专题09 相似三角形中的动点问题 -2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题09 相似三角形中的动点问题
【典型例题】
1．（2020·银川外国语实验学校初三月考）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=8,AD=3,BC=4，点P为边AB上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
2.（2020·宁夏大学附属中学初三期中）如图，在RtΔABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当和相似时，求此时x的值

【答案】
解：（1）∵∠B=90°，AC=10 cm，BC=6 cm，
∴AB=8 cm．
由运动知，BQ=x（cm），AP=2x（cm），
∴PB=（8-2x）（cm），
故答案为：x，（8-2x）；
（2）由题意，得
8-2x=x，
∴x=．
∴当x=时，△PBQ为等腰三角形；
设经过x秒，则AP=2x，BQ=x，
∴PB=8-2x，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴当∠BPQ=∠A时，△PBQ∽△ABC，则
，即，
解得x=2.4．
当∠BPQ=∠C时，△BPQ∽△BCA，
∴，即，
解得x=．
所以，经过2.4或秒△PBQ和相似．


3．（2019·江苏海陵·泰州中学附属初中初三月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

【答案】
（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=；
当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=，
∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．



【专题训练】
一、 选择题
1．（2020·全国初三课时练习）如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )

A．3 B．3或 C．3或 D．
【答案】B
2．（2019·山东中区·初三期中）如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）

A．3秒或4．8秒 B．3秒
C．4．5秒 D．4．5秒或4．8秒
【答案】A
3．（2020·青海西宁·初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）

A． B．2 C．2 D．3
【答案】B
4．（2019·四川南充·初三三模）如图， 中， ，是边上的动点，过作交于点是的中点，当平分时， （ ）

A． B． C． D．
【答案】A
5．（2020·桐柏县新集一中初三月考）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是(　　)

A．2 B． C． D．1
【答案】B
6．如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B


二、 填空题
7．（2020·山东省泰安第六中学初二期中）如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=______．

【答案】4或6
8．（2020·江西吉安·初三其他）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是____.

【答案】1或或2﹣．
9．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校初三期中）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= _____ ．

【答案】．
10．（2020·江苏初三期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝20cm，弦BC＝12cm，F是弦BC的中点．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t≤10），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_______．

【答案】5或8.2
11．（2020·合肥市第四十五中学初三期中）如图，在矩形ABCD中，点E是线段CD上的一个动点，连接AE，过A作AF⊥AE交射线DF于点F，若AD=2AB=4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF=1时，EG=_________．

【答案】或
12．（2020·全国初三专题练习）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P是线段AD上的动点，过P作PF⊥AE于F，当以点P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似时，AP的长为_______．

【答案】3或

三、 解答题
13．（2020·山东初三期中）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

【答案】
解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，
则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t．
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
即，解得：t=2s；
当时，△BPQ∽△BCA，
即，解得：t=0.8s；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．

14．（2019·山东省济南汇才学校初三期中）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F．

（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；
（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．
【答案】
(1)证明：∵AD∥BC,
∴∠PAF=∠AEB.
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE.
(2)

若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.
如图，连接PE,DE,
∴PE∥AB.
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA=EB=2，即x=2.

如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE,
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点.
∵AE=，
∴EF=AE=.
∵，
∴PE=5，即x=5.
∴满足条件的x的值为2或5.

15．（2020·宁夏永宁·初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，，即，解得；
②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）．
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，

∴，
即．
∴．
∴

．
∵，
∴S有最小值．
当时，S最小值=．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．

16．（2020·深圳市海滨中学初三期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2

（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
【答案】
解：（1）如图1，过点P作PH⊥BC于点H，

在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，
当运动ts（0＜t＜5）时，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，
∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC，
∴△PHC∽△ABC，
∴
∴PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：当t的值为2s或3s时，△CQP的面积等于3.6cm2时．
（2）如图2，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，

∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得t＝（秒）；
如图3，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，

∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴＝，
即＝，
解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．

17．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
(2)设△BPQ的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(3)作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．

【答案】
是等边三角形
当时
，
∴
∴
又∵
∴是等边三角形；

过作，垂足为
由，得
由，得
∴
∴；
∵
∴，
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∴，
∴四边形是平行四边形
∴
又∵，
∴
∵，
∴
∴
即
解得
∴当时，．

18．（2019·辽宁昌图·初三月考）已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

【答案】
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝ ＝＝10（cm），
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；
∴BP＝t，AQ＝2t，则AP＝10﹣t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴=
∴=
∴t＝
∴当t＝s时，PQ∥BC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，

∵PE⊥AC，BC⊥AC，
∴PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴PE＝6﹣t，
∴y＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t．
（3）∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm，
∴△ABC的周长为24cm，△ABC的面积为24cm2，
∵线段PQ恰好把Rt△ACB的周长平分，
∴AP+AQ＝×24＝12，
∴10﹣t+2t＝12，
∴t＝2，
当t＝2时，y＝﹣×4+12≠×24，
∴不存在t的值使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）如图，连接P'P交AC于点O，

∵四边形PQP′C为菱形
∴PO⊥AC，OQ＝OC，
∴PO∥BC，
∴△APO∽△ABC，
∴=，，
∴=，，
∴AO＝ ，
∵OQ＝OC，
∴AO﹣AQ＝AC﹣AO，
∴2×﹣2t＝8，
∴t＝，
∴当t＝s时，四边形PQP′C为菱形．

19．（2020·江苏初三期中）如图①，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作△ABE的外接⊙O，交AD于点F，交DE于点G，连接FG．
（1）若∠DFG=60°，则∠AED= °；
（2）当CE的长为 时，△DFG为等腰三角形；
（3）如图②，当⊙O与CD相切时，求CE的长．

【答案】
解：（1）由题意，四边形AEGF为⊙O的内接四边形，
∴∠AED=∠DFG=60°，
故答案为：60°；
（2）连接EF，如图①，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠EFD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，∠ABC=∠C=∠CDA=90°，
∴四边形DCEF为矩形，
∴EF=CD=4，DF=CE，
∵四边形AEGF为⊙O的内接四边形，
∴∠AED=∠DFG，∠EAD=∠DGF，
∴△ADE∽△GDF，
∵△GDF是等腰三角形，
∴△ADE也是等腰三角形，
分三种情况：
①当AE=DE时，
∵∠EFA=90°，即EF⊥AD，
∴DF=AF=AD=3，即CE=3；
②当AE=AD时，
在Rt△ABE中，BE=，
∴CE=BC﹣BE=6﹣；
③当AD=DE时，
在Rt△DCE中，CE=
综上，CE的长为3或6﹣或，
故答案为：3或6﹣或；

（3）证明：设切点为H，连接OH、OB，并反向延长OH交AB于点Q，
则OH⊥CD，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB∥CD，∠ABC=∠BCD =90°，
∴ 四边形BCHQ为矩形，
∴ OQ⊥AB，HQ=BC=6，
在Rt△ABE中，OA=OE，
∴ BO=AO=AE，
∴ AQ=BQ，
∴ OQ为△ABE的中位线，
设⊙O的半径为r，则AE=2r，OQ=6﹣r，BE=2(6﹣r)，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：(2r)2=[2(6-r)]2+42，
解得r=，
∴BE=2(6﹣r)=，
∴CE=6﹣BE=．