG=FG，∵AE平分，∴FG=FD，设FG=FD=CG=x，∵AF=AF，∴△AFD≌△AFG，∴AD=AG，∵，∴AG=1-x，∴=1-x，解得x=1-，∴CF=，故答案为：．选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，∵AC=4，BC=3，∴AB==5，∴，解得CD=，∴AD===，∵AE平分，∴EC=EM，∵AE=AE，∴△AEC≌△AEM，∴AC=AM=4，MB=AB-AM=5-4=1,设CE=EM=y，则EB=3-y，在直角三角形EMB中， ，解得y=，∵DF∥EM，∴，∴，解得DF=，故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键．24．(1)见解析(2)【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有；（2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长．（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，∵，∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴．（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴，∵AD平分∠BAC，∴，即，∴，∴，∴△ABD的周长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键．
专题6.19 作平行线求相关线段长或比值（专项练习）一、单选题1．如图，，，则的值是（ ）A． B． C． D．2．如图，在中，，点是上一点，，在上有一点，恰好满足，则的值是（）A． B． C． D．23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（ ）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：75．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（ ）A． B． C． D．6．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝4，则线段ON的长为（ ）A．2 B． C．2 D．27．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC重心的坐标是（ ）A．（2，4） B．（3，4） C．（，） D．（，）8．如图，在中，、分别是边上两个三等分点，、分别交、、于、、，则（ ）A．3：2：1 B．5：3：2 C．6：5：4 D．5：4：39．如图，在△ABC的中，BC=6，EF∥BC，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ=CE时，EP+BP的值为( )A．6 B．9 C．12 D．1810．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）A．： B．： C．： D．：二、填空题11．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=AD，CE交AB于点F．若AF=1.2cm，则AB=_____12．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝___．13．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=8，BC=3，点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=3，BE=2，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为_________．14．在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC＝1：2，E为BD中点，延长AE交BC于点F，则BF：FC的值是 ___．15．如图，在中，为边上的一点，且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若与的面积之和为，则的面积为 __．16．如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____．17．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论中①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．正确的有____18．如图，AD是ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN=______．三、解答题19．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，交于点O，则．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在中，点D在线段上，，，，求的长．20．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．21．如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．22．数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．(1) 请按照小明的思路写出求解过程．(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．23．已知中，于点D，AE平分，交CD于点F．请从A，B两题中任选一题作答．我选择________题．A．如图1，若，则CF的长为________．B．如图2，若，则DF的长为________．24．请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．参考答案1．B【分析】过点作DFBE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出，，进而得到答案．【详解】解：如图，过点作DFBE交AC于点F，由平行线分线段成比例定理得，则，，∴ CF＝EF，AE＝3EF∴ EC＝CF＋EF＝∴AE∶EC＝3EF∶＝6：5，故选：B【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．C【分析】过D作DN⊥AC于N，设AE=x，则CE=3x，利用DE=DC得到EN=NC=1.5x，证得DN∥BC，得到．【详解】解：过D作DN⊥AC于N，设AE=x，则CE=3x，∵DE=DC，∴EN=NC=1.5x，∵∠AND=，∴DN∥BC，∴，故选：C．【点拨】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，平行线截线段成比例，熟记平行线截线段成比例是解题的关键．3．D【分析】过A作AH⊥BC于H，先证明DE为△ABC的中位线，DF为△ABH的中位线，可得到BC=2DE，AH=2DF，从而得到，进而得到，再由AB＝CE，可得AB=2，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴，即AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴，∴BF=HF，∴DF为△ABH的中位线，∴AH=2DF，∵△DFE的面积为1，∴，∴DE×DF=2，∴，∵∠A＝90°，∴∴，∵AB=CE，∴AC=2AB，∴，解得：AB=2或-2（舍去），∴AC=4，∴．故选：D【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．4．A【分析】过点D作DHAE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝EH，即可得EH：CH＝2：3，根据平行线等分线段定理即可得．【详解】解：如图，过点D作DHAE交BC于H，∵BF＝DF，FEDH，∴BE＝EH，∴BE：BC＝2：7，∴EH：CH＝2：3，∵AEDH，∴，故选：A．【点拨】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题．5．B【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得，推出，即a2+ab-b2=0，可得（）2+（）-1=0，求出即可解决问题．【详解】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，CE=AD，∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，∵DK∥EC，∴，∴，∴a2+ab-b2=0，∴（）2+（）-1=0，∴=或（舍弃），∴，故选B．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想6．C【分析】过M点作MH⊥AC，根据等腰直角三角形的性质求出HM长，再根据角平分线性质可得BM长，由此得到正方形的边长，求出OC和HC长，根据ON∥HM得到，从而可求ON长．【详解】过M点作MH⊥AC，∵∠HAM＝45°，∴AH＝HM＝AM＝4．∵CM平分∠ACB，HM⊥AC，MB⊥CB，∴BM＝HM＝4．∴正方形边长AB＝4+4，∴正方形对角线AC＝4+8，OC＝AC＝2+4．∴HC＝AC﹣AH＝4+4．∵ON∥HM，∴．∴，解得ON＝2．故选C．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度．7．D【分析】连接OC，如图，先确定△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，根据三角形重心的性质得OD：OC＝1：3，由于DF∥CE，则＝，然后计算出DF和OF，从而得到D点坐标．【详解】解：连接OC，如图，∵A（﹣6，0），B（6，0），∴O点为AB的中点，∴△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，∵D点为△ABC的重心，∴CD＝2OD，∴OD：OC＝1：3，∵DF∥CE，∴＝，而C（4，8），∴OE＝4，CE＝8，∴，∴DF＝，OF＝，∴D（，）．故选D．【点拨】本题主要考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质．8．B【分析】过作，交于，于，根据三角形中位线定理得到，得到，，得到、与的关系，求比即可．【详解】解：过作，交于，于，为中点，是的中位线，，，，，，，，是的中位线，，，，，，，故选：B．【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用定理、找准对应关系．9．C【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG//BC，推出EG：BC=EQ：QC=2：1，即可求出EG解决问题．【详解】如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵EG//BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ=EC，∴EQ＝2CQ，∵EG//BC，∴EG：BC=EQ：QC=2：1，∵BC＝6，∴EG＝12，∴EP+PB＝EG＝12，故选C．【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．10．A【分析】过点D作与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2【详解】过点D作与BF交于点G，如图：是的中线即即故选：A．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．11．6cm【分析】作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理可得到AG，FG的长，从而也就求得了AB的长．【详解】作DG∥CF于G，∵AD是△ABC的中线，根据平行线等分线段定理，得BG=FG，根据平行线分线段成比例定理，得： ，∵AF=1.2cm，AE=AD∴AG=3.6cm，则FG=2.4cm，∴BG=FG=2.4cm∴AB= AG + BG =3.6 +2.4= 6cm故答案为6cm【点拨】本题考查的是平行线等分线段定理以及平行线分线段成比例定理，能正确的运用平行线等分线段定理以及平行线分线段成比例定理添加辅助线是关键．12．【分析】过点C作，交DF于点G，根据平行线分线段成比例定理可得，，由此即可求得答案．【详解】解：如图，过点C作，交DF于点G，∵，E是AC的中点，∴，∴，∴，∵，C是BD的中点，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．13．##【分析】过点作，交于点，根据BG∥EF，得出比例式，得出，以及得出，AC＝AF＋FG＋CG=8，即可得出AF的长．【详解】解：过点作，交于点，如图所示：∵BG∥EF，即,∴，∴AF＝AG，∴，∵BC=3，BE=2，∴,∵，∴，∴，∴,∴AC＝AF＋FG＋CG＝，∴FG＝，∴；故答案为：．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由三角形中位线定理得出BG∥EF是解决问题的关键．14．##【分析】根据题意作出图形，过点作，根据平行线分线段成比例可得，进而即可求得的值．【详解】如图，过点作交于点，即是的中点，即故答案为：【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，作出辅助线是解题的关键．15．【分析】作交于．首先得到，推出，再利用三角形的中线，可得S△BDE＋S△AEF＝S△ABE＋S△AEF＝S△ABF，即可解决问题．【详解】解：作交于．，，为的中点，，，，，，，，，即，，解得：．故答案为：21．【点拨】本题考查三角形的面积、平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．16．2【分析】过点D作BE的平行线交AC于点G，由平行线分线段成比例可得，再根据D为BC中点，即可推出G为CE中点．再根据E为AC中点，即可推出，最后再次利用平行线分线段成比例可得．【详解】如图，过点D作BE的平行线交AC于点G，∵，∴．∵D为BC中点，∴G为CE中点，即CG=EG．∵E为AC中点，∴AE=CE，∴，即．∵，∴．【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．17．①②③【分析】利用SAS证△BEC≌△AFC，即可判定①；由△BEC≌△AFC，则CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，即可得出∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等边三角形，可判定②；由∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，则∠AGE＝∠AFC，可判定③；过点E作EMBC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，由AFEM，则．即可判定故④．【详解】解：①∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，∴AB=BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC＝60°，∴∠FAC=∠BAD-∠BAC＝60°，∴∠B=∠FAC，∵BE=AF，∴△BEC≌△AFC （SAS），正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠ECA＝60，∴△CEF是等边三角形，故②正确；③∵∠AGE＝∠FGC＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，∴∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点E作EMBC交AC下点M点，∵EMBC，∴∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠ACB=60°，∴△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，∵AFEM，∴．故④错误，故答案为：①②③．【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握等边三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键．18．##【分析】作DEBN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到NE＝EC和AN＝NE，即可得到答案．【详解】解：如图，作DEBN交AC于E，∵AD是ABC的中线，∴BD＝DC，又∵DEBN，∴，∴NE＝EC，∵DE∥BN，AM＝MD，∴，∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC，∴．故答案为：．【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系得到相关的比例是解题的关键．19．3【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可．【详解】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，则＝，又BD＝2DC，∴∵AD＝2，∴DE＝1，∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，∴∠ACE＝∠E＝75°，∴AC＝AE＝AD + DE =3．【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，恰当作辅助线，正确运用定理找准对应关系，列出比例式求值是解题的关键．20．（1）证明见解析，（2）作图见解析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．【详解】（1）证明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m (a－an)，∵EF∥DG，∴＝，∵F为AD的中点，∴即．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题．21．见解析【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线段成比例定理证明结论．【详解】证明：作EH∥AC交BC于H，∵点E为AD的中点，∴DH＝HC，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，又DH＝HC，∴BH＝3HC，∵EH∥AC，∴，∴EF＝BF．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键．22．(1)见解析(2)正确，见解析【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，结合平行线分线段成比例定理可得：，由DE＝EP，可知DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得，进而可求得EM与EN的比值；（2）作MH∥BC交AB于点H，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB∥CD，可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性质可证得∠DPC＝∠MNH，进而可得△DPC≌△MNH，从而有DP＝MN．（1）解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图1），则，GF＝BC＝12，∵DE＝EP，∴DF＝FC，∴EF＝CP＝＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，∵AB∥CD，∴；（2）解：正确，证明：作MH∥BC交AB于点H，（如图2），则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，∴∠DCP＝∠MHN，∵AB∥CD，∴∠MNH＝∠CMN，∵NE是DP的垂直平分线，∴∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，∵∠DPC＝90°﹣∠CDP，∴∠DPC＝∠MNH，∴△DPC≌△MNH（AAS），∴DP＝MN．【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．23． A或B ## 【分析】选择A题，过点F作FG⊥AC，垂足为G，设FG=FD=CG=x，利用△AFD≌△AFG，得到AD=AG，计算即可．选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，设CE=EM=x，利用勾股定理，求得AB，根据三角形的面积求得CD，继而求得AD，根据DF∥EM，计算即可．【详解】选择A题，如图1，过点F作FG⊥AC，垂足为G，∵，，∴∠FCG=∠GFC=45°，AB=，AD=DB=，∴CG=FG，∵AE平分，∴FG=FD，设FG=FD=CG=x，∵AF=AF，∴△AFD≌△AFG，∴AD=AG，∵，∴AG=1-x，∴=1-x，解得x=1-，∴CF=，故答案为：．选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，∵AC=4，BC=3，∴AB==5，∴，解得CD=，∴AD===，∵AE平分，∴EC=EM，∵AE=AE，∴△AEC≌△AEM，∴AC=AM=4，MB=AB-AM=5-4=1,设CE=EM=y，则EB=3-y，在直角三角形EMB中， ，解得y=，∵DF∥EM，∴，∴，解得DF=，故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键．24．(1)见解析(2)【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有；（2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长．（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，∵，∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴．（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴，∵AD平分∠BAC，∴，即，∴，∴，∴△ABD的周长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键．
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