人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质备课课件ppt

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质备课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了整体感知，探究建构，非零常数T，最小的正数，周期函数，奇函数，偶函数，kπk∈Z，应用迁移等内容，欢迎下载使用。

[学习目标]　1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
[讨论交流]　预习教材P201－P202，并思考以下问题：问题1．周期函数的定义是什么？问题2．如何利用周期函数的定义求正弦、余弦函数的周期？问题3．正弦、余弦函数是否具有奇偶性？[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　正弦函数、余弦函数的周期探究问题　观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？
提示：sin (α＋2kπ)＝sin α，cs (α＋2kπ)＝cs α，其中k∈Z．
[新知生成]1．函数的周期性一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做周期函数．__________叫做这个函数的周期．
f (x＋T)＝f (x)
2．最小正周期如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个__________，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．3．正弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．4．余弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
【教用·微提醒】　(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期．
解：(1)∀x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x．由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cs z的周期为2π，即cs (z＋2π)＝cs z，于是cs (2x＋2π)＝cs 2x，所以cs 2(x＋π)＝cs 2x，x∈R．由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
[解]　(1)因为7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函数的定义知，y＝7sin 2x的最小正周期为π．
(3)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，∴f (x)的最小正周期为π．法二(图象法)：作出函数f (x)＝|sin x|的图象如图所示．由图象可知T＝π．
探究2　正弦函数、余弦函数的奇偶性[新知生成]
(kπ，0)(k∈Z)
反思领悟　1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称．二看f (x)与f (－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
[解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．(2)f (x)的定义域为R，由已知可得f (x)＝sin x cs x．因为f (－x)＝sin (－x)cs (－x)＝－sin x cs x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．
反思领悟　处理三角函数奇偶性和周期性的综合应用问题立足一点：把待求向已知转化．(1)周期性的作用在于大化小；(2)奇偶性的作用在于负化正．两者相互作用，便可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值．
[学以致用]　3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　)
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－2)＝3，则f (2 024)＝________．
(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．(2)∵f (x)为周期是3的偶函数，∴f (2 024)＝f (3×674＋2)＝f (2)＝f (－2)＝3．]
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]
3．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________．
0　[因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？
[提示]　不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．
2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cs (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示]　正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
课时分层作业(四十九)　周期性与奇偶性
一、选择题1．函数f (x)＝x＋sin x，x∈R(　　)A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数
A　[由f (－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f (x)可知f (x)是奇函数．故选A．]
3．函数y＝f (x)是定义在R上周期为2的奇函数，若f (－0.5)＝－1，则f (2.5)＝(　　)A．－1 B．1C．0 D．0.5
B　[f (x)是周期为2的奇函数，f (－0.5)＝－f (0.5)＝－1，f (0.5)＝1，所以f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (0.5)＝1．故选B．]
二、填空题6．写出一个最小正周期为2的奇函数f (x)＝___________________．
sin πx(答案不唯一)　
8．已知f (x)在R上是奇函数，且满足f (x＋4)＝f (x)，当x∈(0，2)时，f (x)＝2x2，则f (7)＝________．
－2　[因为f (x＋4)＝f (x)，所以函数的周期是4．因为f (x)在R上是奇函数，且当x∈(0，2)时，f (x)＝2x2，所以f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2．]
10．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2＋x)＝f (－x)，若f (－1)＝2，则f (2 025)＝(　　)A．－4 B．－2C．0 D．2
B　[因为定义在R上的奇函数f (x)满足f (2＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数．所以f (2 025)＝f (1)＝－f (－1)＝－2．]
11．图象为如图的函数可能是(　　)A．y＝x·cs x B．y＝x·sin xC．y＝x·|cs x| D．y＝x·2x
A　[根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x既不是奇函数也不是偶函数，由此可排除B，D；当x＞0时，y＝x·|cs x|≥0，由此可排除C．故选A．]
12．函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为(　　)A．3 B．0C．－1 D．－2
B　[可构造g(x)＝x3＋sin x(x∈R)，则g(x)＝x3＋sin x(x∈R)为奇函数，由g(－x)＝－g(x)得f (－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1，又f (a)＝g(a)＋1＝2，所以g(a)＝1．所以f (－a)＝0．也可研究题中f (a)与所求的f (－a)之间的关系，得f (－a)＋f (a)＝2．]
13．若函数f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函数，则φ＝_________．
14．若定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13．(1)证明函数f (x)是周期函数；(2)若f (1)＝2，求f (99)的值．