浙教版七年级数学上册同步精品讲义第21课两个三角形相似的判定(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第21课两个三角形相似的判定(学生版+解析)，共46页。学案主要包含了即学即练1，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 相似三角形的判定
1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与
原三角形相似.
2.三角形相似的判定定理:
（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似.
（2）三边对应成比例的两个三角形相似.
（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
能力拓展
考点01 相似三角形的判定
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若AB＝26，BC＝20，求线段DE的长．
【即学即练1】如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；
分层提分
题组A 基础过关练
1.如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．C．D．
3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．3B．4C．D．2
4. 如图所示，添加一个条件 ，使△ADB∽△ABC．
5.如图，在△ABC和△ADE中，，∠CAE＝40°，则∠BAD的度数为 ．
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为 ．
7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．
8.如图，AB为⊙O的直径，D为弧BC中点，DE⊥AB于点E，BC交DE于点F，交AD于点G．
（1）求证：GF＝DF；
（2）求证：BE•AB＝AD•DG．
题组B 能力提升练
9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10.如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．①③④
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）
①AD2＝BD•CD ②AB•CD＝AC•AD ③AC2＝BC•CD ④AB2＝AC•BD
A．1个B．2个C．3个D．4个
12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，则AF的长为（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
13.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 对．
14.如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 ．
15.如图，半圆O以AB为直径，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，DC＝BC＝4，AD＝14，求AB的长 ．
16.如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
17.如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
题组C 培优拔尖练
18.如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）
A．B．C．D．∠BAC＝∠BDC
19.如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD＝4，连AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB＝AD，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．6B．8C．9D．18
20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为 ．
21.如图，DA⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过点E作EF⊥AC交AC于F，且BC＝2，AD＝3，则EF的长为 ．
22.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝4，点E在BC边上，若AE⊥AD，且∠AEB＝∠DEA，则BE的长为 ．
23.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ．
24.如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为 ；BC的长为 ．
25.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．
（1）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其定义域；
（2）若三角形ADE恰为等腰三角形，求AE的长．
26.从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
学习目标
1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2.掌握三角形相似的3个判定定理
3.会运用上述定理判定两个三角形相似.
第21课 两个三角形相似的判定
目标导航
知识精讲
知识点01 相似三角形的判定
1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与
原三角形相似.
2.三角形相似的判定定理:
（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似.
（2）三边对应成比例的两个三角形相似.
（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
能力拓展
考点01 相似三角形的判定
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若AB＝26，BC＝20，求线段DE的长．
【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，即可解决问题；
（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD；
（2）解：∵AB＝AC＝26，CB＝20，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝10，
∴AD＝＝24，
∵•AD•BD＝•AB•DE，
∴DE＝＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．
【即学即练1】如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；
【思路点拨】（1）利用三角形外角可得∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，进而证得△AMF∽△BGM；
（2）在（1）的基础上，再由∠A＝∠B＝45°，可得出△ABC是等腰直角三角形，根据M为线段AB的中点，可得AM＝BM＝AB＝×4＝2，运用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；
【解析】（1）证明∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），
∠DME＝∠A＝∠B（已知），
∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：∵∠DME＝∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵M为线段AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝×4＝2，
∵△AMF∽△BGM，
∴＝，
∴BG＝＝＝，
又∵AC＝BC＝4，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝，CF＝AC﹣AF＝4﹣3＝1，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG＝＝＝；
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、FG的长度以及根据面积法求出MH的长度．
分层提分
题组A 基础过关练
1.如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
2.如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．C．D．
【思路点拨】根据勾股定理求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解析】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝1，AC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：5：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；
B、三边之比：：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；
C、三边之比为：2：＝1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，符合题意；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．3B．4C．D．2
【思路点拨】由∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADB，则＝，其中AD＝2，AC＝6，即可求得AB＝2．
【解析】解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
∴AB2＝AD•AC，
∵AD＝2，AC＝6，
∴AB2＝2×6＝12，
∴AB＝2，
∴AB的长为2，
故选：D．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△ABC∽△ADB是解题的关键．
4. 如图所示，添加一个条件 ∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或） ，使△ADB∽△ABC．
【思路点拨】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．
【解析】解：在△ADB和△ABC中，
∵∠A＝∠A，
∴只要满足∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或），△ADB∽△ABC．
故答案为：∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或）．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5.如图，在△ABC和△ADE中，，∠CAE＝40°，则∠BAD的度数为 40° ．
【思路点拨】由在△ABC和△ADE中，＝＝，可证得△ABC∽△ADE，然后由相似三角形的对应角相等，求得答案．
【解析】解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵∠CAE＝40°，
∴∠BAD＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．能够正确证得△ABC∽△ADE是解题的关键．
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为 2 ．
【思路点拨】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝3×8＝24，
解得：AC＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．
【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质求出AC，在Rt△ADC中，根据勾股定理即可求出CD．
【解析】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，
∴AC2＝AD•AB＝2×6＝12，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝4．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.如图，AB为⊙O的直径，D为弧BC中点，DE⊥AB于点E，BC交DE于点F，交AD于点G．
（1）求证：GF＝DF；
（2）求证：BE•AB＝AD•DG．
【思路点拨】（1））由圆周角定理得出∠DAB＝∠CBD，∠ADB＝90°，得出∠CBD+∠DGF＝90°，由DE⊥AB，得出∠DAB+∠GDF＝90°，进而得出∠DGF＝∠GDF，即可证明GF＝DF；
（2）证明△ADB∽△DEB，得出，得出BD2＝BE•AB，证明△GDB∽△BDA，得出，得出BD2＝AD•GD，即可证明BE•AB＝AD•DG．
【解析】证明：（1）∵D为弧BC中点，
∴，
∴∠DAB＝∠CBD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CBD+∠DGF＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DAB+∠GDF＝90°，
∴∠DGF＝∠GDF，
∴GF＝DF；
（2）∵∠ADB＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADB＝90°，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∴BD2＝BE•AB，
∵∠DAB＝∠CBD，∠GDB＝∠BDA，
∴△GDB∽△BDA，
∴，
∴BD2＝AD•GD，
∴BE•AB＝AD•DG．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判断与性质是解决问题的关键
题组B 能力提升练
9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
【解析】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
10.如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．①③④
【思路点拨】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）
①AD2＝BD•CD ②AB•CD＝AC•AD ③AC2＝BC•CD ④AB2＝AC•BD
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC＝∠ABD，则可证出结论；②能证明△ABC与△ADC相似，得出不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC＝∠BAC＝90°，可得出③符合题意；根据AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．
【解析】解：①∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵AD2＝BD•CD，
∴，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC＝∠ABD，
∴∠ABD+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
故①符合题意；
②∵AB•CD＝AC•AD，
∴，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠ABD＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
故②符合题意；
③∵AC2＝BC•CD，
∴，
∵∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠ADC＝∠BAC＝90°，
故③符合题意；
④由AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，
故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，则AF的长为（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【思路点拨】由AE和CE的长可求出AC的长，因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，若要求AF 的长，可求出BF的长即可．而通过证明△DBF∽△DCE即可求出BF的长，可求出答案．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠FDB，∠EDC＝180°﹣∠FDE﹣∠FDB，
又∵∠FDE＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
∴△DBF∽△DCE，
∴BD：CE＝BF：CD，
∵BD＝2，CD＝3，CE＝4，
∴2：4＝BF：3，
∴BF＝1.5，
∵AC＝AE+CE＝+4＝5.5，
∴AB＝5.5，
∴AF＝AB﹣BF＝5.5﹣1.5＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，解题的关键是求AF的长，转化为求BF的长
13.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 3 对．
【思路点拨】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，利用三角形内角和得到∠3＝∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠3＝∠5，于是可判断△ABD∽△AEC．
【解析】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，
∴∠3＝∠4，
∴△AFE∽△DFC；
∴AF：DF＝EF：FC，
而∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC；
∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，
∴∠3＝∠5，
∴△ABD∽△AEC．
∴图中不全等的相似三角形共有3对，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14.如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 1或3或8． ．
【思路点拨】分两种情形构建方程求解即可．
【解析】解：设AP＝x．
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝3．
②当时，，解得x＝1或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15.如图，半圆O以AB为直径，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，DC＝BC＝4，AD＝14，求AB的长 16 ．
【思路点拨】连接AC，由DC＝BC，得出∠EAC＝∠BAC，根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ACB＝90°，再利用ASA证明△ACE≌△ACB，得出BC＝EC，利用两个角相等证明△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质计算即可求解．
【解析】解：连接AC，
∵DC＝BC，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵AB是直径，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°，
在△ACE与△ACB中，
，
∴△ACE≌△ACB（ASA），
∴BC＝EC，AB＝AE，
∵四边形ABCD内接于半圆O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
设AB＝x，则AB＝AE＝x，
∵DC＝BC＝4，AD＝14，
∴BC＝CD＝CE＝4，即BE＝8，DE＝x﹣14，
∴，整理得：x2﹣14x﹣32＝0，
解得：x＝16或﹣2（不符合题意，舍去），
∴AB的长为16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16.如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【思路点拨】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解析】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键
17.如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
【思路点拨】（1）根据垂径定理得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠ADC，推出∠1＝∠ADC，等量代换即可得到结论；
（2）连接AC，BC，推出∠FCG＝∠DAG，得到∠ADG＝∠F，推出∠ACG＝∠F，由于∠CAG＝∠CAF，于是得到结论，
（3）根据相似三角形的性质得到＝，得到AC2＝AG•AF＝48，求得AC＝4，根据勾股定理得到AE＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接AC，BC，
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，
∴∠FCG＝∠DAG，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADG＝∠F，
∵∠ADG＝∠ACG，
∴∠ACG＝∠F，
∵∠CAG＝∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
（3）解：∵△CAG∽△FAC，
∴＝，
∴AC2＝AG•AF＝48，
∴AC＝4，
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝4，CE＝2，
∴AE＝＝6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴AB＝8，
∴⊙O的半径为4．
【点睛】此题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
题组C 培优拔尖练
18.如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）
A．B．C．D．∠BAC＝∠BDC
【思路点拨】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案．
【解析】解：A、若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意；
B、若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意；
C、若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法．
19.如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD＝4，连AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB＝AD，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．6B．8C．9D．18
【思路点拨】先证△AOB是等边三角形，可得AB＝BO＝AO，AF＝FO＝2，由相似三角形的性质可得AF＝CH＝2，由面积关系可求解．
【解析】解：如图，连接AO，交BD于F，连接BO，DO过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于H，
∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AO垂直平分BD，
∴BF＝DF＝2，
∴∠AOB＝60°，
∵AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝BO＝AO，
∵BF⊥AO，
∴AF＝FO＝2，
∵E为AC的中点，
∴AE＝EC，
∵AF⊥BD，CH⊥BD，
∴AF∥CH，
∴△AFE∽△CHE，
∴＝1，
∴AF＝CH＝2，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝×BD×AF+×BD×CH＝4×2＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，垂径定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为 6 ．
【思路点拨】依据∠C＝∠ADE，∠BDE＝∠CAD，即可判定△BDE∽△CAD；再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到＝，即＝，进而得出CD的长．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，
又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD，
∴＝，即＝，
解得CD＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
21.如图，DA⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过点E作EF⊥AC交AC于F，且BC＝2，AD＝3，则EF的长为 ．
【思路点拨】由于AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，故AD∥EF∥BC，即可求得相似三角形，然后可知，．两式相加即可证得，进而解答．
【解析】解：∵AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，
∴AD∥EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，△CEF∽△CDA，△BCE∽△ADE．
∴，．
∴，
∴，
∵BC＝2，AD＝3，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，解题关键是两式相加去掉AF与CF．
22.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝4，点E在BC边上，若AE⊥AD，且∠AEB＝∠DEA，则BE的长为 ．
【思路点拨】过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则四边形BCDF为矩形，进而可证明△FAD∽△BEA，列比例式可得，再证明△ABE∽△DAE列比例式可求解BE的长．
【解析】解：过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，
∴∠F＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝90°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形BCDF为矩形，
∴DF＝BC＝4，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠FAD+∠BAE＝90°，
∴∠FAD＝∠BAE，
∵∠F＝∠ABC＝90°，
∴△FAD∽△BEA，
∴，
∵∠B＝∠AED＝90°，∠AEB＝∠DEA，
∴△ABE∽△DAE，
∴，
即，
∴，
解得BE＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明△FAD∽△BEA，△ABE∽△DAE是解题的关键．
23.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ﹣1 ；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ．
【思路点拨】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC，△EGC∽△GFC，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵＝λ＝1，
∴点E为BC的中点，
∵AB＝2，∠B＝90°，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADG和△FCG中，
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，CF＝DA，
设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴＝，
∵GC＝a，CF＝2a，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为 2 ；BC的长为 ．
【思路点拨】连接AM，可得等腰直角三角形ADM，设AM＝DM＝BD＝x，在Rt△ABM中，根据勾股定理列出方程，求出x值，进一步求得结果；在Rt△AEM中求得EM，进而求得BE，在Rt△ABE中，BC＝3CE，BE＝3，根据勾股定理列出方程，求得结果．
【解析】解：如图，
连接AM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠M＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，
∴∠MAD＝90°﹣∠ADM＝45°，
∴AM＝MD，
∵点D是BM的中点，
∴MD＝BD，
设AM＝x，则BM＝2x，
∵AM2+BM2＝AB2，
∴x2+（2x）2＝（2）2，
∴x＝2，
∴AM＝DM＝2，
∵点M是的中点，
∴＝
∴∠CBM＝∠ABM，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴∠MAC＝∠CBM，
∴，
∴EM＝AM＝1，
∴BE＝BM﹣EM＝4﹣1＝3，
∵CE2+BC2＝BE2，
∴CE2+（2CE）2＝32，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝，
故答案是：2，．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找可解的直角三角形．
25.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．
（1）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其定义域；
（2）若三角形ADE恰为等腰三角形，求AE的长．
【思路点拨】（1）先由∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，求得BC＝＝2，∠C＝∠B＝45°，再证明△CDE∽△BAD，得＝，所以＝，整理成用含x的代数式表示y的形式并写出定义域即可；
（2）分三种情况讨论，一是当DE＝AD时，则＝＝＝1，所以DC＝AB＝2，CE＝BD＝2﹣2，则AE＝4﹣2；二是DE＝AE时，则∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，此时AD＝CD，且DE⊥AC，所以AE＝CE＝1；三是AD＝AE，此时点D与点B重合，不符合题意．
【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴BC＝＝＝2，∠C＝∠B＝45°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，
∴∠CDE＝∠BAD，
∴△CDE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
整理得y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．
（2）当DE＝AD时，如图1，
∵＝＝＝1，
∴DC＝AB＝2，
∴CE＝BD＝2﹣2，
∴AE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；
当DE＝AE时，如图2，
∵∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，
∴AD＝CD，∠AED＝90°，
∴DE⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝1；
若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝45°，
∴∠DAE＝90°＝∠BAE，
∴AD与AB重合，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，AE的长为4﹣2或1．

【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，证明△CDE∽△BAD是解题的关键．
26.从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【思路点拨】（1）根据完美分割线的定义，先证明△ABC不是等腰三角形，再证明△ACD为等腰三角形，最后证明△BCD∽△BAC；
（2）根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①如图3所示，当AD＝CD时，②如图4所示，当AD＝AC，③如图5所示，当AC＝CD，然后结合美分割线的定义可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数；
（3）根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．
【解析】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵∠A≠∠B≠∠ACB，
∴△ABC不是等腰三角形．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形．
∴∠DCB＝∠A＝40°，
∵∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）解：①如图3所示，
当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②如图4所示，
当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③如图5所示，
当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°．
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾，
所以图5的情况不符合题意．
综上所述，∠ACB的度数为96°或114°；
（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AC＝AD，
∵AC＝3，
∴AD＝3，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴BC2＝BA•BD，
设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，
∴（）2＝x（x+3），
∴x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BD＝，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想解决问题是解本题的关键．学习目标
1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2.掌握三角形相似的3个判定定理
3.会运用上述定理判定两个三角形相似.