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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题09平均数、中位数、众数、方差压轴题四种模型全攻略特训(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题09平均数、中位数、众数、方差压轴题四种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了加权平均数，求方差及做决策等内容，欢迎下载使用。
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据 考点二 加权平均数
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据 考点四 求方差及做决策
典型例题
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据
例题：（2022·广东广州·八年级期末）某学校在开展“生活垃圾分类星级家庭”评选活动中，从八年级任选出10名同学汇报了各自家庭1天生活垃圾收集情况，将有关数据整理如下表：
请你计算每名同学家庭平均1天生活垃圾收集量是（ ）
A．0.9kgB．1kgC．1.2kgD．1.8kg
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市第十五中学八年级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（ ）
A．3B．5C．6D．7
2．（2022·河南开封·八年级期末）下面是某校八年级（1）班一组女生的体重（单位：kg）36，35，45，42，33，40，42，这组数据的平均数是______．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）已知一组数据2，4，a，7，7的平均数是5，则a＝_________．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）已知数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，则2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数是 _____．
考点二 加权平均数
例题：（2022·浙江宁波·八年级期中）浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩（已折算成满分100分）如表所示：
(1)如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
(2)“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形成，那么哪位同学排名靠前？
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）21世纪已经进入了中国太空时代，2021年到2022年，我国会通过11次航天发射完成空间站建设，空间站有“天和”核心舱、“问天”和“梦天”两个实验舱，我国空间站的建成将为开展太空实验及更广泛的国际合作提供精彩舞台校团委以此为契机，组织了“中国梦，航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜；
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜．
2．（2023·福建泉州·八年级期末）2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船成功发射，标志着中国空间站计划进入了一个新时代．学校团委组织了“中国梦·航天情”系列竞赛活动．下表是八年级甲，乙两个班级各项目比赛成绩（单位：分）．
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请你通过计算，说明甲、乙两班谁将获胜？
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、板报评比按5：3：2的比例确定最后成绩，请你通过计算，说明甲乙两班谁将获胜？
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据
例题：（2022·江苏盐城·八年级期中）江苏今年4月5日部分市区的最高气温如下表；
则这10个市区该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．18，19B．18，18.5C．19，18D．18，18
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级阶段练习）某车间20名工人日加工零件数如下表所示：
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ）
A．5、6B．5、5C．6、5D．4、4
2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某水果超市购进一批油桃，每箱油桃的质量约为5千克，在销售前，为了确定油桃每箱的质量，随机抽出20箱称重，得到的油桃质量如下表：
根据表格提供的信息，可以估计购进这批油桃每箱质量的中位数和众数分别为（ ）
A．5.0千克，5.1千克B．5.1千克，5.1千克C．5.05千克，5.0千克D．5.05千克，5.1千克
3．（2021·河北唐山·八年级期末）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是__________．
4．（2022·山东滨州·八年级期末）从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，则这组数据的众数是___________．
5．（2021·山东烟台·八年级期中）2021年正值中国共产党百年华诞，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行了党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对测试成绩最好的甲、乙两班学生的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
(1)按如下分数段整理两班测试成绩
表中a＝________；
(2)补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
(3)两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
表中x＝________，y＝________．
乙班的平均数数据被咖啡渍污染，请你运用所学知识求出乙班平均数．
(4)你能通过所学知识分析一下以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是哪个班？请阐述理由．
考点四 求方差及做决策
例题：（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某校为选拔优秀运动员参加市中学生运动会，组织了多次百米测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在近7次百米跑测试中的成绩（单位：秒）如下表所示：
如果根据这7次成绩选拔一人参加比赛，而这两人平均成绩相同，所以要选成绩稳定的一名学生参赛，则应选_________参赛．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·绥滨县教师进修学校八年级期末）已知一组数据 的方差是7，那么数据…，的方差为_____________
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市双城区教师进修学校八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）一次学情检测中，，，，，五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差；
(2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在、两位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占，英语成绩占来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？
课后训练
一、选择题
1．（2022·辽宁营口·八年级期末）某校八年2班5位同学的身高（单位：）组成一组数据为：170、169、172、173、171，则这5位同学身高的平均值（ ）
A．170B．171C．171．5D．172
2．（2022·湖南株洲·九年级期末）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2022·新疆师范大学附属中学八年级期末）某小区开展节约每一滴水活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从400户中随机选取20户统计了各自家庭一个月节约用水情况．表格如下：
请你估计这400户的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A．2600立方米B．1350立方米C．1300立方米D．1200立方米
4．（2021·河北唐山·八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．6，9C．6，27D．6，18
5．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）在中考体育加试中，某班25名男生的跳远成绩如下表：
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（ ）
A．2.10，2.05B．2.10，2.10C．2.05，2.10D．2.05，2.05
二、填空题
6．（2022·陕西西安·八年级期末）一组数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 _____．
7．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择_____（填甲或乙、丙、丁）．
8．（2022·四川自贡·八年级期末）某地10家电商6月份的销售额如下表所示，销售额的中位数为 _______万元．
9．（2022·河南三门峡·八年级期末）已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，平均数是______．
10．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知x1，x2，x3，…，x10的平均数是a，x11，x12，x13，…，x50的平均数是b，则x1，x2，x3，…，x50的平均数是________．
三、解答题
11．（2022·广东广州·八年级期末）2022年2月4日，冬奥会开幕式在北京鸟巢拉开序幕，它让世界看到了一个自信开放的中国．某中学以此为契机，组织了“我的冬奥梦”系列活动．下表是小华和小敏各项目的成绩（单位：分）：如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明小华和小敏谁将获胜．
12．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）从2003年10月15日神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月5日神舟十四号成功发射，19年时光，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后某兴趣小组分别从七年级和八年级参赛选手中各随机抽取8名学生的比赛成绩统计如图：
根据图中信息，解答下列问题：
(1)八年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的众数为_________分；
(2)七年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的中位数为_________分；
(3)分别计算两个年级被抽取的选手的平均成绩，并估计哪个年级的平均成绩较高？
13．（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据(记为x)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：
81，81，82，83，83．
c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a＝ ，b＝ ．
(2)你认为 年级的课后延时服务开展得较好，理由是 ．（至少从两个不同的角度说明理由）
(3)已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．
14．（2022·河南鹤壁·八年级期末）为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加县级中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前6次测验成绩的折线统计图．现对甲、乙的6次测验成绩的数据进行统计分析列表对比如下：
(1)填空：b＝____；c＝____；
(2)求m的值；
(3)如果从稳定性来看，选谁参赛较合适？如果从发展趋势来看，选谁参赛较合适？请结合所学统计知识说明理由．
15．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室八年级期末）为了参加“中小学生诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制分别为：八（1）班：85，86，82，91，86；八（2）班：80，85，85，92，88．
通过数据分析如下：
(1)直接写出表中_______，______，_______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由．
16．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．
(1)写出表格中a，b，c的值：_______，________，_______；
(2)已知甲班选手进球数的方差为2.6，求乙班选手进球数的方差；
(3)如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体的第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球进入学校前三名，你认为应该选择哪个班．
生活垃圾收集量（单位：kg）
0.5
1
1.5
2
同学数（人）
2
3
4
1
学生
学业水平测试成绩
综合测试成绩
高考成绩
甲
85
89
81
乙
88
81
83
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
板报评比
甲
85
91
88
乙
90
84
87
市
南京
苏州
无锡
徐州
无锡
盐城
南通
常州
淮安
连云港
最高气温
19
18
19
20
19
18
18
18
18
19
日加工零件数
5
6
7
8
人数
6
5
4
3
油桃的箱数（箱）
2
3
5
6
4
每箱油桃的质量（千克）
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100
甲
1
2
4
a
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
班级
平均数
众数
中位数
方差（精确到0.1）
甲
86
87
y
44.8
乙
x
88
36.7
甲
10.7
10.9
11.0
11.6
11.0
10.8
10.3
乙
10.9
10.9
10.8
11.0
11.0
10.8
10.9
平均分
方差
数学
英语
节水量/立方米
2
2.5
3
4
0
家庭数/户
2
4
6
7
1
成绩/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人数
2
3
8
5
4
3
甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
销售额（万元）
1
2
3
11
电商（家）
1
4
3
2
选手
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
小华
85
91
88
小敏
90
84
87
分组
频数
0≤x＜60
2
60≤x＜70
5
70≤x＜80
15
80≤x＜90
a
90≤x≤100
8
合计
50
年级
平均数
中位数
众数
七
78
79
85
八
81
b
83
平均数
中位数
众数
方差
甲
75
75
c
m
乙
75
b
70
33.3
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
86
b
86
d
八（2）班
a
85
c
15.6
班级
平均数（个）
中位数（个）
众数（个）
甲
7
a
b
乙
c
7
7
专题09 平均数、中位数、众数、方差压轴题四种模型全攻略
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据 考点二 加权平均数
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据 考点四 求方差及做决策
典型例题
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据
例题：（2022·广东广州·八年级期末）某学校在开展“生活垃圾分类星级家庭”评选活动中，从八年级任选出10名同学汇报了各自家庭1天生活垃圾收集情况，将有关数据整理如下表：
请你计算每名同学家庭平均1天生活垃圾收集量是（ ）
A．0.9kgB．1kgC．1.2kgD．1.8kg
【答案】C
【分析】计算平均数即可．
【详解】解：每名同学家庭平均1天生活垃圾收集量是（kg），
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数的计算公式，正确理解题意并掌握平均数的计算公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市第十五中学八年级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】根据平均数的定义，即可求解．
【详解】解：∵一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，
∴，
解得：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据平均数求未知量，熟练掌握平均数等于一组数据的总和除以数据的个数是解题的关键．
2．（2022·河南开封·八年级期末）下面是某校八年级（1）班一组女生的体重（单位：kg）36，35，45，42，33，40，42，这组数据的平均数是______．
【答案】39
【分析】利用算术平均数的计算公式即可得．
【详解】解：这组数据的平均数是，
故答案为：39．
【点睛】本题考查了算术平均数，熟记公式是解题关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）已知一组数据2，4，a，7，7的平均数是5，则a＝_________．
【答案】5
【分析】根据平均数的计算公式： ，求出a的值即可．
【详解】解：∵数据2，4，a，7，7的平均数是5，
∴2+4+a+7+7=25，
解得a=5，
故答案为：5
【点睛】本题主要考查的是平均数的求法，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）已知数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，则2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数是 _____．
【答案】2x+1
【分析】根据数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数与数据中的变化规律相同，即可得到答案．
【详解】解：∵数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，
∴a1+a2+a3+a4=4x
∴2a1+1+2a2+1+2a3+1+2a4+1=2(a1+a2+a3+a4)+4=2×4x+4=8x+4
∴2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数是：(8x+4)÷4=2x+1
故答案为：2x+1．
【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
考点二 加权平均数
例题：（2022·浙江宁波·八年级期中）浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩（已折算成满分100分）如表所示：
(1)如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
(2)“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形成，那么哪位同学排名靠前？
【答案】(1)甲同学排名靠前
(2)乙同学排名靠前
【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
（2）利用加权平均数公式求解，即可判断．
（1）
解：甲的平均数为分，
乙的平均数为分，
∵85＞84，
∴根据三项得分的平均数，甲同学排名靠前；
（2）
解：甲同学的综合成绩为分，
乙同学的综合成绩为分，
∵83.6＞83.4，
∴乙同学排名靠前．
【点睛】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）21世纪已经进入了中国太空时代，2021年到2022年，我国会通过11次航天发射完成空间站建设，空间站有“天和”核心舱、“问天”和“梦天”两个实验舱，我国空间站的建成将为开展太空实验及更广泛的国际合作提供精彩舞台校团委以此为契机，组织了“中国梦，航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜；
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜．
【答案】(1)甲班将获胜
(2)乙班将获胜
【分析】（1）根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题；
（2）根据加权平均数的计算方法可以解答本题．
（1）甲班的平均分为：（分），乙班的平均分为：（分），∵，∴甲班将获胜；
（2）由题意可得，甲班的平均分为：（分），乙班的平均分为：（分），∵，∴乙班将获胜．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
2．（2023·福建泉州·八年级期末）2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船成功发射，标志着中国空间站计划进入了一个新时代．学校团委组织了“中国梦·航天情”系列竞赛活动．下表是八年级甲，乙两个班级各项目比赛成绩（单位：分）．
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请你通过计算，说明甲、乙两班谁将获胜？
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、板报评比按5：3：2的比例确定最后成绩，请你通过计算，说明甲乙两班谁将获胜？
【答案】(1)甲班将获胜
(2)乙班将获胜
【分析】(1)根据求平均数公式，分别求得甲、乙两班的平均分，据此即可解答；
(2)根据求加权平均数公式，分别求得甲、乙两班的平均分，据此即可解答．
（1）解：甲班的平均分为：（分），乙班的平均分为：（分），，甲班将获胜；
（2）解：由题意，得甲班的平均分为：（分），（或(分)），乙班的平均分为：（分），(或（分）)，，乙班将获胜．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数及加权平均数，熟练掌握和运用求一组数据的平均数及加权平均数公式是解决本题的关键．
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据
例题：（2022·江苏盐城·八年级期中）江苏今年4月5日部分市区的最高气温如下表；
则这10个市区该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．18，19B．18，18.5C．19，18D．18，18
【答案】B
【分析】将这组数据按从小到大的顺序重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【详解】解：将这组数据按从小到大重新排列为：18、18、18、18、18、19、19、19、19、20，
∴这组数据的众数为18，中位数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数和中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．理解和掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级阶段练习）某车间20名工人日加工零件数如下表所示：
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ）
A．5、6B．5、5C．6、5D．4、4
【答案】A
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：∵5出现了6次，出现的次数最多，
∴这些工人日加工零件数的众数是5；
把这些数从小到大排列，则中位数是=6；
故选A．
【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某水果超市购进一批油桃，每箱油桃的质量约为5千克，在销售前，为了确定油桃每箱的质量，随机抽出20箱称重，得到的油桃质量如下表：
根据表格提供的信息，可以估计购进这批油桃每箱质量的中位数和众数分别为（ ）
A．5.0千克，5.1千克B．5.1千克，5.1千克C．5.05千克，5.0千克D．5.05千克，5.1千克
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：从小到大排列后位于第10位和第11位的分别是5.0，5，1，出现次数最多的数是5.1，
∴中位数为（5.0+5.1）÷2=5.05千克，众数是5.1千克．
故选：D
【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，熟练掌握中位数是把一组数据从大到小（或从小到大）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数是解题的关键．
3．（2021·河北唐山·八年级期末）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是__________．
【答案】4.5
【分析】根据组数据的众数是4，可得x=4，再根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：∵数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，
∴x=4，
把这一组数据从小到大排列为2，3，4，4，5，6，7，9，
位于正中间两个数的是4，5，
∴这组数据的中位数是（4+5）÷2=4.5．
故答案为：4.5
【点睛】本题主要考查了求中位数，众数，熟练掌握中位数是把一组数据从大到小（从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．
4．（2022·山东滨州·八年级期末）从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，则这组数据的众数是___________．
【答案】2
【分析】先利用中位数的定义求出的值，再根据众数的定义即可求出这组数据的众数.
【详解】解：∵从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，
∴，
2出现的次数最多，故这组数据的众数是2，
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了众数，中位数，解题的关键是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5．（2021·山东烟台·八年级期中）2021年正值中国共产党百年华诞，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行了党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对测试成绩最好的甲、乙两班学生的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
(1)按如下分数段整理两班测试成绩
表中a＝________；
(2)补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
(3)两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
表中x＝________，y＝________．
乙班的平均数数据被咖啡渍污染，请你运用所学知识求出乙班平均数．
(4)你能通过所学知识分析一下以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是哪个班？请阐述理由．
【答案】(1)5
(2)见详解
(3)88，86；乙班平均数86
(4)乙，理由见详解
【分析】（1）由甲班15名学员测试成绩即可求解；
（2）由（1）的结果补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图即可；
（3）由众数，中位数，平均数的定义求解即可；
（4）从平均数、中位数、方差几个方面说明即可．
（1）
解：甲班成绩：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
位于85.5～90.5有：87，88，87，86，87
∴a=5
故答案为：5
（2）
（3）
（3）88，86；
将甲班成绩从小到大排列： 73，76，79，84，84，85，85，86，87，87，87，88，93，98，98．
中位数为：86
乙班成绩： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
众数为：88
（77+88+92+85+76+90+76+91+88+81+85+88+98+86+89）÷15=86
平均数为：86
故答案为：x＝88，y＝86，乙班平均数86
（4）
两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：
①甲、乙两班的平均数相等，但是乙班的中位数大于甲班的中位数；
②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；
故掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，平均数，方差等知识，能够理解众数，中位数，平均数，方差的定义是解决本题的关键．
考点四 求方差及做决策
例题：（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某校为选拔优秀运动员参加市中学生运动会，组织了多次百米测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在近7次百米跑测试中的成绩（单位：秒）如下表所示：
如果根据这7次成绩选拔一人参加比赛，而这两人平均成绩相同，所以要选成绩稳定的一名学生参赛，则应选_________参赛．
【答案】乙
【分析】直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较得出答案．
【详解】解：甲的平均成绩为：，
乙的平均成绩为：．
分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为：
，
，
，
乙运动员的成绩更为稳定，应选乙参赛．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·绥滨县教师进修学校八年级期末）已知一组数据 的方差是7，那么数据…，的方差为_____________
【答案】7
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减去5所以波动不会变，方差不变．
【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都减去了5，则平均数变为−5，
则原来的方差，
现在的方差，
==7，
方差不变．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市双城区教师进修学校八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
【答案】1
【分析】根据方差的变化规律可得：数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是，再进行计算即可．
【详解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是:，
∴另一组数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是:，
∴另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是:；
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差的知识，掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，方差变为这个数的平方倍是解题的关键．
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）一次学情检测中，，，，，五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差；
(2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在、两位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占，英语成绩占来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？
【答案】(1)平均分为，方差为
(2)同学
【分析】（1）由平均数的概念计算五位同学数学成绩的平均数，再根据方差的定义得出五位同学英语成绩的方差即可；
（2）分别求得，，，，五位同学的得分，比较即可得到结论．
（1）
解：数学成绩的平均分为：；
英语成绩的方差为：；
答：这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分为和英语成绩的方差为；
（2）
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
因为同学的总得分高，
所以是同学能够被“达人”社团录取．
答：同学的总得分高，能够被“达人”社团录取．
【点睛】本题考查的是加权平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·辽宁营口·八年级期末）某校八年2班5位同学的身高（单位：）组成一组数据为：170、169、172、173、171，则这5位同学身高的平均值（ ）
A．170B．171C．171．5D．172
【答案】B
【分析】根据算术平均数的求法求解即可．
【详解】这5位同学身高的平均值为cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平均数，即一组数据，其算术平均数为，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·湖南株洲·九年级期末）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】先根据这组数据的平均数是5求出x，再把这组数字排序，然后求出中位数．
【详解】∵这组数据的平均数是5
∴
解得x=6
把这组数据有小到大排序为4、4、5、6、6
最中间的数是5
∴这组数据的中位数是5
故选A
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数，掌握平均数和中位数的计算方法是解题的关键．
3．（2022·新疆师范大学附属中学八年级期末）某小区开展节约每一滴水活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从400户中随机选取20户统计了各自家庭一个月节约用水情况．表格如下：
请你估计这400户的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A．2600立方米B．1350立方米C．1300立方米D．1200立方米
【答案】D
【分析】计算20户的平均数，再乘以总户数400即可．
【详解】解：（立方米），
∴这400户的家庭一个月节约用水的总量大约是1200立方米，
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数的计算，正确掌握平均数的计算公式是解题的关键．
4．（2021·河北唐山·八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．6，9C．6，27D．6，18
【答案】C
【分析】根据平均数和方差的变化规律可得数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数和方差的3倍和32倍，计算即可.
【详解】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数是3×2=6，方差是3²×3=27．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平均数和方差的知识，若一组数据x₁，x₂，x₃， …xn的平均数为，方差为S²，则数据ax1，ax2，ax3， …axn的平均数为，方差为a2S2，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）在中考体育加试中，某班25名男生的跳远成绩如下表：
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（ ）
A．2.10，2.05B．2.10，2.10C．2.05，2.10D．2.05，2.05
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义进行解答即可．中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；
由于一共调查了25人，
所以中位数为排序后的第13人，即：2.05．
故选D．
【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数，要明确定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
二、填空题
6．（2022·陕西西安·八年级期末）一组数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 _____．
【答案】3
【分析】先根据数据的众数确定出n的值，即可得出结论．
【详解】解：∵数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，
∴n＝3，
∴此组数据为2，3，3，5，6，
∴这组数据的中位数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数，熟练地掌握中位数和众数的定义是解题的关键．中位数：一列数据按顺序排列，位于中间的那个数；众数：一列数据中出现次数最多的数．
7．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择_____（填甲或乙、丙、丁）．
【答案】甲
【分析】根据平均数和方差的意义解答．
【详解】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
8．（2022·四川自贡·八年级期末）某地10家电商6月份的销售额如下表所示，销售额的中位数为 _______万元．
【答案】
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：10家电商6月份的销售额为：1，2，2，2，2，3，3，3，11，11，
中位数为第5个数和第6个数的平均数，即中位数为（万元），
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
9．（2022·河南三门峡·八年级期末）已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，平均数是______．
【答案】7
【分析】根据平均数的计算公式即可求解．先求出数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后利用平均数的计算公式分别表示后两组数据的平均数，经过代数式的变形可得答案．
【详解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2．
∴x1，x2，x3，x4，x5的和是10．
∴x1+3，x2+3，x3+3，x4+3，x5+3的平均数是2+3=5，
同理，数组2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的平均数是2×2+3=7．
故答案为7．
【点睛】本题主要考查了平均数的计算．正确理解公式是解题的关键．在计算中正确使用整体代入的思想．
10．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知x1，x2，x3，…，x10的平均数是a，x11，x12，x13，…，x50的平均数是b，则x1，x2，x3，…，x50的平均数是________．
【答案】
【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【详解】解：∵前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，
∴这50个数的平均数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平均数的求法，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·广东广州·八年级期末）2022年2月4日，冬奥会开幕式在北京鸟巢拉开序幕，它让世界看到了一个自信开放的中国．某中学以此为契机，组织了“我的冬奥梦”系列活动．下表是小华和小敏各项目的成绩（单位：分）：如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明小华和小敏谁将获胜．
【答案】小敏将获胜
【分析】根据平均数的计算方法分别算出平均数，再进行比较平均数即可求解．
【详解】解：小华的平均分为：（分），
小敏的平均分为：（分），
∵，
∴小敏将获胜．
【点睛】本题考查了算术平均数，熟练掌握算术平均数的计算方法是解题的关键．
12．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）从2003年10月15日神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月5日神舟十四号成功发射，19年时光，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后某兴趣小组分别从七年级和八年级参赛选手中各随机抽取8名学生的比赛成绩统计如图：
根据图中信息，解答下列问题：
(1)八年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的众数为_________分；
(2)七年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的中位数为_________分；
(3)分别计算两个年级被抽取的选手的平均成绩，并估计哪个年级的平均成绩较高？
【答案】(1)90
(2)80
(3)七年级被抽取的选手的平均成绩为83.75分，八年级被抽取的选手的平均成绩为90分，估计八年级的平均成绩较高
【分析】（1）由图得出八年级8名被抽取的选手成绩，再根据众数的定义（众数是在一组数据中，出现次数最多的数据）求解即可；
（2）由图得出七年级8名被抽取的选手成绩，再根据中位数的定义（中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，取中间那个数或者中间两个数的平均数）求解即可；
（3）根据平均数的计算方法即可分别求得平均成绩，据此即可解答．
（1）
解：由图知：八年级8名被抽取的选手成绩为：
80、80、90、90、90、90、100、100，
分出现的次数最多，
这组数据的众数为90分，
故答案为：90；
（2）
解：七年级8名被抽取的选手的成绩为：
70、80、80、80、80、90、90、100，
所以这组数据的中位数为：(分)，
故答案为：80；
（3）
解：七年级被抽取的选手的平均成绩为：
（分）.
八年级被抽取的选手的平均成绩为：
（分）.
∵，
∴八年级学生的平均得分比七年级学生的平均得分高．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握众数、中位数和平均数的定义及求法．
13．（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据(记为x)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：
81，81，82，83，83．
c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a＝ ，b＝ ．
(2)你认为 年级的课后延时服务开展得较好，理由是 ．（至少从两个不同的角度说明理由）
(3)已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．
【答案】(1)20，82.5
(2)八年级，理由见解析
(3)估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．
【分析】（1）根据统计表的意义，各组频数之和为50即可求出a的值，利用中位数的定义可求出八年级得分的中位数，即m的值；
（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；
（3）求出家长的评分不低于80分所占的分率，再乘以600即可求解．
（1）解：a=50-2-5-15-8=20，八年级得分的中位数是排在第25、26个数，正好在80≤x＜90这一组的第3、4两个数，分别是82、83，∴b=（82+83）÷2=82.5．故答案为：20，82.5；
（2）解：八年级的课后延时服务开展得较好，理由如下：八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为81分，高于七年级的78分，说明八年级家长评分整体高于七年级；八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为82.5，七年级为79，说明八年级一半的家长评分高于82.5分，而七年级一半的家长评分仅高于79分；
（3）解：×600=336（名），答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．
14．（2022·河南鹤壁·八年级期末）为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加县级中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前6次测验成绩的折线统计图．现对甲、乙的6次测验成绩的数据进行统计分析列表对比如下：
(1)填空：b＝____；c＝____；
(2)求m的值；
(3)如果从稳定性来看，选谁参赛较合适？如果从发展趋势来看，选谁参赛较合适？请结合所学统计知识说明理由．
【答案】(1)72.5；75
(2)125
(3)从稳定性来看，乙的成绩更稳定；从发展趋势来看，选择甲参赛较好；理由见解析
【分析】（1）从图中读出数据，根据中位数和众数的概念即可得出答案；
（2）根据方差的计算公式计算即可；
（3）方差越小，成绩越稳定，即可得出结论，从发展趋势看，甲的成绩呈上升趋势，即可得出结论．
（1）
解：由图象可知，甲的六次成绩分别为：60，65，75，75，80，95；乙的六次成绩从小到大排列为：70，70，70，75，80，85；
因此乙的中位数；甲的众数；
故答案为：72.5；75；
（2）
甲的方差为：
，
；
（3）
,
乙的成绩更稳定,
从稳定性来看，选择乙参赛较合适；由图象可知，甲的成绩呈上升趋势，如果从发展趋势来看，选择甲参赛较好．
【点睛】本题考查了折线统计图，众数、中位数、平均数、方差，掌握众数、中位数、平均数、方差的计算方法是正确解答的关键．
15．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室八年级期末）为了参加“中小学生诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制分别为：八（1）班：85，86，82，91，86；八（2）班：80，85，85，92，88．
通过数据分析如下：
(1)直接写出表中_______，______，_______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由．
【答案】(1)86，86，85，8.4
(2)八（1）班前5名同学的成绩较好，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数以及方差的计算公式分别进行解答即可；
（2）根据平均数、中位数、众数与方差的意义分别进行分析，即可得出答案．
（1）
解：八（2）班的平均分a=（80+85+85+92+88）÷5=86，
将八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：82，85，86，86，91，则中位数b=86，
八（2）班前5名学生的成绩85出现了2次，次数最多，所以众数c=85．
八（1）班的方差d=[（85-86）2+（86-86）2+（82-86）2+（91-86）2+（86-86）2]÷5=8.4；
故答案为：86，86，85，8.4；
（2）
解：八（1）班中位数86分高于八（2）班中位数85分，
说明八（1）班成绩更好；
八（1）班众数86分高于八（2）班众数85分，
说明八（1）班成绩更好；
八（1）班方差8.4小于八（2）班方差15.6，
说明八（1）班成绩更稳定；
两个班的平均分都是86分，成绩一样；
综上得知，八（1）班前5名同学的成绩较好．
【点睛】本题考查方差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
16．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．
(1)写出表格中a，b，c的值：_______，________，_______；
(2)已知甲班选手进球数的方差为2.6，求乙班选手进球数的方差；
(3)如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体的第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球进入学校前三名，你认为应该选择哪个班．
【答案】(1)7；7；7
(2)1.4
(3)见解析
【分析】（1）利用加权平均数、中位数和众数的定义直接求出；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据方差和个人发挥的最好成绩进行选择．
（1）解：甲班10名同学进球数从小到大排列为：5、5、5、7、7、7、7、8、9、10，故中位数a=，众数b=7；乙班10名同学进球平均数为：×（5×2+7×5+8×2+9×1）=7（个），则c=7．故答案为：7；7；7；
（2）乙班S乙2=×[0×（10-7）2+（9-7）2+2×（8-7）2+5×（7-7）2+0×（6-7）2+2×（5-7）2]=1.4；
（3）∵甲方差＞乙方差，∴要争取夺取总进球团体第一名，应选乙班．∵甲班有一位进球数为10个满分选手，∴要进入学校个人前3名，应选甲班．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
生活垃圾收集量（单位：kg）
0.5
1
1.5
2
同学数（人）
2
3
4
1
学生
学业水平测试成绩
综合测试成绩
高考成绩
甲
85
89
81
乙
88
81
83
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
板报评比
甲
85
91
88
乙
90
84
87
市
南京
苏州
无锡
徐州
无锡
盐城
南通
常州
淮安
连云港
最高气温
19
18
19
20
19
18
18
18
18
19
日加工零件数
5
6
7
8
人数
6
5
4
3
油桃的箱数（箱）
2
3
5
6
4
每箱油桃的质量（千克）
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100
甲
1
2
4
a
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
班级
平均数
众数
中位数
方差（精确到0.1）
甲
86
87
y
44.8
乙
x
88
36.7
甲
10.7
10.9
11.0
11.6
11.0
10.8
10.3
乙
10.9
10.9
10.8
11.0
11.0
10.8
10.9
平均分
方差
数学
英语
节水量/立方米
2
2.5
3
4
0
家庭数/户
2
4
6
7
1
成绩/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人数
2
3
8
5
4
3
甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
销售额（万元）
1
2
3
11
电商（家）
1
4
3
2
选手
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
小华
85
91
88
小敏
90
84
87
分组
频数
0≤x＜60
2
60≤x＜70
5
70≤x＜80
15
80≤x＜90
a
90≤x≤100
8
合计
50
年级
平均数
中位数
众数
七
78
79
85
八
81
b
83
平均数
中位数
众数
方差
甲
75
75
c
m
乙
75
b
70
33.3
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
86
b
86
d
八（2）班
a
85
c
15.6
班级
平均数（个）
中位数（个）
众数（个）
甲
7
a
b
乙
c
7
7
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据 考点二 加权平均数
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据 考点四 求方差及做决策
典型例题
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据
例题：（2022·广东广州·八年级期末）某学校在开展“生活垃圾分类星级家庭”评选活动中，从八年级任选出10名同学汇报了各自家庭1天生活垃圾收集情况，将有关数据整理如下表：
请你计算每名同学家庭平均1天生活垃圾收集量是（ ）
A．0.9kgB．1kgC．1.2kgD．1.8kg
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市第十五中学八年级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（ ）
A．3B．5C．6D．7
2．（2022·河南开封·八年级期末）下面是某校八年级（1）班一组女生的体重（单位：kg）36，35，45，42，33，40，42，这组数据的平均数是______．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）已知一组数据2，4，a，7，7的平均数是5，则a＝_________．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）已知数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，则2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数是 _____．
考点二 加权平均数
例题：（2022·浙江宁波·八年级期中）浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩（已折算成满分100分）如表所示：
(1)如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
(2)“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形成，那么哪位同学排名靠前？
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）21世纪已经进入了中国太空时代，2021年到2022年，我国会通过11次航天发射完成空间站建设，空间站有“天和”核心舱、“问天”和“梦天”两个实验舱，我国空间站的建成将为开展太空实验及更广泛的国际合作提供精彩舞台校团委以此为契机，组织了“中国梦，航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜；
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜．
2．（2023·福建泉州·八年级期末）2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船成功发射，标志着中国空间站计划进入了一个新时代．学校团委组织了“中国梦·航天情”系列竞赛活动．下表是八年级甲，乙两个班级各项目比赛成绩（单位：分）．
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请你通过计算，说明甲、乙两班谁将获胜？
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、板报评比按5：3：2的比例确定最后成绩，请你通过计算，说明甲乙两班谁将获胜？
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据
例题：（2022·江苏盐城·八年级期中）江苏今年4月5日部分市区的最高气温如下表；
则这10个市区该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．18，19B．18，18.5C．19，18D．18，18
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级阶段练习）某车间20名工人日加工零件数如下表所示：
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ）
A．5、6B．5、5C．6、5D．4、4
2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某水果超市购进一批油桃，每箱油桃的质量约为5千克，在销售前，为了确定油桃每箱的质量，随机抽出20箱称重，得到的油桃质量如下表：
根据表格提供的信息，可以估计购进这批油桃每箱质量的中位数和众数分别为（ ）
A．5.0千克，5.1千克B．5.1千克，5.1千克C．5.05千克，5.0千克D．5.05千克，5.1千克
3．（2021·河北唐山·八年级期末）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是__________．
4．（2022·山东滨州·八年级期末）从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，则这组数据的众数是___________．
5．（2021·山东烟台·八年级期中）2021年正值中国共产党百年华诞，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行了党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对测试成绩最好的甲、乙两班学生的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
(1)按如下分数段整理两班测试成绩
表中a＝________；
(2)补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
(3)两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
表中x＝________，y＝________．
乙班的平均数数据被咖啡渍污染，请你运用所学知识求出乙班平均数．
(4)你能通过所学知识分析一下以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是哪个班？请阐述理由．
考点四 求方差及做决策
例题：（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某校为选拔优秀运动员参加市中学生运动会，组织了多次百米测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在近7次百米跑测试中的成绩（单位：秒）如下表所示：
如果根据这7次成绩选拔一人参加比赛，而这两人平均成绩相同，所以要选成绩稳定的一名学生参赛，则应选_________参赛．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·绥滨县教师进修学校八年级期末）已知一组数据 的方差是7，那么数据…，的方差为_____________
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市双城区教师进修学校八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）一次学情检测中，，，，，五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差；
(2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在、两位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占，英语成绩占来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？
课后训练
一、选择题
1．（2022·辽宁营口·八年级期末）某校八年2班5位同学的身高（单位：）组成一组数据为：170、169、172、173、171，则这5位同学身高的平均值（ ）
A．170B．171C．171．5D．172
2．（2022·湖南株洲·九年级期末）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2022·新疆师范大学附属中学八年级期末）某小区开展节约每一滴水活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从400户中随机选取20户统计了各自家庭一个月节约用水情况．表格如下：
请你估计这400户的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A．2600立方米B．1350立方米C．1300立方米D．1200立方米
4．（2021·河北唐山·八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．6，9C．6，27D．6，18
5．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）在中考体育加试中，某班25名男生的跳远成绩如下表：
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（ ）
A．2.10，2.05B．2.10，2.10C．2.05，2.10D．2.05，2.05
二、填空题
6．（2022·陕西西安·八年级期末）一组数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 _____．
7．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择_____（填甲或乙、丙、丁）．
8．（2022·四川自贡·八年级期末）某地10家电商6月份的销售额如下表所示，销售额的中位数为 _______万元．
9．（2022·河南三门峡·八年级期末）已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，平均数是______．
10．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知x1，x2，x3，…，x10的平均数是a，x11，x12，x13，…，x50的平均数是b，则x1，x2，x3，…，x50的平均数是________．
三、解答题
11．（2022·广东广州·八年级期末）2022年2月4日，冬奥会开幕式在北京鸟巢拉开序幕，它让世界看到了一个自信开放的中国．某中学以此为契机，组织了“我的冬奥梦”系列活动．下表是小华和小敏各项目的成绩（单位：分）：如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明小华和小敏谁将获胜．
12．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）从2003年10月15日神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月5日神舟十四号成功发射，19年时光，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后某兴趣小组分别从七年级和八年级参赛选手中各随机抽取8名学生的比赛成绩统计如图：
根据图中信息，解答下列问题：
(1)八年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的众数为_________分；
(2)七年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的中位数为_________分；
(3)分别计算两个年级被抽取的选手的平均成绩，并估计哪个年级的平均成绩较高？
13．（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据(记为x)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：
81，81，82，83，83．
c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a＝ ，b＝ ．
(2)你认为 年级的课后延时服务开展得较好，理由是 ．（至少从两个不同的角度说明理由）
(3)已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．
14．（2022·河南鹤壁·八年级期末）为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加县级中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前6次测验成绩的折线统计图．现对甲、乙的6次测验成绩的数据进行统计分析列表对比如下：
(1)填空：b＝____；c＝____；
(2)求m的值；
(3)如果从稳定性来看，选谁参赛较合适？如果从发展趋势来看，选谁参赛较合适？请结合所学统计知识说明理由．
15．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室八年级期末）为了参加“中小学生诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制分别为：八（1）班：85，86，82，91，86；八（2）班：80，85，85，92，88．
通过数据分析如下：
(1)直接写出表中_______，______，_______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由．
16．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．
(1)写出表格中a，b，c的值：_______，________，_______；
(2)已知甲班选手进球数的方差为2.6，求乙班选手进球数的方差；
(3)如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体的第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球进入学校前三名，你认为应该选择哪个班．
生活垃圾收集量（单位：kg）
0.5
1
1.5
2
同学数（人）
2
3
4
1
学生
学业水平测试成绩
综合测试成绩
高考成绩
甲
85
89
81
乙
88
81
83
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
板报评比
甲
85
91
88
乙
90
84
87
市
南京
苏州
无锡
徐州
无锡
盐城
南通
常州
淮安
连云港
最高气温
19
18
19
20
19
18
18
18
18
19
日加工零件数
5
6
7
8
人数
6
5
4
3
油桃的箱数（箱）
2
3
5
6
4
每箱油桃的质量（千克）
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100
甲
1
2
4
a
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
班级
平均数
众数
中位数
方差（精确到0.1）
甲
86
87
y
44.8
乙
x
88
36.7
甲
10.7
10.9
11.0
11.6
11.0
10.8
10.3
乙
10.9
10.9
10.8
11.0
11.0
10.8
10.9
平均分
方差
数学
英语
节水量/立方米
2
2.5
3
4
0
家庭数/户
2
4
6
7
1
成绩/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人数
2
3
8
5
4
3
甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
销售额（万元）
1
2
3
11
电商（家）
1
4
3
2
选手
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
小华
85
91
88
小敏
90
84
87
分组
频数
0≤x＜60
2
60≤x＜70
5
70≤x＜80
15
80≤x＜90
a
90≤x≤100
8
合计
50
年级
平均数
中位数
众数
七
78
79
85
八
81
b
83
平均数
中位数
众数
方差
甲
75
75
c
m
乙
75
b
70
33.3
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
86
b
86
d
八（2）班
a
85
c
15.6
班级
平均数（个）
中位数（个）
众数（个）
甲
7
a
b
乙
c
7
7
专题09 平均数、中位数、众数、方差压轴题四种模型全攻略
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据 考点二 加权平均数
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据 考点四 求方差及做决策
典型例题
考点一 求一组数据的平均数、已知平均数求某一数据
例题：（2022·广东广州·八年级期末）某学校在开展“生活垃圾分类星级家庭”评选活动中，从八年级任选出10名同学汇报了各自家庭1天生活垃圾收集情况，将有关数据整理如下表：
请你计算每名同学家庭平均1天生活垃圾收集量是（ ）
A．0.9kgB．1kgC．1.2kgD．1.8kg
【答案】C
【分析】计算平均数即可．
【详解】解：每名同学家庭平均1天生活垃圾收集量是（kg），
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数的计算公式，正确理解题意并掌握平均数的计算公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市第十五中学八年级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】根据平均数的定义，即可求解．
【详解】解：∵一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，
∴，
解得：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据平均数求未知量，熟练掌握平均数等于一组数据的总和除以数据的个数是解题的关键．
2．（2022·河南开封·八年级期末）下面是某校八年级（1）班一组女生的体重（单位：kg）36，35，45，42，33，40，42，这组数据的平均数是______．
【答案】39
【分析】利用算术平均数的计算公式即可得．
【详解】解：这组数据的平均数是，
故答案为：39．
【点睛】本题考查了算术平均数，熟记公式是解题关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）已知一组数据2，4，a，7，7的平均数是5，则a＝_________．
【答案】5
【分析】根据平均数的计算公式： ，求出a的值即可．
【详解】解：∵数据2，4，a，7，7的平均数是5，
∴2+4+a+7+7=25，
解得a=5，
故答案为：5
【点睛】本题主要考查的是平均数的求法，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）已知数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，则2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数是 _____．
【答案】2x+1
【分析】根据数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数与数据中的变化规律相同，即可得到答案．
【详解】解：∵数据a1，a2，a3，a4的平均数是x，
∴a1+a2+a3+a4=4x
∴2a1+1+2a2+1+2a3+1+2a4+1=2(a1+a2+a3+a4)+4=2×4x+4=8x+4
∴2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均数是：(8x+4)÷4=2x+1
故答案为：2x+1．
【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
考点二 加权平均数
例题：（2022·浙江宁波·八年级期中）浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩（已折算成满分100分）如表所示：
(1)如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
(2)“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形成，那么哪位同学排名靠前？
【答案】(1)甲同学排名靠前
(2)乙同学排名靠前
【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
（2）利用加权平均数公式求解，即可判断．
（1）
解：甲的平均数为分，
乙的平均数为分，
∵85＞84，
∴根据三项得分的平均数，甲同学排名靠前；
（2）
解：甲同学的综合成绩为分，
乙同学的综合成绩为分，
∵83.6＞83.4，
∴乙同学排名靠前．
【点睛】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）21世纪已经进入了中国太空时代，2021年到2022年，我国会通过11次航天发射完成空间站建设，空间站有“天和”核心舱、“问天”和“梦天”两个实验舱，我国空间站的建成将为开展太空实验及更广泛的国际合作提供精彩舞台校团委以此为契机，组织了“中国梦，航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜；
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜．
【答案】(1)甲班将获胜
(2)乙班将获胜
【分析】（1）根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题；
（2）根据加权平均数的计算方法可以解答本题．
（1）甲班的平均分为：（分），乙班的平均分为：（分），∵，∴甲班将获胜；
（2）由题意可得，甲班的平均分为：（分），乙班的平均分为：（分），∵，∴乙班将获胜．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
2．（2023·福建泉州·八年级期末）2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船成功发射，标志着中国空间站计划进入了一个新时代．学校团委组织了“中国梦·航天情”系列竞赛活动．下表是八年级甲，乙两个班级各项目比赛成绩（单位：分）．
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请你通过计算，说明甲、乙两班谁将获胜？
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、板报评比按5：3：2的比例确定最后成绩，请你通过计算，说明甲乙两班谁将获胜？
【答案】(1)甲班将获胜
(2)乙班将获胜
【分析】(1)根据求平均数公式，分别求得甲、乙两班的平均分，据此即可解答；
(2)根据求加权平均数公式，分别求得甲、乙两班的平均分，据此即可解答．
（1）解：甲班的平均分为：（分），乙班的平均分为：（分），，甲班将获胜；
（2）解：由题意，得甲班的平均分为：（分），（或(分)），乙班的平均分为：（分），(或（分）)，，乙班将获胜．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数及加权平均数，熟练掌握和运用求一组数据的平均数及加权平均数公式是解决本题的关键．
考点三 求中位数、众数、利用中位数、众数求某一数据
例题：（2022·江苏盐城·八年级期中）江苏今年4月5日部分市区的最高气温如下表；
则这10个市区该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．18，19B．18，18.5C．19，18D．18，18
【答案】B
【分析】将这组数据按从小到大的顺序重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【详解】解：将这组数据按从小到大重新排列为：18、18、18、18、18、19、19、19、19、20，
∴这组数据的众数为18，中位数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数和中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．理解和掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级阶段练习）某车间20名工人日加工零件数如下表所示：
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ）
A．5、6B．5、5C．6、5D．4、4
【答案】A
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：∵5出现了6次，出现的次数最多，
∴这些工人日加工零件数的众数是5；
把这些数从小到大排列，则中位数是=6；
故选A．
【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某水果超市购进一批油桃，每箱油桃的质量约为5千克，在销售前，为了确定油桃每箱的质量，随机抽出20箱称重，得到的油桃质量如下表：
根据表格提供的信息，可以估计购进这批油桃每箱质量的中位数和众数分别为（ ）
A．5.0千克，5.1千克B．5.1千克，5.1千克C．5.05千克，5.0千克D．5.05千克，5.1千克
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：从小到大排列后位于第10位和第11位的分别是5.0，5，1，出现次数最多的数是5.1，
∴中位数为（5.0+5.1）÷2=5.05千克，众数是5.1千克．
故选：D
【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，熟练掌握中位数是把一组数据从大到小（或从小到大）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数是解题的关键．
3．（2021·河北唐山·八年级期末）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是__________．
【答案】4.5
【分析】根据组数据的众数是4，可得x=4，再根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：∵数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，
∴x=4，
把这一组数据从小到大排列为2，3，4，4，5，6，7，9，
位于正中间两个数的是4，5，
∴这组数据的中位数是（4+5）÷2=4.5．
故答案为：4.5
【点睛】本题主要考查了求中位数，众数，熟练掌握中位数是把一组数据从大到小（从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．
4．（2022·山东滨州·八年级期末）从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，则这组数据的众数是___________．
【答案】2
【分析】先利用中位数的定义求出的值，再根据众数的定义即可求出这组数据的众数.
【详解】解：∵从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，
∴，
2出现的次数最多，故这组数据的众数是2，
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了众数，中位数，解题的关键是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5．（2021·山东烟台·八年级期中）2021年正值中国共产党百年华诞，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行了党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对测试成绩最好的甲、乙两班学生的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
(1)按如下分数段整理两班测试成绩
表中a＝________；
(2)补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
(3)两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
表中x＝________，y＝________．
乙班的平均数数据被咖啡渍污染，请你运用所学知识求出乙班平均数．
(4)你能通过所学知识分析一下以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是哪个班？请阐述理由．
【答案】(1)5
(2)见详解
(3)88，86；乙班平均数86
(4)乙，理由见详解
【分析】（1）由甲班15名学员测试成绩即可求解；
（2）由（1）的结果补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图即可；
（3）由众数，中位数，平均数的定义求解即可；
（4）从平均数、中位数、方差几个方面说明即可．
（1）
解：甲班成绩：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
位于85.5～90.5有：87，88，87，86，87
∴a=5
故答案为：5
（2）
（3）
（3）88，86；
将甲班成绩从小到大排列： 73，76，79，84，84，85，85，86，87，87，87，88，93，98，98．
中位数为：86
乙班成绩： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
众数为：88
（77+88+92+85+76+90+76+91+88+81+85+88+98+86+89）÷15=86
平均数为：86
故答案为：x＝88，y＝86，乙班平均数86
（4）
两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：
①甲、乙两班的平均数相等，但是乙班的中位数大于甲班的中位数；
②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；
故掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，平均数，方差等知识，能够理解众数，中位数，平均数，方差的定义是解决本题的关键．
考点四 求方差及做决策
例题：（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）某校为选拔优秀运动员参加市中学生运动会，组织了多次百米测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在近7次百米跑测试中的成绩（单位：秒）如下表所示：
如果根据这7次成绩选拔一人参加比赛，而这两人平均成绩相同，所以要选成绩稳定的一名学生参赛，则应选_________参赛．
【答案】乙
【分析】直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较得出答案．
【详解】解：甲的平均成绩为：，
乙的平均成绩为：．
分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为：
，
，
，
乙运动员的成绩更为稳定，应选乙参赛．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·绥滨县教师进修学校八年级期末）已知一组数据 的方差是7，那么数据…，的方差为_____________
【答案】7
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减去5所以波动不会变，方差不变．
【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都减去了5，则平均数变为−5，
则原来的方差，
现在的方差，
==7，
方差不变．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市双城区教师进修学校八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
【答案】1
【分析】根据方差的变化规律可得：数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是，再进行计算即可．
【详解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是:，
∴另一组数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是:，
∴另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是:；
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差的知识，掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，方差变为这个数的平方倍是解题的关键．
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）一次学情检测中，，，，，五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差；
(2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在、两位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占，英语成绩占来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？
【答案】(1)平均分为，方差为
(2)同学
【分析】（1）由平均数的概念计算五位同学数学成绩的平均数，再根据方差的定义得出五位同学英语成绩的方差即可；
（2）分别求得，，，，五位同学的得分，比较即可得到结论．
（1）
解：数学成绩的平均分为：；
英语成绩的方差为：；
答：这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分为和英语成绩的方差为；
（2）
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
因为同学的总得分高，
所以是同学能够被“达人”社团录取．
答：同学的总得分高，能够被“达人”社团录取．
【点睛】本题考查的是加权平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·辽宁营口·八年级期末）某校八年2班5位同学的身高（单位：）组成一组数据为：170、169、172、173、171，则这5位同学身高的平均值（ ）
A．170B．171C．171．5D．172
【答案】B
【分析】根据算术平均数的求法求解即可．
【详解】这5位同学身高的平均值为cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平均数，即一组数据，其算术平均数为，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·湖南株洲·九年级期末）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】先根据这组数据的平均数是5求出x，再把这组数字排序，然后求出中位数．
【详解】∵这组数据的平均数是5
∴
解得x=6
把这组数据有小到大排序为4、4、5、6、6
最中间的数是5
∴这组数据的中位数是5
故选A
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数，掌握平均数和中位数的计算方法是解题的关键．
3．（2022·新疆师范大学附属中学八年级期末）某小区开展节约每一滴水活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从400户中随机选取20户统计了各自家庭一个月节约用水情况．表格如下：
请你估计这400户的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A．2600立方米B．1350立方米C．1300立方米D．1200立方米
【答案】D
【分析】计算20户的平均数，再乘以总户数400即可．
【详解】解：（立方米），
∴这400户的家庭一个月节约用水的总量大约是1200立方米，
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数的计算，正确掌握平均数的计算公式是解题的关键．
4．（2021·河北唐山·八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．6，9C．6，27D．6，18
【答案】C
【分析】根据平均数和方差的变化规律可得数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数和方差的3倍和32倍，计算即可.
【详解】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数是3×2=6，方差是3²×3=27．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平均数和方差的知识，若一组数据x₁，x₂，x₃， …xn的平均数为，方差为S²，则数据ax1，ax2，ax3， …axn的平均数为，方差为a2S2，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）在中考体育加试中，某班25名男生的跳远成绩如下表：
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（ ）
A．2.10，2.05B．2.10，2.10C．2.05，2.10D．2.05，2.05
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义进行解答即可．中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；
由于一共调查了25人，
所以中位数为排序后的第13人，即：2.05．
故选D．
【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数，要明确定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
二、填空题
6．（2022·陕西西安·八年级期末）一组数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 _____．
【答案】3
【分析】先根据数据的众数确定出n的值，即可得出结论．
【详解】解：∵数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，
∴n＝3，
∴此组数据为2，3，3，5，6，
∴这组数据的中位数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数，熟练地掌握中位数和众数的定义是解题的关键．中位数：一列数据按顺序排列，位于中间的那个数；众数：一列数据中出现次数最多的数．
7．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择_____（填甲或乙、丙、丁）．
【答案】甲
【分析】根据平均数和方差的意义解答．
【详解】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
8．（2022·四川自贡·八年级期末）某地10家电商6月份的销售额如下表所示，销售额的中位数为 _______万元．
【答案】
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：10家电商6月份的销售额为：1，2，2，2，2，3，3，3，11，11，
中位数为第5个数和第6个数的平均数，即中位数为（万元），
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
9．（2022·河南三门峡·八年级期末）已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，平均数是______．
【答案】7
【分析】根据平均数的计算公式即可求解．先求出数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后利用平均数的计算公式分别表示后两组数据的平均数，经过代数式的变形可得答案．
【详解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2．
∴x1，x2，x3，x4，x5的和是10．
∴x1+3，x2+3，x3+3，x4+3，x5+3的平均数是2+3=5，
同理，数组2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的平均数是2×2+3=7．
故答案为7．
【点睛】本题主要考查了平均数的计算．正确理解公式是解题的关键．在计算中正确使用整体代入的思想．
10．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知x1，x2，x3，…，x10的平均数是a，x11，x12，x13，…，x50的平均数是b，则x1，x2，x3，…，x50的平均数是________．
【答案】
【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【详解】解：∵前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，
∴这50个数的平均数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平均数的求法，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·广东广州·八年级期末）2022年2月4日，冬奥会开幕式在北京鸟巢拉开序幕，它让世界看到了一个自信开放的中国．某中学以此为契机，组织了“我的冬奥梦”系列活动．下表是小华和小敏各项目的成绩（单位：分）：如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明小华和小敏谁将获胜．
【答案】小敏将获胜
【分析】根据平均数的计算方法分别算出平均数，再进行比较平均数即可求解．
【详解】解：小华的平均分为：（分），
小敏的平均分为：（分），
∵，
∴小敏将获胜．
【点睛】本题考查了算术平均数，熟练掌握算术平均数的计算方法是解题的关键．
12．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）从2003年10月15日神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月5日神舟十四号成功发射，19年时光，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后某兴趣小组分别从七年级和八年级参赛选手中各随机抽取8名学生的比赛成绩统计如图：
根据图中信息，解答下列问题：
(1)八年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的众数为_________分；
(2)七年级8名被抽取的选手中，比赛成绩的中位数为_________分；
(3)分别计算两个年级被抽取的选手的平均成绩，并估计哪个年级的平均成绩较高？
【答案】(1)90
(2)80
(3)七年级被抽取的选手的平均成绩为83.75分，八年级被抽取的选手的平均成绩为90分，估计八年级的平均成绩较高
【分析】（1）由图得出八年级8名被抽取的选手成绩，再根据众数的定义（众数是在一组数据中，出现次数最多的数据）求解即可；
（2）由图得出七年级8名被抽取的选手成绩，再根据中位数的定义（中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，取中间那个数或者中间两个数的平均数）求解即可；
（3）根据平均数的计算方法即可分别求得平均成绩，据此即可解答．
（1）
解：由图知：八年级8名被抽取的选手成绩为：
80、80、90、90、90、90、100、100，
分出现的次数最多，
这组数据的众数为90分，
故答案为：90；
（2）
解：七年级8名被抽取的选手的成绩为：
70、80、80、80、80、90、90、100，
所以这组数据的中位数为：(分)，
故答案为：80；
（3）
解：七年级被抽取的选手的平均成绩为：
（分）.
八年级被抽取的选手的平均成绩为：
（分）.
∵，
∴八年级学生的平均得分比七年级学生的平均得分高．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握众数、中位数和平均数的定义及求法．
13．（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据(记为x)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：
81，81，82，83，83．
c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a＝ ，b＝ ．
(2)你认为 年级的课后延时服务开展得较好，理由是 ．（至少从两个不同的角度说明理由）
(3)已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．
【答案】(1)20，82.5
(2)八年级，理由见解析
(3)估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．
【分析】（1）根据统计表的意义，各组频数之和为50即可求出a的值，利用中位数的定义可求出八年级得分的中位数，即m的值；
（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；
（3）求出家长的评分不低于80分所占的分率，再乘以600即可求解．
（1）解：a=50-2-5-15-8=20，八年级得分的中位数是排在第25、26个数，正好在80≤x＜90这一组的第3、4两个数，分别是82、83，∴b=（82+83）÷2=82.5．故答案为：20，82.5；
（2）解：八年级的课后延时服务开展得较好，理由如下：八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为81分，高于七年级的78分，说明八年级家长评分整体高于七年级；八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为82.5，七年级为79，说明八年级一半的家长评分高于82.5分，而七年级一半的家长评分仅高于79分；
（3）解：×600=336（名），答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．
14．（2022·河南鹤壁·八年级期末）为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加县级中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前6次测验成绩的折线统计图．现对甲、乙的6次测验成绩的数据进行统计分析列表对比如下：
(1)填空：b＝____；c＝____；
(2)求m的值；
(3)如果从稳定性来看，选谁参赛较合适？如果从发展趋势来看，选谁参赛较合适？请结合所学统计知识说明理由．
【答案】(1)72.5；75
(2)125
(3)从稳定性来看，乙的成绩更稳定；从发展趋势来看，选择甲参赛较好；理由见解析
【分析】（1）从图中读出数据，根据中位数和众数的概念即可得出答案；
（2）根据方差的计算公式计算即可；
（3）方差越小，成绩越稳定，即可得出结论，从发展趋势看，甲的成绩呈上升趋势，即可得出结论．
（1）
解：由图象可知，甲的六次成绩分别为：60，65，75，75，80，95；乙的六次成绩从小到大排列为：70，70，70，75，80，85；
因此乙的中位数；甲的众数；
故答案为：72.5；75；
（2）
甲的方差为：
，
；
（3）
,
乙的成绩更稳定,
从稳定性来看，选择乙参赛较合适；由图象可知，甲的成绩呈上升趋势，如果从发展趋势来看，选择甲参赛较好．
【点睛】本题考查了折线统计图，众数、中位数、平均数、方差，掌握众数、中位数、平均数、方差的计算方法是正确解答的关键．
15．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室八年级期末）为了参加“中小学生诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制分别为：八（1）班：85，86，82，91，86；八（2）班：80，85，85，92，88．
通过数据分析如下：
(1)直接写出表中_______，______，_______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由．
【答案】(1)86，86，85，8.4
(2)八（1）班前5名同学的成绩较好，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数以及方差的计算公式分别进行解答即可；
（2）根据平均数、中位数、众数与方差的意义分别进行分析，即可得出答案．
（1）
解：八（2）班的平均分a=（80+85+85+92+88）÷5=86，
将八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：82，85，86，86，91，则中位数b=86，
八（2）班前5名学生的成绩85出现了2次，次数最多，所以众数c=85．
八（1）班的方差d=[（85-86）2+（86-86）2+（82-86）2+（91-86）2+（86-86）2]÷5=8.4；
故答案为：86，86，85，8.4；
（2）
解：八（1）班中位数86分高于八（2）班中位数85分，
说明八（1）班成绩更好；
八（1）班众数86分高于八（2）班众数85分，
说明八（1）班成绩更好；
八（1）班方差8.4小于八（2）班方差15.6，
说明八（1）班成绩更稳定；
两个班的平均分都是86分，成绩一样；
综上得知，八（1）班前5名同学的成绩较好．
【点睛】本题考查方差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
16．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．
(1)写出表格中a，b，c的值：_______，________，_______；
(2)已知甲班选手进球数的方差为2.6，求乙班选手进球数的方差；
(3)如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体的第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球进入学校前三名，你认为应该选择哪个班．
【答案】(1)7；7；7
(2)1.4
(3)见解析
【分析】（1）利用加权平均数、中位数和众数的定义直接求出；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据方差和个人发挥的最好成绩进行选择．
（1）解：甲班10名同学进球数从小到大排列为：5、5、5、7、7、7、7、8、9、10，故中位数a=，众数b=7；乙班10名同学进球平均数为：×（5×2+7×5+8×2+9×1）=7（个），则c=7．故答案为：7；7；7；
（2）乙班S乙2=×[0×（10-7）2+（9-7）2+2×（8-7）2+5×（7-7）2+0×（6-7）2+2×（5-7）2]=1.4；
（3）∵甲方差＞乙方差，∴要争取夺取总进球团体第一名，应选乙班．∵甲班有一位进球数为10个满分选手，∴要进入学校个人前3名，应选甲班．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
生活垃圾收集量（单位：kg）
0.5
1
1.5
2
同学数（人）
2
3
4
1
学生
学业水平测试成绩
综合测试成绩
高考成绩
甲
85
89
81
乙
88
81
83
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
板报评比
甲
85
91
88
乙
90
84
87
市
南京
苏州
无锡
徐州
无锡
盐城
南通
常州
淮安
连云港
最高气温
19
18
19
20
19
18
18
18
18
19
日加工零件数
5
6
7
8
人数
6
5
4
3
油桃的箱数（箱）
2
3
5
6
4
每箱油桃的质量（千克）
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100
甲
1
2
4
a
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
班级
平均数
众数
中位数
方差（精确到0.1）
甲
86
87
y
44.8
乙
x
88
36.7
甲
10.7
10.9
11.0
11.6
11.0
10.8
10.3
乙
10.9
10.9
10.8
11.0
11.0
10.8
10.9
平均分
方差
数学
英语
节水量/立方米
2
2.5
3
4
0
家庭数/户
2
4
6
7
1
成绩/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人数
2
3
8
5
4
3
甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
销售额（万元）
1
2
3
11
电商（家）
1
4
3
2
选手
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
小华
85
91
88
小敏
90
84
87
分组
频数
0≤x＜60
2
60≤x＜70
5
70≤x＜80
15
80≤x＜90
a
90≤x≤100
8
合计
50
年级
平均数
中位数
众数
七
78
79
85
八
81
b
83
平均数
中位数
众数
方差
甲
75
75
c
m
乙
75
b
70
33.3
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
86
b
86
d
八（2）班
a
85
c
15.6
班级
平均数（个）
中位数（个）
众数（个）
甲
7
a
b
乙
c
7
7
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