四川省成都市第十一中学2024-2025学年高一上学期入学分班质量检测数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 已知一次函数y=kx+bk≠0图象经过第二、三、四象限，则一次函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据一次函数的性质确定，的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限，从而得到结果.
【详解】一次函数经过第二，三，四象限，
，，
，，
所以一次函数的图象经过一、二、三象限.
故选：A.
2. 关于数据，下面结果中，错误的是（ ）
A. 中位数为1B. 方差为26C. 众数为2D. 平均数为0
【答案】B
【解析】
【分析】结合中位数、方差、众数、平均数的定义求解可得.
【详解】A项，数据从小到大排序为，中位数为1，故A正确；
BD项，， ，故B错误，D正确；
C项，众数是2，故C正确；
故选：B.
3. 如图，在直角坐标系中，有两点2,0和0,3，则这两点之间的距离是（ ）

A. B. 13C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】在直角三角形中根据勾股定理即可求解.
【详解】根据勾股定理得，这两点之间的距离为.
故选：A
4. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐项检查是否满足最简二次根式的条件即可.
【详解】A项，被开方数含分母，不是最简二次根式，
可作如下化简：，故A错误；
B项，被开方数为小数，不是最简二次根式，
可作如下化简：，故B错误；
C项，，满足最简二次根式条件，是最简二次根式，故C正确；
D项，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，
可作如下化简：，故D错误；
故选：C.
5. 二次根式、、、、、中，最简二次根式有（ ）个.
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，直接利用最简二次根式的定义，逐个判断，即可求解.
【详解】根据最简根式的定义，可得二次根式，，，，，中，
最简二次根式有： 、、，共3个.
故选：C
6. 直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】如图，根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线求出即可.
【详解】由题意，直角三角形中，不妨设，.
如图，取AB中点D.
由勾股定理得，，
是斜边AB上的中线，
.
故选：D.
7. 如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为偶数的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】转盘转动共有三种结果，且等可能性发生，由概率公式求解即可.
【详解】因为一共三种结果，转盘停止后指向偶数的情况一种，且三种结果等可性发生.
所以指针指向的数字为偶数的概率是.
故选：D.
8. 如果把分式中x、y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的4倍B. 扩大为原来的2倍
C. 不变D. 缩小为原来的
【答案】B
【解析】
【分析】根据都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论.
【详解】原分式为，
都扩大后分式变为，
即分式的值扩大为原来的2倍.
故选：B.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将绕点B顺时针旋转到的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则_____度.

【答案】135
【解析】
【分析】连接，结合图形旋转的性质推理计算得解.
【详解】如图，连接，

将绕点B顺时针旋转到的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
则，，，于，，
则，是直角三角形，即，
所以.
故答案为：135
10. 在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为30cm，则甲、乙两地的实际距离是__________千米.
【答案】1.5####
【解析】
【分析】设相距30cm的两地实际距离为cm，根据题意可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位.
【详解】设地图上相距30cm的两地实际距离为cm，
根据题意得：，
解得：，
，
甲、乙两地的实际距离是1.5千米.
故答案为：1.5.
11. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由图形的对称性可得每个图形与下一个图形面积间的比例关系，依次求解由规律可得.
【详解】已知第一个矩形的面积为；
第二个矩形的面积为；
第三个矩形的面积为；
…
故第个矩形的面积为.
故答案为：.
12. 当时，____.
【答案】4
【解析】
【分析】根据x的取值范围，可判断出和的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简.
【详解】
故原式
故答案为：4.
13. 廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表：
则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是______小时.
【答案】2.7
【解析】
【分析】依据加权平均数的概念求解可得.
【详解】这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是：
.
故答案为：2.7
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，cm，cm，分别是的中点，点P是对角线上的一个动点，设cm，cm，cm；小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：
（1）画函数的图象
①按下表自变量的值进行取点、画图、测量，得到了与x的几组对应值：
②在所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数的图象；
（2）画函数的图象:
在同一坐标系中，画出函数的图象；
（3）根据画出的函数的图象、函数的图象，解决问题
①函数的最小值是________________；
②函数的图象与函数的图象的交点表示的含义是________________；
③若，的长约为________________cm
【答案】（1）①0.71；②图象见解析；
（2）图象见解析 （3）①0.5；②当cm时，AP的长为2cm；③2.5
【解析】
【分析】（1）①由表格得点即可；②先由①描点，再用光滑曲线顺次连接各点，即可得出函数图象；利用数形结合，根据当时，得出值，填入表格即可；
（2）过点F作于M，由菱形的性质各三角形中位线性质求得，所以，再利用描点法画出的图象即可；
（3）①利用数形结合，由函数的图象求解即可；②过点F作于M，可利用几何背景意义求解；③因由则利用图象求解即可.
【小问1详解】
①由函数对称性知道，，则如下列表：图象如图所示：
【小问2详解】
过点F作于M，如图，
∵菱形，
∵F是的中点，
∴M是的中点，
，
，
利用描点法作出图象，如图所示：
【小问3详解】
如上图；
①由图象可得：函数的最小值是0.5；
②答案不唯一，用几何背景意义知：函数的图象与函数的图象的交点表示的含义是：当cm时，由图象长为2cm；
③，又，看做直线与的交点，
利用图象：当，故的长约为.
15. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是多少？
【答案】21升
【解析】
【分析】设每次倒出药液为，依次求出容器内倒出后每次剩下的纯药液，由已知列方程即可求出.
【详解】设每次倒出液体，则第一次倒出后剩下的纯药液为，
第二次加满水再倒出溶液，剩下的纯药液为，
根据题意列方程得：，
解得：（舍），.
答：每次倒出液体21升.
16. 如图1，在中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧；②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD.
（1）填空： ；AC和BD的位置关系是
（2）如图2，当时，猜想平面四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论.
（3）在（2）的条件下，若，，则点B到AD的距离是 cm，若将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长为 cm.
【答案】（1）ADC；AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形，证明见解析；
（3）；.
【解析】
【分析】（1）根据作图方法和三角形全等的判定方法解答，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得；
（2）根据四条边都相等的四边形是菱形证明；
（3）设点B到AD的距离为h，然后根据菱形的面积列方程求解即可；再根据正方形的面积公式和菱形的面积相等求解正方形的边长可得.
【小问1详解】
在和中，
由图知，
∴.
∵，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
；
【小问2详解】
平面内四边形ABCD是菱形.
证明：由（1）得，
∵，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形；
【小问3详解】
设点B到AD的距离为h，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，且，
在中，，
菱形ABCD的面积为，即，解得，
设拼成的正方形的边长为a，则，解得.
所以，点B到AD的距离是cm，拼成的正方形的边长为cm.
17. 如图，已知反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点，在该函数的图象上，试比较与的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式，根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的性质判定图象的单调性，从而判断的大小关系即可.
小问1详解】
因为反比例函数的图象经过点，
将，代入解析式可得，解得，
所以解析式为.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
又，所以，两个点在第一象限，且.
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征.
18. 计算：
（1）
（2）已知，试求以a、b、c为三边三角形的面积.
【答案】（1）；
（2）1
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可.
（2）利用非负数的性质求出，再判断三角形形状并计算出面积.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
由，得，
则，，，有，
因此以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，
所以所求面积是.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于__.
【答案】##
【解析】
【分析】一次函数图象与两坐标轴围成的面积，就要先求出一次函数图象与两坐标轴的交点，再由直角三角形面积公式求三角形面积，结合图象经过第一、三、四象限，判断k的取值范围，进而求出k的值.
【详解】由题意知.
一次函数与两坐标轴的交点分别为，，
与两坐标轴围成的三角形的面积，
，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，.
故答案为：.
20. 关于t的分式方程的解为负数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，由分式方程的解是负数，即可确定出的范围即可.
【详解】由方程，去分母得，解得，
又由分式方程的解为负数，得到，且，所以.
故答案为：.
21. 化简： 的结果是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用提取公因数与平方差公式，进行数式约分运算化简可得.
【详解】原式= ，
故答案为：.
22. 若一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是____.
【答案】10
【解析】
【分析】先解方程求得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的第三边边长，进而求周长即可.
【详解】已知三角形的两边长为2和4，设第三边边长为，
则有，即.
由方程，解得（舍），.
所以第三边的边长为4.
因此这个三角形的周长是.
故答案为：10.
23. 将直线向左平移2个单位，得到直线的函数解析式为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据图象平移的规律，左加右减，上加下减，即可得到答案.
【详解】由题意，所求直线的函数解析式为，
化简得.
故答案为：.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 甲、乙两个工程队合作完成一项工程，两队合做2天后由乙队单独做1天就完成了全部工程，已知乙队单独做所需的天数是甲队单独做所需天数的1.5倍，求甲、乙两队单独做各需多少天完成该项工程？
【答案】甲队单独需4天完成该项工程，乙队单独做需6天完成该项工程
【解析】
【分析】设完成该项工程工作量为整体“1”，甲队单独做需天完成该项工程，则乙队单独做需天完成该项工程，根据“乙1天的工作量甲乙合作2天的工作量”列出方程解答即可.
【详解】设甲队单独做需天完成该项工程，则乙队单独做需天完成该项工程，
由题意得解得：
经检验是原分式方程的解.
答：甲队单独做需4天完成该项工程，乙队单独做需6天完成该项工程.
25. 随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购买3张电影票的费用比现场购买2张电影票的费用少10元；从网上购买5张电影票的费用和现场购买1张电影票的费用共200元.
（1）求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元?
（2）2019年五一当天，该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为500张.五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变，结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低2元，售出总票数就比五一当天增加4张.经统计，5月5日售出的总票数中有.的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元?
【答案】（1）网上购票价格30元，现场购票价格50元；
（2）40元
【解析】
【分析】（1）首先设网上每张电影票价格为x元，现场每张电影票价格为y元，然后根据题意，列出关系式，即可得解；
（2）首先设现场购票每张电影票的价格下降x元，然后根据题意列出关系式，即可得解.
【小问1详解】
设网上每张电影票价格为x元，现场每张电影票价格为y元.
解得：
答：网上购票价格30元，现场购票价格50元.
【小问2详解】
设现场购票每张电影票的价格下降x元
解得（舍去），,
答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元.
26. 某学校为了创建书香校园，去年购买了一批图书.其中科普书的单价比文学书的单价多8元，用1800元购买的科普书的数量与用1000元购买的文学书的数量相同.
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元；
（2）这所学校今年计划再购买文学书和科普书这两种共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2088元.今年文学书的单价比去年提高了，科普书的单价与去年相同，且每购买1本科普书就免费赠送1本文学书，求这所学校今年至少要购买多少本科普书？
【答案】（1）文学书的单价是10元，科普书的单价是18元；
（2）至少要购买52本科普书.
【解析】
【分析】（1）设去年购买的文学书的单价是元，科普书的单价是元，根据“用1800元购买的科普书的数量与用1000元购买的文学书的数量相同”列出方程求解即可；
（2）设这所学校今年要购买本科普书，根据“购买文学书和科普书的总费用不超过2088元”列出不等式.
【小问1详解】
设去年购买的文学书的单价是x元，科普书的单价是元，
根据题意，得，
解得.
经检验 是原方程的解.
当时，.
答：去年购买的文学书的单价是10元，科普书的单价是18元；
【小问2详解】
设这所学校今年要购买y本科普书，
由题意知，可送本文学书，再应购买本文学书，
其中由，解得.
根据题意，得.
解得.
答：这所学校今年至少要购买52本科普书.时间（单位：小时）
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1.12
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