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北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定同步测试题
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这是一份北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定同步测试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春•定西期末）若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 cm2B．2 cm2C．cm2D．2cm2
2．（2021春•鄢陵县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝ABB．AC＝ADC．∠ABC＝90°D．OD＝AC
3．（2021春•新吴区月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．（2021春•建阳区期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．内角和为360°D．对角线平分对角
5．（2022春•招远市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形这四种四边形中，对角线互相垂直平分的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
6．（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
7．（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4B．C．2D．1
8．（2021•武进区校级自主招生）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10B．12C．14D．16
9．（2021春•惠山区期中）如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（ ）
A．2﹣2B．﹣1C．2﹣D．﹣1
10．（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．2B．4C．4﹣D．4+
二、填空题。
11．（2022春•海伦市期末）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，则MN的长为 ．
12．（2022春•新洲区期中）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．
13．（2022•东莞市校级一模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
14．（2021春•辛集市期末）如图，两条互相垂直的线段AE、BF将正方形ABCD分割成①、②、③、④四块（图1），好围成一个大正方形GHJK（图2），若MN+KR＝3，∠QMK＝60°，则AB的长是 ．
15．（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在正方形ABCD中，边长AB为5，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在正方形的边AD，AB，CD上，AE＝2，DH＝3连接CG，则△CHG的面积等于 ．
16．（2021秋•抚远市期末）如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 度．
17．（2022春•上虞区期末）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 平方厘米．
18．（2021•高阳县模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．
（1）BD的长为 ；
（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为 ；
（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝ ．
三、解答题。
19．（2022•东明县二模）已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形
20．（2021春•阳谷县期末）如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F．求证：DE＝BF+EF．
21．（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
22．（2021春•饶平县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，连接BE、CE、若BE＝CE．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）连接BD交CE于点H，连接AH交BE于点G，求∠AGB的度数
23．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．
（1）若OF＝5，求FH的长；
（2）求证：BF＝OH+CF．
24．（2022春•西湖区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．
（1）求证：DM＝MN；
（2）求证：EM∥CN．
25．（2022•东阿县三模）如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是菱形？是正方形？
26．（2022春•石阡县期中）（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，AC交BD于O，求证：OE＝FO；
（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
专题1.3 正方形的性质与判定（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022春•定西期末）若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 cm2B．2 cm2C．cm2D．2cm2
【答案】B。
【解答】解：∵正方形的对角线长为2cm，
∴这个正方形的面积＝×22＝2cm2．
故选：B．
2．（2021春•鄢陵县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝ABB．AC＝ADC．∠ABC＝90°D．OD＝AC
【答案】C。
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：C．
3．（2021春•新吴区月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C。
【解答】解：A、只有两组对边平行的四边形是平行四边形，故此选项错误；
B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，此选项正确；
D、根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；
故选：C．
4．（2021春•建阳区期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．内角和为360°D．对角线平分对角
【答案】A。
【解答】解：A正确，因为正方形的四个角都是直角而菱形不是；
B错误，因为正方形和菱形的两组对边都相等；
C错误，因为正方形和菱形的内角和均为360°；
D错误，因为正方形和菱形的对角线均平分对角．
故选：A．
5．（2022春•招远市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形这四种四边形中，对角线互相垂直平分的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B。
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分，且相等；菱形的对角线互相平分，且互相垂直；正方形的对角线互相平分，且相等、互相垂直；
∴对角线互相垂直平分的是菱形和正方形，
故选：B．
6．（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】B。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴DA＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
7．（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4B．C．2D．1
【答案】C。
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
8．（2021•武进区校级自主招生）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】D。
【解答】解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，
在梯形GDBE中，S△DGE＝S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），
同理S△GKE＝S△GFE．
∴S阴影＝S△DGE+S△GKE，
＝S△GEB+S△GEF，
＝S正方形GBEF，
＝4×4
＝16
故选：D．
9．（2021春•惠山区期中）如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（ ）
A．2﹣2B．﹣1C．2﹣D．﹣1
【答案】D。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝CD＝DA＝1，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACD，
∴∠BCE＝67.5°，∠DCE＝22.5°，
∵∠BEC＝∠EDC+∠DCE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∵BC＝1，
∴BE＝1，
∴DE＝BD﹣BE＝﹣1，
故选：D．
10．（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．2B．4C．4﹣D．4+
【答案】A。
【解答】解：延长DF交AE于G，如图：
∵AB＝10，AE＝8，BE＝6，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得，△DFC是直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵∠DCF+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADG，
∴∠BAE＝∠ADG，
∵∠BAE+∠DAG＝90°，
∴∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠DGA＝90°，即△AGD是直角三角形，
在△AGD和△BAE中，
，
∴△AGD≌△BAE（ASA），
∴AG＝BE＝6，DG＝AE＝8，
∴EG＝8﹣6＝2，
同理可得：GF＝2，
∴Rt△EFG中，EF＝＝2，
故选：A．
二、填空题。
11．（2022春•海伦市期末）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，则MN的长为 2.5 ．
【答案】2.5。
【解答】解：连接AG，CG，
∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形CFGE是矩形，
∴CG＝EF＝5，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG＝5，
∵M，N分别是AB，BG的中点，
∴MN＝AG＝2.5，
故答案为：2.5．
12．（2022春•新洲区期中）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．
【答案】。
【解答】解：如图，当BF如图位置时，
∵AB＝AB，∠BAF＝∠ABE＝90°，AE＝BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM＝∠BAM，
∴AM＝BM，AF＝BE＝6，
∵AB＝8，BE＝6，
∴AE＝＝＝10，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS＝4，SM是△ABF的中位线，
∴SM＝BE＝×6＝3，
∴BM＝AE＝×10＝5，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG＝AE＝10，∠AEB＝∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC＝BE：BG，
∴BH＝．
13．（2022•东莞市校级一模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 9 ．
【答案】9。
【解答】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，
∴S1﹣S2＝9，
故答案为9．
14．（2021春•辛集市期末）如图，两条互相垂直的线段AE、BF将正方形ABCD分割成①、②、③、④四块（图1），好围成一个大正方形GHJK（图2），若MN+KR＝3，∠QMK＝60°，则AB的长是 2 ．
【答案】2。
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABF+∠FBC＝90°，
∴AE⊥BF，∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠FBC＝∠BAE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，（ASA），
∴AE＝BF，∠AEB＝∠BFC，
即可确定图2为边长等于AE的正方形，
MN＝BE，KR＝ET，∠BFC＝∠QMK＝60°，
∴∠FBC＝90°﹣∠BFC＝30°，∠AEB＝∠BFC＝60°，
∴在Rt△BET中，BE＝2ET，
又∵MN+KR＝3，
∴BE+ET＝3，
∴ET＝1，BE＝2，
在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝30°，AE＝2BE＝4，
∴AB＝＝2，
故答案为：2．
15．（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在正方形ABCD中，边长AB为5，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在正方形的边AD，AB，CD上，AE＝2，DH＝3连接CG，则△CHG的面积等于 2 ．
【答案】2。
【解答】解：过G作GM⊥DC，与DC的延长线交于点M，作GN∥DC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠M＝90°，DC∥AB∥GN，
∴∠MHG＝∠HGN，∠NGF＝∠GFB，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG∥EF，EF＝GH，
∴∠HGN+∠NGF+∠EFG＝180°，
∵∠AFE+∠GFB+∠EFG＝180°，
∴∠AFE＝∠MHG，
∴△AEF≌△MGH（AAS），
∴AE＝MG＝2，
∵正方形ABCD，CD＝AB＝5，DH＝3，
∴CH＝5﹣3＝2，
∴△CHG的面积＝．
16．（2021秋•抚远市期末）如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 60 度．
【答案】60。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
17．（2022春•上虞区期末）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 143 平方厘米．
【答案】143。
【解答】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x，
∵图中最小正方形边长是1，
∴其余的正方形边长分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，
∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，
∴x＝7，
∴长方形的长为x+x﹣1＝13，宽为x+x﹣3＝11，面积为13×11＝143平方厘米．
故答案为：143．
18．（2021•高阳县模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．
（1）BD的长为 3 ；
（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为 PD＝QD ；
（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝ 18 ．
【答案】18。
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，∠A＝90°，
∴BD＝＝＝3，
故答案为：3；
（2）解：当BD平分∠PBQ时，
∵∠PBQ＝45°，
∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
在△QBD和△PBD中，
，
∴△QBD≌△PBD（SAS），
∴PD＝QD，
故答案为：PD＝QD；
（3）当BD不平分∠PBQ时，
∵AB∥CQ，
∴∠ABQ＝∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，
∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，
∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，
∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，
∴∠BDQ＝∠BDP，
∴△BQD∽△PBD，
∴，
∴PD•QD＝BD2＝32+32＝18，
故答案为：18．
三、解答题。
19．（2022•东明县二模）已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形
【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF
∴DO﹣DF＝BO﹣BE
∴FO＝EO，且AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形AECF是菱形
20．（2021春•阳谷县期末）如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F．求证：DE＝BF+EF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AP，
∴∠DEP＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEP＝∠AED，
在△ABF与△DAE中，
∠AFB＝∠AED，∠ADE＝∠BAF，AD＝AB，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF，
∴DE＝BF+EF．
21．（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
22．（2021春•饶平县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，连接BE、CE、若BE＝CE．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）连接BD交CE于点H，连接AH交BE于点G，求∠AGB的度数
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠CAD＝90°，
∵BE＝CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴∠1＝∠2；
（2）∵ABCD是正方形，
∴∠ADH＝∠CDH，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DAH，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝90°．
23．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．
（1）若OF＝5，求FH的长；
（2）求证：BF＝OH+CF．
【解答】（1）解：∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF＝∠ECF．
∵OC＝CH，CF＝CF，
在△OCF和△HCF中，
，
∴△OCF≌△HCF（SAS）．
∴FH＝OF＝5，
即FH的长为5；
（2）证明：在BF上截取BK＝CF，连接OK．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝180°﹣∠BOC﹣∠DBC＝45°．
∴∠OCB＝∠DBC．
∴OB＝OC．
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝90°．
∵∠OBK＝180°﹣∠BOC﹣∠OGB＝90°﹣∠OGB，
∠OCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FGC＝90°﹣∠FGC，
且∠OGB＝∠FGC，
∴∠OBK＝∠OCF．
在△OBK和△OCF中，
，
∴△OBK≌△OCF（SAS）．
∴OK＝OF，∠BOK＝∠COF．
∵∠BOK+∠KOG＝∠BOC＝90°，
∴∠COF+∠KOG＝90°，即∠HOF＝90°．
∴∠OHF＝∠OFH＝（180°﹣∠KOF）＝45°．
∴∠OFC＝∠OFK+∠BFC＝135°．
∵△OCF≌△HCF，
∴∠HFC＝∠OFC＝135°，
∴∠OFH＝360°﹣∠HFC﹣∠OFC＝90°．
∴∠FHO＝∠FOH＝（180°﹣∠OFH）＝45°．
∴∠HOF＝∠OFK，∠KOF＝∠OFH．
∴OH∥FK，OK∥FH，
∴四边形OHFG是平行四边形．
∴OH＝FK．
∵BF＝FK+BK，
∴BF＝OH+CF．
24．（2022春•西湖区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．
（1）求证：DM＝MN；
（2）求证：EM∥CN．
【解答】（1）证明：在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，如图所示：
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∵DF＝BM，
∴AF＝AM，
∴△FAM是等腰直角三角形，
∴∠AFM＝45°，
∴∠MFD＝135°，
∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，
∴∠CBN＝45°，
∴∠MBN＝135°，
∴∠DFM＝∠MBN，
∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD＝90°，
∵∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠NMB＝∠MDF，
在△NMB和△MDF中，
，
∴△NMB≌△MDF（ASA），
∴DM＝MN；
（2）证明：∵CE∥MN，DM⊥MN，
∴DM⊥CE，
∴∠DEC+∠EDM＝90°，
∵∠AMD+∠EDM＝90°，
∴∠DEC＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，
在△EDC和△MAD中，
，
∴△EDC≌△MAD（ASA），
∴EC＝DM，
∵DM＝MN，
∴EC＝MN，
∵EC∥MN，
∴四边形EMNC为平行四边形，
∴EM∥CN．
25．（2022•东阿县三模）如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是菱形？是正方形？
【解答】（1）证明：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
BD＝BA，BF＝BC，∠DBA＝∠FBC＝60°，
∴∠DBA﹣∠FBA＝∠FBC﹣∠FBA，
∴∠DBF＝∠ABC．
在△ABC和△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE，
同理△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：①当∠A＝150°时，四边形DAEF是矩形，
理由是：∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是矩形，
故答案为∠A＝150°；
②当△ABC满足AB＝AC≠BC时，四边形DAEF是菱形，
理由是：由（1）知：EF＝BA＝AD，DF＝AC＝AE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
故答案为：AB＝AC≠BC．
③当△ABC满足∠BAC＝150°，且AB＝AC≠BC时，四边形DAEF是正方形，理由如下：
由①得：当∠BAC＝150°时，四边形DAEF是矩形；
当AB＝AC时，由（1）得：EF＝AB＝AD，DF＝AC＝AE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
∴四边形DAEF是正方形．
26．（2022春•石阡县期中）（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，AC交BD于O，求证：OE＝FO；
（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）结论成立．
证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠E+∠GAE＝∠F+∠GAE＝90°，
∴∠E＝∠F，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF和△BOE（ASA），
∴OE＝OF；
1．（2022春•定西期末）若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 cm2B．2 cm2C．cm2D．2cm2
2．（2021春•鄢陵县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝ABB．AC＝ADC．∠ABC＝90°D．OD＝AC
3．（2021春•新吴区月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．（2021春•建阳区期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．内角和为360°D．对角线平分对角
5．（2022春•招远市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形这四种四边形中，对角线互相垂直平分的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
6．（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
7．（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4B．C．2D．1
8．（2021•武进区校级自主招生）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10B．12C．14D．16
9．（2021春•惠山区期中）如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（ ）
A．2﹣2B．﹣1C．2﹣D．﹣1
10．（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．2B．4C．4﹣D．4+
二、填空题。
11．（2022春•海伦市期末）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，则MN的长为 ．
12．（2022春•新洲区期中）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．
13．（2022•东莞市校级一模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
14．（2021春•辛集市期末）如图，两条互相垂直的线段AE、BF将正方形ABCD分割成①、②、③、④四块（图1），好围成一个大正方形GHJK（图2），若MN+KR＝3，∠QMK＝60°，则AB的长是 ．
15．（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在正方形ABCD中，边长AB为5，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在正方形的边AD，AB，CD上，AE＝2，DH＝3连接CG，则△CHG的面积等于 ．
16．（2021秋•抚远市期末）如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 度．
17．（2022春•上虞区期末）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 平方厘米．
18．（2021•高阳县模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．
（1）BD的长为 ；
（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为 ；
（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝ ．
三、解答题。
19．（2022•东明县二模）已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形
20．（2021春•阳谷县期末）如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F．求证：DE＝BF+EF．
21．（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
22．（2021春•饶平县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，连接BE、CE、若BE＝CE．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）连接BD交CE于点H，连接AH交BE于点G，求∠AGB的度数
23．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．
（1）若OF＝5，求FH的长；
（2）求证：BF＝OH+CF．
24．（2022春•西湖区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．
（1）求证：DM＝MN；
（2）求证：EM∥CN．
25．（2022•东阿县三模）如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是菱形？是正方形？
26．（2022春•石阡县期中）（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，AC交BD于O，求证：OE＝FO；
（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
专题1.3 正方形的性质与判定（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022春•定西期末）若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 cm2B．2 cm2C．cm2D．2cm2
【答案】B。
【解答】解：∵正方形的对角线长为2cm，
∴这个正方形的面积＝×22＝2cm2．
故选：B．
2．（2021春•鄢陵县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝ABB．AC＝ADC．∠ABC＝90°D．OD＝AC
【答案】C。
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：C．
3．（2021春•新吴区月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C。
【解答】解：A、只有两组对边平行的四边形是平行四边形，故此选项错误；
B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，此选项正确；
D、根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；
故选：C．
4．（2021春•建阳区期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．内角和为360°D．对角线平分对角
【答案】A。
【解答】解：A正确，因为正方形的四个角都是直角而菱形不是；
B错误，因为正方形和菱形的两组对边都相等；
C错误，因为正方形和菱形的内角和均为360°；
D错误，因为正方形和菱形的对角线均平分对角．
故选：A．
5．（2022春•招远市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形这四种四边形中，对角线互相垂直平分的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B。
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分，且相等；菱形的对角线互相平分，且互相垂直；正方形的对角线互相平分，且相等、互相垂直；
∴对角线互相垂直平分的是菱形和正方形，
故选：B．
6．（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】B。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴DA＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
7．（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4B．C．2D．1
【答案】C。
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
8．（2021•武进区校级自主招生）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】D。
【解答】解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，
在梯形GDBE中，S△DGE＝S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），
同理S△GKE＝S△GFE．
∴S阴影＝S△DGE+S△GKE，
＝S△GEB+S△GEF，
＝S正方形GBEF，
＝4×4
＝16
故选：D．
9．（2021春•惠山区期中）如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（ ）
A．2﹣2B．﹣1C．2﹣D．﹣1
【答案】D。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝CD＝DA＝1，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACD，
∴∠BCE＝67.5°，∠DCE＝22.5°，
∵∠BEC＝∠EDC+∠DCE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∵BC＝1，
∴BE＝1，
∴DE＝BD﹣BE＝﹣1，
故选：D．
10．（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．2B．4C．4﹣D．4+
【答案】A。
【解答】解：延长DF交AE于G，如图：
∵AB＝10，AE＝8，BE＝6，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得，△DFC是直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵∠DCF+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADG，
∴∠BAE＝∠ADG，
∵∠BAE+∠DAG＝90°，
∴∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠DGA＝90°，即△AGD是直角三角形，
在△AGD和△BAE中，
，
∴△AGD≌△BAE（ASA），
∴AG＝BE＝6，DG＝AE＝8，
∴EG＝8﹣6＝2，
同理可得：GF＝2，
∴Rt△EFG中，EF＝＝2，
故选：A．
二、填空题。
11．（2022春•海伦市期末）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，则MN的长为 2.5 ．
【答案】2.5。
【解答】解：连接AG，CG，
∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形CFGE是矩形，
∴CG＝EF＝5，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG＝5，
∵M，N分别是AB，BG的中点，
∴MN＝AG＝2.5，
故答案为：2.5．
12．（2022春•新洲区期中）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．
【答案】。
【解答】解：如图，当BF如图位置时，
∵AB＝AB，∠BAF＝∠ABE＝90°，AE＝BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM＝∠BAM，
∴AM＝BM，AF＝BE＝6，
∵AB＝8，BE＝6，
∴AE＝＝＝10，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS＝4，SM是△ABF的中位线，
∴SM＝BE＝×6＝3，
∴BM＝AE＝×10＝5，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG＝AE＝10，∠AEB＝∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC＝BE：BG，
∴BH＝．
13．（2022•东莞市校级一模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 9 ．
【答案】9。
【解答】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，
∴S1﹣S2＝9，
故答案为9．
14．（2021春•辛集市期末）如图，两条互相垂直的线段AE、BF将正方形ABCD分割成①、②、③、④四块（图1），好围成一个大正方形GHJK（图2），若MN+KR＝3，∠QMK＝60°，则AB的长是 2 ．
【答案】2。
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABF+∠FBC＝90°，
∴AE⊥BF，∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠FBC＝∠BAE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，（ASA），
∴AE＝BF，∠AEB＝∠BFC，
即可确定图2为边长等于AE的正方形，
MN＝BE，KR＝ET，∠BFC＝∠QMK＝60°，
∴∠FBC＝90°﹣∠BFC＝30°，∠AEB＝∠BFC＝60°，
∴在Rt△BET中，BE＝2ET，
又∵MN+KR＝3，
∴BE+ET＝3，
∴ET＝1，BE＝2，
在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝30°，AE＝2BE＝4，
∴AB＝＝2，
故答案为：2．
15．（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在正方形ABCD中，边长AB为5，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在正方形的边AD，AB，CD上，AE＝2，DH＝3连接CG，则△CHG的面积等于 2 ．
【答案】2。
【解答】解：过G作GM⊥DC，与DC的延长线交于点M，作GN∥DC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠M＝90°，DC∥AB∥GN，
∴∠MHG＝∠HGN，∠NGF＝∠GFB，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG∥EF，EF＝GH，
∴∠HGN+∠NGF+∠EFG＝180°，
∵∠AFE+∠GFB+∠EFG＝180°，
∴∠AFE＝∠MHG，
∴△AEF≌△MGH（AAS），
∴AE＝MG＝2，
∵正方形ABCD，CD＝AB＝5，DH＝3，
∴CH＝5﹣3＝2，
∴△CHG的面积＝．
16．（2021秋•抚远市期末）如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 60 度．
【答案】60。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
17．（2022春•上虞区期末）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 143 平方厘米．
【答案】143。
【解答】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x，
∵图中最小正方形边长是1，
∴其余的正方形边长分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，
∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，
∴x＝7，
∴长方形的长为x+x﹣1＝13，宽为x+x﹣3＝11，面积为13×11＝143平方厘米．
故答案为：143．
18．（2021•高阳县模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．
（1）BD的长为 3 ；
（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为 PD＝QD ；
（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝ 18 ．
【答案】18。
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，∠A＝90°，
∴BD＝＝＝3，
故答案为：3；
（2）解：当BD平分∠PBQ时，
∵∠PBQ＝45°，
∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
在△QBD和△PBD中，
，
∴△QBD≌△PBD（SAS），
∴PD＝QD，
故答案为：PD＝QD；
（3）当BD不平分∠PBQ时，
∵AB∥CQ，
∴∠ABQ＝∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，
∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，
∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，
∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，
∴∠BDQ＝∠BDP，
∴△BQD∽△PBD，
∴，
∴PD•QD＝BD2＝32+32＝18，
故答案为：18．
三、解答题。
19．（2022•东明县二模）已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形
【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF
∴DO﹣DF＝BO﹣BE
∴FO＝EO，且AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形AECF是菱形
20．（2021春•阳谷县期末）如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F．求证：DE＝BF+EF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AP，
∴∠DEP＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEP＝∠AED，
在△ABF与△DAE中，
∠AFB＝∠AED，∠ADE＝∠BAF，AD＝AB，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF，
∴DE＝BF+EF．
21．（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
22．（2021春•饶平县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，连接BE、CE、若BE＝CE．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）连接BD交CE于点H，连接AH交BE于点G，求∠AGB的度数
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠CAD＝90°，
∵BE＝CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴∠1＝∠2；
（2）∵ABCD是正方形，
∴∠ADH＝∠CDH，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DAH，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝90°．
23．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．
（1）若OF＝5，求FH的长；
（2）求证：BF＝OH+CF．
【解答】（1）解：∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF＝∠ECF．
∵OC＝CH，CF＝CF，
在△OCF和△HCF中，
，
∴△OCF≌△HCF（SAS）．
∴FH＝OF＝5，
即FH的长为5；
（2）证明：在BF上截取BK＝CF，连接OK．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝180°﹣∠BOC﹣∠DBC＝45°．
∴∠OCB＝∠DBC．
∴OB＝OC．
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝90°．
∵∠OBK＝180°﹣∠BOC﹣∠OGB＝90°﹣∠OGB，
∠OCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FGC＝90°﹣∠FGC，
且∠OGB＝∠FGC，
∴∠OBK＝∠OCF．
在△OBK和△OCF中，
，
∴△OBK≌△OCF（SAS）．
∴OK＝OF，∠BOK＝∠COF．
∵∠BOK+∠KOG＝∠BOC＝90°，
∴∠COF+∠KOG＝90°，即∠HOF＝90°．
∴∠OHF＝∠OFH＝（180°﹣∠KOF）＝45°．
∴∠OFC＝∠OFK+∠BFC＝135°．
∵△OCF≌△HCF，
∴∠HFC＝∠OFC＝135°，
∴∠OFH＝360°﹣∠HFC﹣∠OFC＝90°．
∴∠FHO＝∠FOH＝（180°﹣∠OFH）＝45°．
∴∠HOF＝∠OFK，∠KOF＝∠OFH．
∴OH∥FK，OK∥FH，
∴四边形OHFG是平行四边形．
∴OH＝FK．
∵BF＝FK+BK，
∴BF＝OH+CF．
24．（2022春•西湖区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．
（1）求证：DM＝MN；
（2）求证：EM∥CN．
【解答】（1）证明：在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，如图所示：
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∵DF＝BM，
∴AF＝AM，
∴△FAM是等腰直角三角形，
∴∠AFM＝45°，
∴∠MFD＝135°，
∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，
∴∠CBN＝45°，
∴∠MBN＝135°，
∴∠DFM＝∠MBN，
∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD＝90°，
∵∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠NMB＝∠MDF，
在△NMB和△MDF中，
，
∴△NMB≌△MDF（ASA），
∴DM＝MN；
（2）证明：∵CE∥MN，DM⊥MN，
∴DM⊥CE，
∴∠DEC+∠EDM＝90°，
∵∠AMD+∠EDM＝90°，
∴∠DEC＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，
在△EDC和△MAD中，
，
∴△EDC≌△MAD（ASA），
∴EC＝DM，
∵DM＝MN，
∴EC＝MN，
∵EC∥MN，
∴四边形EMNC为平行四边形，
∴EM∥CN．
25．（2022•东阿县三模）如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是菱形？是正方形？
【解答】（1）证明：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
BD＝BA，BF＝BC，∠DBA＝∠FBC＝60°，
∴∠DBA﹣∠FBA＝∠FBC﹣∠FBA，
∴∠DBF＝∠ABC．
在△ABC和△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE，
同理△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：①当∠A＝150°时，四边形DAEF是矩形，
理由是：∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是矩形，
故答案为∠A＝150°；
②当△ABC满足AB＝AC≠BC时，四边形DAEF是菱形，
理由是：由（1）知：EF＝BA＝AD，DF＝AC＝AE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
故答案为：AB＝AC≠BC．
③当△ABC满足∠BAC＝150°，且AB＝AC≠BC时，四边形DAEF是正方形，理由如下：
由①得：当∠BAC＝150°时，四边形DAEF是矩形；
当AB＝AC时，由（1）得：EF＝AB＝AD，DF＝AC＝AE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
∴四边形DAEF是正方形．
26．（2022春•石阡县期中）（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，AC交BD于O，求证：OE＝FO；
（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）结论成立．
证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠E+∠GAE＝∠F+∠GAE＝90°，
∴∠E＝∠F，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF和△BOE（ASA），
∴OE＝OF；
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