专题08 两个三角形相似的判定压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题08 两个三角形相似的判定压轴题四种模型全攻略

考点一 两角对应相等，两个三角形相似          考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似

考点三 三边对应成比例，两个三角形相似        考点四 补充条件使两个三角形相似

考点一 两角对应相等，两个三角形相似

1．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，点P在BC上，且∠APD=，证明：△ABP△PCD．

2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．

3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．

4．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.

5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．

（1）求证：；

（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．

6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．

(1)求证：．

(2)当，时，求线段的长．

7．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．

(1)求证△ABC∽△ADE；

(2)求证：AD是⊙O的切线．

8．（2022·江苏·南京市第一中学一模）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．

(1)求证：△ADE∽△BDF；

(2)当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．

9．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．

（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．

（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．

【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．

考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似

1．（2022·全国·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′．

2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．

3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．

求证：△ACD∽△ABC．

4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．

5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．

(1)求证：△ABC与△BCD相似：

(2)求∠A的度数

6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．

（1）求证：△ABE∽△CDF．

（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．

7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．

（1）求证：△BEF∽△CDF；

（2）求证：DE·BF＝EF·BC．

8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：∠ABC＝     °，BC＝　　　；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论．

9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．

(1)求证：△AEF∽△DAC；

(2)如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．

考点三 三边对应成比例，两个三角形相似

1．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，与相似吗？为什么？

2．（2022·全国·九年级专题练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：

(1)，，，，，；

(2)，，，，，．

3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．

4．（2021·河南南阳·九年级期中）如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：．

5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．

考点四 补充条件使两个三角形相似

1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．

2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.

3．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，请你再添加一个条件_____，使得△ABD∽△ACB．

4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．

5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．

6．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件 ___，可以使△AOD与△BOC相似．

7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．

8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．

9．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．

10．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．

①；②；③；④．