苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题02一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题02一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共30页。
例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3)； (4)100（x－1）2＝121．
【变式训练1】（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x－3)2＝4，最合适的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法
【变式训练2】（2021·广东·梅州市学艺中学八年级期末）一元二次方程（x-1）2=4的根是______________.
【变式训练3】（2022·广东·模拟预测）方程的解是_______．
【类型二 解一元二次方程——配方法】
例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：
(1)； (2)
【变式训练1】（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：．
【变式训练3】（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．
【类型三 根据判别式判断一元二次方程解得情况】
例题：（2022·山东青岛·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为__________．
【变式训练1】（2022·上海·八年级期末）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2-2=0B．x2-2x=0C．x2+x+1=0D．(x-1)(x-3)=0
【变式训练2】（2022·四川成都·九年级期末）已知方程，则该方程的根的情况为（ ）
A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根无法判定
【变式训练3】（2022·河北·一模）新定义运算：，例如，则方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【类型四 解一元二次方程——公式法】
例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．
(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2)．（公式法）
【变式训练1】（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）计算
解方程：
【变式训练2】（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：
(1)； (2)
【变式训练3】（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
【类型五 解一元二次方程——因式分解法】
例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【变式训练1】（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：
(1) ；
(2)．
【变式训练2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：
(1)
(2)
【变式训练3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）解方程：
(1)
(2)
【课后训练】
一、选择题
1．（2022·四川成都·九年级期末）方程x（x﹣3）＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3
2．（2022·海南三亚·一模）一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南周口·二模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．实数根的个数与实数m的取值有关
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
4．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
5．（2022·全国·九年级单元测试）若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题
6．（2022·浙江宁波·一模）代数式与4x的值相等，则x的值为________．
7．（2022·广西梧州·一模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是__________．
8．（2022·四川成都·九年级期末）若时，代数式的为0，则代数式________．
9．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为________．
10．（2022·内蒙古包头·二模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是__________．
三、解答题
11．（2022·浙江绍兴·八年级期中）解方程：
(1)
(2)
12．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）（1）．
（2）．
13．（2021·河南新乡·九年级期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
14．（2022·江西景德镇·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
15．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
16．（2022·四川成都·九年级期末）关于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
17．（2022·河北承德·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为0，求p的值及另一个根；
(2)若，求方程的解；
18．（2022·北京海淀·二模）关于x 的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最小的整数时，求此时的方程的根．
专题02 一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略
【类型一 解一元二次方程——直接开平方法】
例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3)； (4)100（x－1）2＝121．
【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)，；(4)x1＝，x2＝－
【解析】
【分析】
把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后选取适当的方法即可求解．
【详解】
解：（1），
，
，
．
（2）4（x﹣1）2＝9，
则（x﹣1）2＝，
故x﹣1＝±，
解得：x＝或x＝﹣．
(3)
移项得：，
开平方得：，
解得：，；
(4)解∶ （x－1）2＝，
x－1＝±，
即x1＝，x2＝－．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．
【变式训练1】（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x－3)2＝4，最合适的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法
【答案】A
【解析】
【分析】
观察方程特点确定出适当的解法即可．
【详解】
解：方程(x－3)2＝4，最合适的方法是直接开平方法；
故答案为：A
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【变式训练2】（2021·广东·梅州市学艺中学八年级期末）一元二次方程（x-1）2=4的根是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式训练3】（2022·广东·模拟预测）方程的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先移项化为，再利用直接开平方的方法解方程即可.
【详解】
解：
即
或

故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.
【类型二 解一元二次方程——配方法】
例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，；(2)
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；
（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．
(1)
解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
∴，．
(2)
，
，
，
，
，
解得．
【点睛】
本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．
【变式训练1】（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案．
【详解】
解：∵，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【变式训练2】（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：．
【答案】,
【解析】
【分析】
利用配方法解一元二次方程．
【详解】
解：x2+4x=8，
x2+4x+4=8+4，
，
，
，．
【点睛】
本题考查利用配方法解一元二次方程，解决问题的关键是降次．
【变式训练3】（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．
【答案】x1＝2+，x2＝2﹣
【解析】
【分析】
根据配方法即可求解．
【详解】
解：x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝6，
x﹣2＝±，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【类型三 根据判别式判断一元二次方程解得情况】
例题：（2022·山东青岛·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意知，，计算求解即可．
【详解】
解：由题意知，，
解得，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根．
【变式训练1】（2022·上海·八年级期末）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2-2=0B．x2-2x=0C．x2+x+1=0D．(x-1)(x-3)=0
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．
【详解】
解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B选项不符合题意；
C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C选项符合题意；
D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
【变式训练2】（2022·四川成都·九年级期末）已知方程，则该方程的根的情况为（ ）
A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根无法判定
【答案】A
【解析】
【分析】
求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
【详解】
解：方程x2-2x+4=0，
∵a=1，b=-2，c=4，
∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0，
则方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】
此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．
【变式训练3】（2022·河北·一模）新定义运算：，例如，则方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新定义，列出方程，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
【类型四 解一元二次方程——公式法】
例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．
(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2)．（公式法）
【答案】(1)x1＝，x2＝；(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据公式法，可得方程的解；
（2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．
(1)
解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
(2)
解：
则


解得：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．
【变式训练1】（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）计算
解方程：
【答案】x1＝，x2＝．
【解析】
【分析】利用公式法解方程即可．
解：，
Δ＝，
∴，
解得：x1＝，x2＝．
【点睛】
本题考查了公式法解一元二次方程，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式训练2】（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得．
（1），
，，，，
，
，，
(2)
解：方程中的，
，
则，
故．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
【变式训练3】（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
【答案】(1)-1
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
(1)
关于x的方程是一元二次方程，
解得
(2)
方程为，
即，
，
解得，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
【类型五 解一元二次方程——因式分解法】
例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；
（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．
(1)
解：x2﹣4x＝5，
移项得：x2﹣4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
∴x-5=0或x+1=0，
解得：；
(2)
解：2（x+1）2＝x（x+1），
移项得：2（x+1）2-x（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，
∴x+1=0或2x+2-x=0，
解得：．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
【变式训练1】（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)或；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）运用十字相乘法解一元二次方程．
(1)
∵
∴
解得：或；
(2)
∵
∴，
解得：或．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．
【变式训练2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
(1)
解：
∴，
(2)
∴，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解是解本题的关键．
【变式训练3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
(1)
解：，即，
∴方程的根为：，；
(2)
解：，
提取因式可得：，
∴方程的根为：，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【课后训练】
一、选择题
1．（2022·四川成都·九年级期末）方程x（x﹣3）＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】
解：x（x﹣3）＝0
解得：x1＝0，x2＝3
故选C
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2022·海南三亚·一模）一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用完全平方公式变形，进而求解即可．
【详解】
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．（2022·河南周口·二模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．实数根的个数与实数m的取值有关
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出判别式的值，再根据根的判别式判断即可．
【详解】
解：，
b2-4ac，
不论为何值，，
b2-4ac，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】A
【解析】
【分析】
讨论：当k=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0时有实数解，此时k≥-且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围．
【详解】
解：当k=0时，方程化为-x-1=0，解得x=-1；
当k≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，
解得k≥-且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≥-．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2022·全国·九年级单元测试）若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），
整理得：x2=3，
两边直接开平方得：x=±，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．
二、填空题
6．（2022·浙江宁波·一模）代数式与4x的值相等，则x的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：根据题意得：x2-2x=4x，
整理得：x2-6x=0，
分解因式得：x（x-6）=0，
所以x=0或x-6=0，
解得：x1=0，x2=6，
故答案为：x1=0，x2=6．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法的方法步骤．
7．（2022·广西梧州·一模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是__________．
【答案】a≤2
【解析】
【分析】
关于x的一元二次方程2x2+4x+a=0有实数根，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
【详解】
解：由题意，得Δ=42-4×2a≥0，
解得a≤2．
故答案是：a≤2．
【点睛】
本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
8．（2022·四川成都·九年级期末）若时，代数式的为0，则代数式________．
【答案】或##2或-6
【解析】
【分析】
把代入， =0，先求解m的值，再分情况代入代数式求值即可．
【详解】
解： 时，代数式的为0，


解得：
当时，
当时，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程，代数式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本题的关键．
9．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．
【详解】
解：根据题意得：
得
解得
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键．
10．（2022·内蒙古包头·二模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，解一元一次方程可得出方程有解；当时，利用根的判别式，即可求出k的取值范围．综上即可得出结论．
【详解】
当，即时，方程为，
解得，符合题意；
②当，即时，，即，
解得：且．
综上即可得出k的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根的判别式，分二次项系数为零和非零两种情况考虑是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·浙江绍兴·八年级期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）提取公因式 利用因式分解的方法解方程即可；
（2）在方程两边都加上4，利用配方法解方程即可．
(1)
解：∵，
∴ ，
∴x=0，或3x-2=0，，
∴，
(2)
解：∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是因式分解法，配方法解一元二次方程，掌握“因式分解法与配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
12．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先移项，再直接开平方即可求解；
（2）采用十字相乘将等号左侧进行因式分解，求解即可．
【详解】
（1）解：，
∴，
∴．
（2）解：，
∴或，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，选择合适的方法是解题关键．
13．（2021·河南新乡·九年级期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移项，利用因式分解法解方程即可；
(1)
解：∵，，．
∴，
∴．
∴，．
(2)
原方程可变形为，
因式分解为．
，或，
∴，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．
14．（2022·江西景德镇·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）方程直接用开平方法求解即可；
（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．
(1)
，
，
，
∴ ；
(2)
，
，
，
，
∴．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的方法是解题的关键．
15．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
【答案】(1)，
(2)x1＝，x2＝2
(3)x1＝，x2＝
(4)x1＝－4，x2＝－5
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用配方法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
(1)
解： a＝1，b＝－1，c＝－1
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5
∴x＝＝
即原方程的根为x1＝，x2＝
(2)
解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，
即（3x－1）（x－2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
(3)
解：配方，得（x－）2＝1，
∴x－＝±1．
∴x1＝＋1，x2＝－1．
(4)
解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，
即（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x1＝－4，x2＝－5．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
16．（2022·四川成都·九年级期末）关于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】k的取值范围是且
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，
解得k＜6且k≠2．
即k的取值范围是k＜6且k≠2．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
17．（2022·河北承德·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为0，求p的值及另一个根；
(2)若，求方程的解；
【答案】(1)，另一根为；
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）将0代入方程即可求出p，再将p的值代入方程求出另一个根即可．
（2）将代入方程，解方程即可．
(1)
解：把代入方程，得，故，
原方程化为，解之得：方程的另一根为；
(2)
解：若，原方程化为，
利用公式法可知：，
∴方程的根为，．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的定义以及解方程，解题的关键是理解方程根的定义求出p的值，掌握公式法、因式分解法解方程．
18．（2022·北京海淀·二模）关于x 的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最小的整数时，求此时的方程的根．
【答案】(1)
(2)方程的根为，
【解析】
【分析】
（1）由题意得，解出m的范围即可；
（2）根据第（1）问m的范围求出m的最小整数值，然后将m的值代入方程，解方程即可．
(1)
解：∵关于x 的方程有两个不相等的实数根．
∴其根的判别式．
∴ ；
(2)
解：∵且m为最小的整数，
∴．
∴此时方程为．
∴方程的根为，．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程，当根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入m的值，利用因式分解法求出一元二次方程的解．