苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题10相似三角形中动态问题压轴题三种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题10相似三角形中动态问题压轴题三种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共44页。
考点二 利用相似三角形中的动点求线段长问题（利用分类讨论思想）
考点三 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
典型例题

考点一 利用相似三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似．
【变式训练】
1．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，沿方向向点匀速运动，同时动点从B点出发，沿BA方向向点A匀速运动，P、Q两点的运动速度都是每秒1个单位，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为．
问：当为何值时，以点A、P、Q为项点三角形与相似．
2．（2022·福建· 九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．
(1)AB＝_______；当x＝1时，＝______；
(2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．
3．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
4．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为？
5．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)如图1，EF与CD交于点M，当DM=2CM时，求此时t的值；
(2)当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，求出所有符合条件的t的值．
6．（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点C出发，沿以4cm/s的速度向点D匀速运动，到达点D后，继续沿以3cm/s的速度向终点A匀速运动．连接PQ，以PQ、BP为边作平行四边形BPQE，连接AC交PQ于点F，设点P的运动时间为x（s），平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分图形的面积为y．
(1)当点Q在AD上，△APQ是等腰三角形时，求x的值．
(2)当点Q在CD上，△CFQ与△ADC相似时，求x的值．
(3)求y与x之间的函数关系式．
7．（2022·全国·九年级课时练习）阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
考点二 利用相似三角形中的动点求线段长问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D、E 为 AC、BC 上两个动点， 若将∠C 沿 DE 折叠，使点 C 的对应点 C′落在 AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形， 则此时 CD 的长为（ ）
A．B．C．或 D．或
【变式训练】
1．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）在中，，点P在上，且，点Q是边上一个动点，当______时，与相似．
2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，AE＝__________．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级开学考试）如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当CN=2时，CM=______．
4．（2021·河南·漯河市第三中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有 _____个．
5．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是_______．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________．
考点三 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
例题：（2022·上海对外经贸大学附属松江实验学校花园分校九年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
(1)求证：AE＝2PE；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
【变式训练】
1．（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校九年级阶段练习）如图，Rt△ABC的两条直角边cm，cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/s，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2 cm/s．动点E到达点C时运动终止．连结DE、CD、AE，设运动时间为（s）．
(1)当为何值时，△BDE与△ABC相似?
(2)设△ADE的面积为S，求S与的函数解析式；
(3)在运动过程中是否存在某一时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP = x,CE = y
(1)如图，当点P在边BC上时（P点与点B、C不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)当x = 3时，求CF的长；
(3)当时，求BP的长
3．（2021·福建·漳州市第七中学九年级阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，且点G在线段AB的左侧，连接BG．
(1)求证：△ADE∽△ABF；
(2)若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．
①求y与x的函数关系式；
②当时，求x的值；
(3)如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，直接写出的值．
专题10 相似三角形中动态问题压轴题三种模型全攻略
考点一 利用相似三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）
考点二 利用相似三角形中的动点求线段长问题（利用分类讨论思想）
考点三 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
典型例题

考点一 利用相似三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似．
【答案】6或
【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据与都是直角，当与相似时，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．
【详解】解：∵动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，，
∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，
又∵动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，
∴OE=tcm，
根据与都是直角，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论，
当∽，即时，，
解得：，
当∽，即时，，
解得：，
综上所述：当t=6或时，与相似，
故答案时：6或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，沿方向向点匀速运动，同时动点从B点出发，沿BA方向向点A匀速运动，P、Q两点的运动速度都是每秒1个单位，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为．
问：当为何值时，以点A、P、Q为项点三角形与相似．
【答案】当s或s时，以点A、P、Q为项点三角形与相似
【分析】由题意可知，当或时，以点A、P、Q为项点三角形与相似，根据相似的性质，进行分情况讨论进行计算求t值，注意t的取值范围．
【详解】解：若以点A、P、Q为项点三角形与相似，
则在中，或，
由题意可知，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0,6），
∴OA=8，OB=6，AB=10，
∵运动时间为，
∴AP=BQ=t，
则AQ=10-t，
①当时，
，
则，
∴，
解得：（符合题意）；
②当，
，
则，
∴，
解得：（符合题意），
综上所述，当s或s时，以点A、P、Q为项点三角形与相似．
【点睛】本题主要考查的是相似与一次函数的综合，利用相似的性质求值是本题解题的重点，同时需注意分情况讨论．
2．（2022·福建· 九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．
(1)AB＝_______；当x＝1时，＝______；
(2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．
【答案】(1)4，
(2)是定值，
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出AB，作PM⊥AB于M交CD于N，证明，利用相似比求出；
（2）利用，求出相似比是个定值即可；
（3）将△PBE的面积转化为二次函数，求最值即可．
（1）
解：作PM⊥AB于M交CD于N．如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，
∵AC＝5，
∴．
∵
∴
∴
∴，，
∴，
∵MN＝AD＝3，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴ ，
∴，
故答案为4，；
（2）
结论：的值为定值．理由如下：
当点E在点C左侧时，如图1所示：
由PA＝x，可得．
∴，，，
∵△BMP∽△PNE，
∴．
当点E在点C右侧时，如图2所示：
同理得出．
综上所述：的值为定值．
（3）
在Rt△PBM中，
，
∵．
∴，
∴，
∵0＜x＜5，
∴ 时，S有最小值＝．
【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质．解题的关键是：熟练掌握矩形的性质，通过添加辅助线构造三角形相似．本题还考查了二次函数求最值的问题．
3．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)3秒
(2)3秒或秒
【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．
（1）
解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6−t，BQ＝2t，
由题意得：＝PB·BQ＝（6−t）·2t＝＝9，
解得：，
答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；
（2）
分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，
则，即，
解得：，
②当△BPQ∽△BCA时，
则，即，
解得：，
综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键．
4．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为？
【答案】(1)；
(2)2或3．
【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB．利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t．
（2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QEBO证明△AEQ∽△AOB，从而得到，从而得出==，再利用三角形面积解得t即可．
（1）
解：由AO=6，BO=8，，
所以，
所以AP=t， AQ=，
①当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB
所以，
所以，
解得(秒)
②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB
所以，
所以
解得(秒)
∴当t为或时，△AQP与△AOB相似．
（2）
过点Q作QE⊥AO于点E，
∵QE⊥AO，BO⊥AO，
∴QEBO，
∴△AEQ∽△AOB，
∴
∴==，
=
解得：
∴当t=2或3时，△APQ的面积为个平方单位．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．
5．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)如图1，EF与CD交于点M，当DM=2CM时，求此时t的值；
(2)当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，求出所有符合条件的t的值．
【答案】(1)t=1或t=3
(2)t=1或t=3或t=9或t=
【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）分四种情况讨论，根据矩形的性质和正方形的性质证明全等或相似，求得BE的长度，进而求解．
（1）
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴CD=AB=3，
∵DM=2CM，
∴DM=2，CM=1，
∵四边形AEFG是正方形，四边形ABCD是矩形，
∴∠AEM=∠ADM=∠ABE=90°，AD=BC=4，
∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEM=90°，
∴∠BAE=∠CEM，
∴△ABE∽△ECM，
∴，
∴=，
∴t=1或t=3；
（2）
分四种情况，
1°当点F在CD上时，如图，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=∠ECF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠EFC=90°，
∵正方形AEFG，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，∠AEB=∠EFC，
在△BAE和△CEF中，
，
∴△BAE≌△CEF（ASA），
∴AB=EC=3，
∴BE=BC﹣CE=4﹣3=1，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=1；
2°当点F落在AD上时，如图，
∵AF时正方形AEFG的对角线，
∴∠EAF=45°，
∵矩形ABCD，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=3；
3°当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，
∵正方形AEFG，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠MEF=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△BAE和△MEF中，
，
∴△BAE≌△MEF（AAS），
∴FM=BE，EM=AB=3，
设FM=BE=x，则MC=4﹣3﹣x=1﹣x，
∵∠FCM=∠ACM，∠FMC=∠ABC，
∴△FMC∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x=，
即FM=BE=，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=；
4°当点F落在BD上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，
∵正方形AEFG，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠MEF=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△BAE和△MEF中，
，
∴△BAE≌△MEF（AAS），
∴FM=BE，EM=AB=3，
设CE=a，则FM=BE=4+a，BM=7+a，
∵∠DBC=∠FBM，∠FMB=∠DCB=90°，
∴△FBM∽△DBC，
∴，
∴，
解得a=5，
∴BE=4+a=9，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=9；
故所有符合条件的t的值为t=1或t=3或t=9或t=．
【点睛】本题是四边形综合题，以动点为背景考查了正方形，矩形的性质，关键是根据正方形，矩形的性质，利用全等或相似求出边长，进而求解．
6．（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点C出发，沿以4cm/s的速度向点D匀速运动，到达点D后，继续沿以3cm/s的速度向终点A匀速运动．连接PQ，以PQ、BP为边作平行四边形BPQE，连接AC交PQ于点F，设点P的运动时间为x（s），平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分图形的面积为y．
(1)当点Q在AD上，△APQ是等腰三角形时，求x的值．
(2)当点Q在CD上，△CFQ与△ADC相似时，求x的值．
(3)求y与x之间的函数关系式．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）当Q在AD上时，AQ=14-[8+3(x-2)]=12-3x，AP=2x，根据∠QAP=90°，只能得到AQ=AP，建立等式求解即可．
（2）分QF AD和QF不平行AD两种情况求解即可．
（3）分0＜x≤，＜x≤2，2＜x≤4三种情形，结合图形的面积计算公式计算即可．
（1）
当Q在AD上时，因为AQ=14-[8+3(x-2)]=12-3x，AP=2x，∠QAP=90°，
所以AQ=AP，
所以12-3x =2x，
解得x=，
故当点Q在AD上，△APQ是等腰三角形时，x的值为．
（2）
因为四边形ABCD是矩形，
所以∠CDA=90°，AD=BC=6cm，AB=CD=8cm，AC=cm．
当点Q在CD上，当QF AD时即△CQF∽△CDA时，如图，
则∠CQF=∠CDA=90°，四边形ADQP是矩形，
所以DQ=AP=2x，CQ=4x，
所以8-4x =2x，
解得x=；
当点Q在CD上，当△CFQ∽△CDA时，如图，
则∠CFQ=∠CDA=90°．
因为四边形ABCD是矩形，
所以DCAB，
所以△CFQ∽△AFP，
所以CF：FA=CQ：AP=2：1，
所以FC=，
因为，
所以CQ==，
所以4x=，
解得x=．
故当点Q在CD上，△CFQ与△ADC相似时，x的值为或．
（3）
解：∵四边形PBEQ是矩形时，点E和点C重合
∴CQ=PB，即：4x=8-2x，
解得：x=，
当0＜x≤时，如图，
根据题意，得AP=2x，CQ=4x，PB=8-2x，
所以重叠梯形PBCQ的面积为：；
当＜x≤2时，如图，
根据题意，得AP=2x，CQ=4x，PB=8-2x，
所以重叠平行四边形PBEQ的面积为：；
当2＜x≤4时，如图，
根据题意，得AP=2x，AQ=6-3(x-2)=12-3x，PB=8-2x，
所以重叠平行四边形PBEQ的面积为：；
综上所述，重叠部分的面积为：
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，分类讨论思想，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)＝，解答见解析
(2)没有进行分类讨论，见解析
(3)存在，t＝或t＝
【分析】（1）根据三角形相似的性质可得＝，再进行计算即可；
（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；
（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程进行计算即可．
（1）
由题意得∵
∴正确比例式是：＝，
∴DE＝＝＝＝；
（2）
另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴＝，
∴DE＝＝＝，
综合以上可得：DE为或．
（3）
由题意可知，有两种情况，
第一种：当时，
设AM=t，则AN=6-2t，
则由得，
解得：t=；
第二种：当时，
则由，
，
解得：t=，
综上所述，当t＝或t＝时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论．
考点二 利用相似三角形中的动点求线段长问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D、E 为 AC、BC 上两个动点， 若将∠C 沿 DE 折叠，使点 C 的对应点 C′落在 AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形， 则此时 CD 的长为（ ）
A．B．C．或 D．或
【答案】C
【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．
【详解】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，
∴DC'CB，
∴△ADC'∽△ACB，
又∵AC＝3，BC＝4，
∴，
设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，
∴，
解得x，
经检验：x是所列方程的解，
∴CD；
②如图，当∠DC'A＝90°时，∠＝90°，
由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，
∴C'B与CE重合，
∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC'∽△ABC，
Rt△ABC中，AB＝＝5，
∴，
设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，
∴，
解得x，
经检验：是方程的解，
∴CD；
综上所述，CD的长为或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得到比例式列方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）在中，，点P在上，且，点Q是边上一个动点，当______时，与相似．
【答案】2或8##8或2
【分析】分和两种情况求解．
【详解】当时，
则，
因为，，
所以，
解得；
当时，
则，
因为，，
所以，
解得；
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确进行分类计算是解题的关键．
2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，AE＝__________．
【答案】或1
【分析】分情况讨论：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性质，角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．
【详解】解：分两种情况：
①当∠CED=90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，
∵∠A=∠B=∠CED=90°，
∴∠BCE=∠DCE，
∴AE=EF，EF=BE，
∴AE=BE=AB=，
②当∠CDE=90°时，如图2，
当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∵，CE和BC相交，
∴AD与CE不平行，
∴，
∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，
∴∠BCE=∠DCE=∠ADE =30°，
∵∠A=∠B=90°，
∴BE=ED=2AE，
∵AB=3，
∴AE=1，
综上，AE的值为或1．
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，角平分线的性质和直角三角形30度角的性质，当两个直角三角形相似时，要分情况进行讨论；正确画图是关键，注意不要丢解．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级开学考试）如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当CN=2时，CM=______．
【答案】4
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，进而证明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠BMA=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠BMA+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴△BAM∽△CMN，
∴，
∴，
解得MC=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
4．（2021·河南·漯河市第三中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有 _____个．
【答案】4
【分析】设P（t，），由于∠PQO＝∠AOB，则根据相似三角形的判定方法，当时，△OPQ∽△BAO，当时，△OPQ∽△ABO，然后分别解方程求出t，从而可判断点P的个数．
【详解】解：∵A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
设P（t，），
∵PQ⊥x轴，
∴∠PQO＝90°，
∵∠PQO＝∠AOB，
∴当时，△OPQ∽△BAO，
即，
则2t＝，
解得t1＝﹣，t2＝，
此时P点坐标为（﹣，）或（，﹣）；
当时，△OPQ∽△ABO，
即，则t＝，
解得t1＝﹣，t2＝，
此时P点坐标为（，﹣）或（﹣，），
∴以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，相应的点P共有4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了反比例函数函数图象上点的坐标特征．
5．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是_______．
【答案】4或
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，根据相似的性质得，即；当△AED∽△ABC，根据相似的性质得，即，然后分别求解即可．
【详解】解：当△ADE∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝；
当△AED∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝4，
综上所述，AD的长为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________．
【答案】2或8或5
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分别根据相似三角形的对应边成比例求得DP的长度即可．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，
①当△APD∽△PBC时，
可得，即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
可得，即，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案为：2或8或5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
考点三 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
例题：（2022·上海对外经贸大学附属松江实验学校花园分校九年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
(1)求证：AE＝2PE；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
【答案】(1)见解析
(2)y＝﹣+x，定义域是0＜x＜
(3)或
【分析】（1）先由已知条件判断出，由相似三角形的对应边成比例即可得出＝，再由，可知，再根据其对应边成比例即可求出答案；
（2）由，得＝＝，进而可得出AE与DE的关系，作，垂足为点H，由可得出＝＝，进而可得出y与x的关系式；
另解：由x，根据＝，即可得到y与x的关系式；
（3）由，得＝，当与相似时，只有两种情形：或，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
（1）
解：
∴＝，
∴＝＝．
（2）
解：由得＝，
作，垂足为点H，
∴＝＝．
∴HE＝x．
又∵AB＝2，y＝（2﹣x）•x，即y＝﹣+x．
∵点D是AC上一点，
∴
∴，
定义域是．
另解：由得＝＝，
∴×x＝x，
∴×x×2＝x，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣+x．
定义域是．
（3）
解：由，得＝，
∴PE＝x•＝x．
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：或
（i）当时，＝，
∴＝．
解得x＝．
∴﹣x××5+×＝．
（ii）当时，同理可得x＝，
y＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，找出图形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是关键，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．
【变式训练】
1．（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校九年级阶段练习）如图，Rt△ABC的两条直角边cm，cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/s，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2 cm/s．动点E到达点C时运动终止．连结DE、CD、AE，设运动时间为（s）．
(1)当为何值时，△BDE与△ABC相似?
(2)设△ADE的面积为S，求S与的函数解析式；
(3)在运动过程中是否存在某一时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当为秒或秒时，与相似
(2)，
(3)存在，当t=，有CD⊥DE
【分析】（1）设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），然后分∠BDE=∠BAC，和∠BDE=∠BAC，两种情况分别证明Rt△BDE∽Rt△BCA，最后后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值即可；
（2）过E作EF⊥AB于F，先证Rt△BEF∽Rt△BAC，根据三角形相似的性质得到比例线段用t表示EF，BF，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）先计算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t即可．
（1）
∵，，
∴BC=5cm，
设点运动时间为秒，
，，
，，
①当，即时，，
，即，
∴，
②当即时，，
∴，即，
∴，
即当为秒或秒时，与相似；
（2）
过E作EF⊥AB于F，如图，
根据题意有∠BAC=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，
∴EF=，BF=，
∴（）；
即：，；
（3）
存在，理由如下：
DF=AB-AD-BF=4-t-=4-t，
若CD⊥DE，
∴∠ADC+∠BDE=90°，
∵∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠BDE，
∵∠CAD=∠DFE=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△FDE，
∴，即，
∴解得：t=，
即当t=，有CD⊥DE．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得三角形相似并根据相似三角形的性质列方程是解答本题的关键．
2．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP = x,CE = y
(1)如图，当点P在边BC上时（P点与点B、C不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)当x = 3时，求CF的长；
(3)当时，求BP的长
【答案】(1)
(2)3
(3)3或7
【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，，再证，可得，从而得出，从而解决问题．
（2）把的值代入第一问的解析式就可以求出的值，再利用三角形相似就可以求出的值．
（3）分为当点在线段上时及当在点的右侧时两种情况情况讨论，从而求出的值．
（1）
如图，
四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
自变量的取值范围为：；
（2）
当时，，
即，
，
四边形是矩形，
平行于．
，
，
，
；
（3）
①当点在线段上时，在线段上，
，
，
∴
，
∴，
②当在点的右侧时，如图
，
，
，
，
，
∴
，
∴，
综上所述，PB的长为3或7
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．（2021·福建·漳州市第七中学九年级阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，且点G在线段AB的左侧，连接BG．
(1)求证：△ADE∽△ABF；
(2)若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．
①求y与x的函数关系式；
②当时，求x的值；
(3)如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）①如图1中，作于，利用三角形的中位线定理，推出，再根据，即可解决问题；
②由，可以假设，，利用相似三角形的性质构建方程，求出即可解决问题；
（3）连接，先证明，设，，则，根据及，构建一元二次方程，即可解决问题．
（1）
证明：，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
（2）
①如图1，过点作于，则，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
；
②，
设，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）
如图2，连接，设，．
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
设，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，会利用参数构建方程是解决问题的关键．