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人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题10锐角三角形函数和特殊角的三角函数值(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题10锐角三角形函数和特殊角的三角函数值(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了正弦、余弦、正切的概念辨析，求角的正弦值、余弦值、正切值，求特殊角的三角函数值等内容，欢迎下载使用。
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析 考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点四 求特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（ ）
A．B．C．D．
考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3B．2C．2D．
2．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 _____．
3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长
例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
【变式训练】
1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝___．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知中，，，，则的长为___________．
3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．
考点四 求特殊角的三角函数值
例题：（2022·广东北江实验学校三模）计算：．
【变式训练】
1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算：．
2．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算：
3．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算：
一、选择题
1．（2021春·陕西咸阳·九年级统考期末）的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．（2021春·广东梅州·九年级校考阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，，则的长为（ ）
A．6B．2 C．3 D．9
5．（2022春·山西大同·九年级校考阶段练习）如图，圆O是的外接圆，AD是圆O的直径，若圆O的半径为，，则的值是( )
A．B．C．D．
6．（2022春·河北唐山·九年级统考期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题
7．（2022春·重庆万州·九年级阶段练习）计算__________．
8．（山东省烟台市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则______．
9．（2022秋·上海·九年级阶段练习）如图，在中，点D在边BC上，，，，那么的值是______.
10．（四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，为正方形边的中点，以为边作正方形，连接，则__________．
11．（2022春·福建泉州·九年级泉州五中校考阶段练习）如图，是圆O的直径，弦相交于点E，且，若，C是的中点，则_____．
12．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上，若cm，则AB长为_______cm．
三、解答题
13．（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷）计算：．
14．（2022春·山东烟台·九年级期末）（1）
（2）
15．（2022春·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知：在中，是直径，是的切线，连接与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
17．（2021春·上海青浦·九年级校考期中）在中，，，，点D为边上的一个点（点D不与点B重合），过D作，垂足为E，连接，
(1)如图，将沿直线翻折，当点B正好与点A重合，求的长
(2)如图，将沿直线翻折，当点B落在线段上的F点，此时，求的值；
18．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．
(1)若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
(2)若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
专题10 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析 考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点四 求特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=，
∴csB=，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，csB=，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cs∠BCD=，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴csB≠，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，csB=，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．
考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．
【详解】解：如图，连接AC
在Rt△BEC中，BC=
∵AD⊥BC，
∴×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt△ADB中， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3B．2C．2D．
【答案】A
【分析】过C作CM∥AB，过D作DN⊥MC于N，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】：连接CM，DN，
由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：
CN2＝12+12＝2，
DN2＝32+32＝18，
∴，
∴tan∠DCN＝＝＝3，
∴∠APD的正切值为：3，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定理的应用、正切函数的概念是解题关键 ．
2．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 _____．
【答案】
【分析】连接，根据格点特点得出，，，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
根据方格纸的特点可知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
（1）
证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）
解：如图，
四边形是菱形，
，，，
在中，，，
，
，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长
例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．
【详解】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝___．
【答案】5
【分析】根据，可设BC=5x，则AB=13x，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，，∠C＝90°，
∴，
设BC=5x，则AB=13x，
∵，
∴，解得：x=1或-1（舍去），
∴BC=5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知中，，，，则的长为___________．
【答案】
【分析】由锐角三角函数定义可知，在直角三角形中，正切是该角的对边与邻边的比．利用正切函数得出两直角边的关系，再由勾股定理即可求出另一直角边的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
根据勾股定理：
，
（负值舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．
3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．
【答案】
【分析】首先根据求出AC，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】∵∠B＝90°，
∴．
∵AB＝10，
∴AC＝14，
∴．
∴BC的长为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦值求出AC是解题的关键．
考点四 求特殊角的三角函数值
例题：（2022·广东北江实验学校三模）计算：．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，然后即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算：．
【答案】9
【分析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则进行计算便可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则．
2．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂法则，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义计算即可得解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
3．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】先化简各个项，再计算即可．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据乘方、绝对值、特殊三角函数值、零指数幂先进行化简．
一、选择题
1．（2021春·陕西咸阳·九年级统考期末）的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是解题的关键．
2．（2021春·广东梅州·九年级校考阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点的坐标，然后根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数的特点进行选择即可．
【详解】解：∵，
∴点，
所以关于轴的对称点为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是特殊角三角函数值和关于轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键．
3．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形中三角函数的求法直接可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，，，，
故选B
【点睛】题主要考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），熟记锐角三角函数的求法是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，，则的长为（ ）
A．6B．2 C．3 D．9
【答案】C
【分析】首先利用锐角三角函数关系得出的长，进而利用勾股定理得出的长．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，即，
解得：，
则的长为：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，利用锐角三角函数关系得出的长是解题关键．
5．（2022春·山西大同·九年级校考阶段练习）如图，圆O是的外接圆，AD是圆O的直径，若圆O的半径为，，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先连接，由AD是圆O的直径，可得，又由圆O的半径为，，即可求得的值，又由，即可求得答案．
【详解】解：连接，
∵AD是圆O的直径，
∴，
∵圆O的半径为，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
6．（2022春·河北唐山·九年级统考期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据网格的特点判断是直角三角形，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵由图可知，，，，
∴是直角三角形，且，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，求正切函数值，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
二、填空题
7．（2022春·重庆万州·九年级阶段练习）计算__________．
【答案】
【分析】根据实数的混合运算求解即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
8．（山东省烟台市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则______．
【答案】##0.5
【分析】根据勾股定理和逆定理，得到是直角三角形，利用正切的定义，进行求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得：，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数值．熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理解三角形，是解题的关键．
9．（2022秋·上海·九年级阶段练习）如图，在中，点D在边BC上，，，，那么的值是______.
【答案】##0.5
【分析】由，可得，即可求得，，即可求得
【详解】∵，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
设，
∴，
∴
由得：，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、求角的正切值；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键
10．（四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，为正方形边的中点，以为边作正方形，连接，则__________．
【答案】
【分析】连接，证明，设，则，勾股定理求得，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形，是正方形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求正弦，掌握正弦的定义是解题的关键．
11．（2022春·福建泉州·九年级泉州五中校考阶段练习）如图，是圆O的直径，弦相交于点E，且，若，C是的中点，则_____．
【答案】##
【分析】连接，由是圆O的直径，可证，可证，得到，故，即证是等腰三角形，又是的外角，所以，即，即．
【详解】解：连接．
∵是圆O的直径，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
故，
∴是等腰三角形，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本考查了三角形的内角与外角的关系，圆周角定理即同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
12．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上，若cm，则AB长为_______cm．
【答案】30
【分析】根据题意即可求得即可求得，从而得出，再解直角三角形ABD即可．
【详解】如图：过O点作，，垂足分别为M，N，
由题意知，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，理解题意灵活运用所学知识得出是解题的关键．
三、解答题
13．（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷）计算：．
【答案】
【分析】根据实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
14．（2022春·山东烟台·九年级期末）（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可；
（2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知30度，45度，60度等特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．（2022春·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值．
【详解】（1）解：∵，，
在，，
设，，
由勾股定理可得，即，
解得 （舍去）或，
∴，，
∵平分，，，
∴；
（2）∵，，，
又∵，
∴，
∴，
设，在中，，
解得，即，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知：在中，是直径，是的切线，连接与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图所示，在中，是直径，是的切线，得到，，从而，又，得到，结合是的一个外角，根据外角性质即可得到；
（2）由（1）可知，在中，，，得到，再根据勾股定理得到，从而求出的半径为．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
在中，是直径，
，
，即，
是的切线，
，即，
，
在中，，
，
是的一个外角，
；
（2）解：如图所示：
由（1）知，
在中，，则，
，
，
，
即的半径为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、勾股定理、三角函数求线段长等知识，熟练掌握圆中相关知识以及圆与三角形综合求角度与线段长的方法是解决问题的关键．
17．（2021春·上海青浦·九年级校考期中）在中，，，，点D为边上的一个点（点D不与点B重合），过D作，垂足为E，连接，
(1)如图，将沿直线翻折，当点B正好与点A重合，求的长
(2)如图，将沿直线翻折，当点B落在线段上的F点，此时，求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据垂直的定义得到，证明，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由翻折可得，，，结合（1）根据相似三角形的性质得，，然后求出，进而可以求出的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
由翻转变换的性质可知，，
∵， ∴，
∴， ∵，
∴，
∴ ，
∴，
解得；
（2）由翻折可知：，，，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴ ，
∴，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及翻转变换的性质，锐角三角函数的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及翻转变换的性质是解题的关键．
18．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．
(1)若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
(2)若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据四边形为矩形性质，证明；②根据四边形为矩形性质，证明，证得，，设，则，通过相似得到，根据三角函数，求得；
（2）过点F作于H，设，则，由勾股定理得： ，面积相等，解得： ，解得．
【详解】（1）①证明：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
则，
∴；
（2）解：过点F作于H，
设，则，
由勾股定理得： ，
∵点F是的中点，
∴，
则，
∵，
∴，
解得： ，
则．
【点睛】此题考查了为矩形性质、三角形相似、三角函数，解题关键是熟悉矩形性质、三角形相似、三角函数的相关知识．
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析 考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点四 求特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（ ）
A．B．C．D．
考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3B．2C．2D．
2．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 _____．
3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长
例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
【变式训练】
1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝___．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知中，，，，则的长为___________．
3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．
考点四 求特殊角的三角函数值
例题：（2022·广东北江实验学校三模）计算：．
【变式训练】
1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算：．
2．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算：
3．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算：
一、选择题
1．（2021春·陕西咸阳·九年级统考期末）的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．（2021春·广东梅州·九年级校考阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，，则的长为（ ）
A．6B．2 C．3 D．9
5．（2022春·山西大同·九年级校考阶段练习）如图，圆O是的外接圆，AD是圆O的直径，若圆O的半径为，，则的值是( )
A．B．C．D．
6．（2022春·河北唐山·九年级统考期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题
7．（2022春·重庆万州·九年级阶段练习）计算__________．
8．（山东省烟台市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则______．
9．（2022秋·上海·九年级阶段练习）如图，在中，点D在边BC上，，，，那么的值是______.
10．（四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，为正方形边的中点，以为边作正方形，连接，则__________．
11．（2022春·福建泉州·九年级泉州五中校考阶段练习）如图，是圆O的直径，弦相交于点E，且，若，C是的中点，则_____．
12．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上，若cm，则AB长为_______cm．
三、解答题
13．（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷）计算：．
14．（2022春·山东烟台·九年级期末）（1）
（2）
15．（2022春·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知：在中，是直径，是的切线，连接与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
17．（2021春·上海青浦·九年级校考期中）在中，，，，点D为边上的一个点（点D不与点B重合），过D作，垂足为E，连接，
(1)如图，将沿直线翻折，当点B正好与点A重合，求的长
(2)如图，将沿直线翻折，当点B落在线段上的F点，此时，求的值；
18．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．
(1)若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
(2)若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
专题10 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析 考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点四 求特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=，
∴csB=，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，csB=，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cs∠BCD=，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴csB≠，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，csB=，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．
考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．
【详解】解：如图，连接AC
在Rt△BEC中，BC=
∵AD⊥BC，
∴×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt△ADB中， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3B．2C．2D．
【答案】A
【分析】过C作CM∥AB，过D作DN⊥MC于N，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】：连接CM，DN，
由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：
CN2＝12+12＝2，
DN2＝32+32＝18，
∴，
∴tan∠DCN＝＝＝3，
∴∠APD的正切值为：3，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定理的应用、正切函数的概念是解题关键 ．
2．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 _____．
【答案】
【分析】连接，根据格点特点得出，，，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
根据方格纸的特点可知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
（1）
证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）
解：如图，
四边形是菱形，
，，，
在中，，，
，
，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长
例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．
【详解】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝___．
【答案】5
【分析】根据，可设BC=5x，则AB=13x，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，，∠C＝90°，
∴，
设BC=5x，则AB=13x，
∵，
∴，解得：x=1或-1（舍去），
∴BC=5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知中，，，，则的长为___________．
【答案】
【分析】由锐角三角函数定义可知，在直角三角形中，正切是该角的对边与邻边的比．利用正切函数得出两直角边的关系，再由勾股定理即可求出另一直角边的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
根据勾股定理：
，
（负值舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．
3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．
【答案】
【分析】首先根据求出AC，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】∵∠B＝90°，
∴．
∵AB＝10，
∴AC＝14，
∴．
∴BC的长为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦值求出AC是解题的关键．
考点四 求特殊角的三角函数值
例题：（2022·广东北江实验学校三模）计算：．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，然后即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算：．
【答案】9
【分析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则进行计算便可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则．
2．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂法则，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义计算即可得解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
3．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】先化简各个项，再计算即可．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据乘方、绝对值、特殊三角函数值、零指数幂先进行化简．
一、选择题
1．（2021春·陕西咸阳·九年级统考期末）的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是解题的关键．
2．（2021春·广东梅州·九年级校考阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点的坐标，然后根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数的特点进行选择即可．
【详解】解：∵，
∴点，
所以关于轴的对称点为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是特殊角三角函数值和关于轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键．
3．（2022春·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形中三角函数的求法直接可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，，，，
故选B
【点睛】题主要考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），熟记锐角三角函数的求法是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，，则的长为（ ）
A．6B．2 C．3 D．9
【答案】C
【分析】首先利用锐角三角函数关系得出的长，进而利用勾股定理得出的长．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，即，
解得：，
则的长为：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，利用锐角三角函数关系得出的长是解题关键．
5．（2022春·山西大同·九年级校考阶段练习）如图，圆O是的外接圆，AD是圆O的直径，若圆O的半径为，，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先连接，由AD是圆O的直径，可得，又由圆O的半径为，，即可求得的值，又由，即可求得答案．
【详解】解：连接，
∵AD是圆O的直径，
∴，
∵圆O的半径为，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
6．（2022春·河北唐山·九年级统考期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据网格的特点判断是直角三角形，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵由图可知，，，，
∴是直角三角形，且，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，求正切函数值，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
二、填空题
7．（2022春·重庆万州·九年级阶段练习）计算__________．
【答案】
【分析】根据实数的混合运算求解即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
8．（山东省烟台市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则______．
【答案】##0.5
【分析】根据勾股定理和逆定理，得到是直角三角形，利用正切的定义，进行求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得：，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数值．熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理解三角形，是解题的关键．
9．（2022秋·上海·九年级阶段练习）如图，在中，点D在边BC上，，，，那么的值是______.
【答案】##0.5
【分析】由，可得，即可求得，，即可求得
【详解】∵，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
设，
∴，
∴
由得：，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、求角的正切值；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键
10．（四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，为正方形边的中点，以为边作正方形，连接，则__________．
【答案】
【分析】连接，证明，设，则，勾股定理求得，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形，是正方形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求正弦，掌握正弦的定义是解题的关键．
11．（2022春·福建泉州·九年级泉州五中校考阶段练习）如图，是圆O的直径，弦相交于点E，且，若，C是的中点，则_____．
【答案】##
【分析】连接，由是圆O的直径，可证，可证，得到，故，即证是等腰三角形，又是的外角，所以，即，即．
【详解】解：连接．
∵是圆O的直径，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
故，
∴是等腰三角形，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本考查了三角形的内角与外角的关系，圆周角定理即同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
12．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上，若cm，则AB长为_______cm．
【答案】30
【分析】根据题意即可求得即可求得，从而得出，再解直角三角形ABD即可．
【详解】如图：过O点作，，垂足分别为M，N，
由题意知，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，理解题意灵活运用所学知识得出是解题的关键．
三、解答题
13．（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷）计算：．
【答案】
【分析】根据实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
14．（2022春·山东烟台·九年级期末）（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可；
（2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知30度，45度，60度等特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．（2022春·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值．
【详解】（1）解：∵，，
在，，
设，，
由勾股定理可得，即，
解得 （舍去）或，
∴，，
∵平分，，，
∴；
（2）∵，，，
又∵，
∴，
∴，
设，在中，，
解得，即，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知：在中，是直径，是的切线，连接与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图所示，在中，是直径，是的切线，得到，，从而，又，得到，结合是的一个外角，根据外角性质即可得到；
（2）由（1）可知，在中，，，得到，再根据勾股定理得到，从而求出的半径为．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
在中，是直径，
，
，即，
是的切线，
，即，
，
在中，，
，
是的一个外角，
；
（2）解：如图所示：
由（1）知，
在中，，则，
，
，
，
即的半径为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、勾股定理、三角函数求线段长等知识，熟练掌握圆中相关知识以及圆与三角形综合求角度与线段长的方法是解决问题的关键．
17．（2021春·上海青浦·九年级校考期中）在中，，，，点D为边上的一个点（点D不与点B重合），过D作，垂足为E，连接，
(1)如图，将沿直线翻折，当点B正好与点A重合，求的长
(2)如图，将沿直线翻折，当点B落在线段上的F点，此时，求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据垂直的定义得到，证明，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由翻折可得，，，结合（1）根据相似三角形的性质得，，然后求出，进而可以求出的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
由翻转变换的性质可知，，
∵， ∴，
∴， ∵，
∴，
∴ ，
∴，
解得；
（2）由翻折可知：，，，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴ ，
∴，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及翻转变换的性质，锐角三角函数的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及翻转变换的性质是解题的关键．
18．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．
(1)若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
(2)若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据四边形为矩形性质，证明；②根据四边形为矩形性质，证明，证得，，设，则，通过相似得到，根据三角函数，求得；
（2）过点F作于H，设，则，由勾股定理得： ，面积相等，解得： ，解得．
【详解】（1）①证明：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
则，
∴；
（2）解：过点F作于H，
设，则，
由勾股定理得： ，
∵点F是的中点，
∴，
则，
∵，
∴，
解得： ，
则．
【点睛】此题考查了为矩形性质、三角形相似、三角函数，解题关键是熟悉矩形性质、三角形相似、三角函数的相关知识．
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