湖南省怀化市雅礼实验学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省怀化市雅礼实验学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 点关于轴对称的点的坐标是， 一次函数与反比例函数等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷共25题，满分120分，考试时量：120分钟；
2.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等信息在答题卡上填写清楚；
3.必须在答题卡上答题，在草稿纸，试题卷上答题无效．
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．①既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；②是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；③既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；④是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．综上可得共有两个符合题意．故选B．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
点评：本题主要考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，关键是熟练掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A. 5，7，10B. 3，4，5C. 6，8，10D.
【答案】A
【解析】
分析】根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】A．，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 C．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形是解题的关键．
3. 如图，为的角平分线，，，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可证，然后可推得选项成立，但B选项不一定成立．
【详解】已知为的角平分线，，垂足分别是，根据角平分线的性质可得，A正确；
在与中，，由可判定，根据全等三角形性质可得，故C、D正确．
若，
则，
∵，
∴，
∴当时，B错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是找到全等三角形的对应边及对应角．
4. 点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点的坐标是，进而求出即可．
【详解】解：点关于轴的对称的点的坐标，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5. 某个样本的频数直方图中，一组数据的频数为50，频率为0.5，则该样本的样本容量是（ ）
A. 100B. 75C. 25D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据样本容量及频率可进行求解．
【详解】解：该样本的样本容量为；
故选A．
【点睛】本题主要考查样本容量及频率，熟练掌握样本容量及频率是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象的两支分别位于（ ）
A. 第一、第二象限B. 第一、第三象限C. 第二、第三象限D. 第二、第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限解答即可.
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象的两支分别位于第二、第四象限；
故选：D.
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，熟知时，反比例函数的图象的两支分别位于一、三象限，时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限是解题的关键.
7. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
8. 关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9. 如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设道路的宽x米，小路的面积一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽x米，
则
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
10. 如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y8的值为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【详解】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
其斜边的中点C1在反比例函数y=，
∴C1（2，2），即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
设A1D2=a，则C2D2=a 此时C2（4+a，a），代入y=，得：a（4+a）=4，
解得：，即：y2=；
同理：y3=；
y4=；
……
；
∴y1+y2+…+y8=
=
=
=；
故选：C.
【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共30分）
11. 点在一次函数的图象上，则a的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】把代入，得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：把代入，得
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程，熟练掌握一次函数图象上点的坐标满足于一次函数解析是解题的关键．
12. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E边的中点，连接．若，，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出的长，利用斜边上的中线即可得解．
【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∵点E边的中点，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，斜边上的中线．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．
13. 定义为二阶行列式，规定它是运算法则为=ad－bc，那么当x=1时，二阶行列式的值为_______．
【答案】0
【解析】
【详解】=，当x=1时，原式=12－1=0．
14. 已知点A（－1，y1），B（－2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 _____．（用“＜”连接）
【答案】
【解析】
【分析】分别将点A（－1，y1），B（－2，y2），C（3，y3）代入反比例函数解析式中，求出y1，y2，y3的大小进行比较即可．
【详解】分别将点A（－1，y1），B（－2，y2），C（3，y3）代入反比例函数解析式中，可得
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15. 如果x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=3,则k= ________ ．
【答案】3
【解析】
【分析】一元二次方程根与系数的关系,可得x1+x2 ==k，可求得k的值.
【详解】解:由题意得: x1+x2 ==k=3,
答:k=3.
故答案为:3.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.
16 如图，，过点P作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；又过作且，得；…；依此继续，得________．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出，再由，，的长度找到规律，进而求出的长．
【详解】解：由勾股定理得：，，；
；
；
；
找到规律：；
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，找规律，解题的关键是由已知数据找到规律．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】原式分别利用算术平方根、绝对值、平方、0次幂以及负整数指数幂分别运算，最后再化简合并即可.
【详解】原式=2﹣+12﹣1×4=+8．
【点睛】本题考查了用算术平方根、绝对值、平方、0次幂以及负整数指数幂等知识点，熟练运用这些知识是解此题的关键.
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）整理后用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
19. 已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．
【答案】（1）；（1）1.
【解析】
【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可得关于k的方程，解方程即可得.
【详解】(1)当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，
当时，方程是一元二次方程，由题意得
，
解得：，
综上，的取值范围是；
(2)和是方程的两根，
，，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，且，
答：的值为.
【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键.
20. 某校八年级学生全部参加“生物、地理中考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）抽取了___________名学生成绩；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是___________；
（4）请根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化建议．
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）
（4）学校要多关注成绩为C、D等级的学生．
【解析】
【分析】（1）根据B等级的人数除以所占的百分比，确定抽取的学生总数即可；
（2）求出D等级的人数，补全频数分布直方图即可；
（3）根据A等级的百分比乘以，即可得到结果；
（4）根据统计结果提出一条合理建议即可．
【小问1详解】
解：抽取的学生总数为：（名），
故答案为：50；
【小问2详解】
D等级的学生有（名），
补频数分布全直方图，如图所示：
【小问3详解】
A等级所在的扇形的圆心角度数=，
故答案为：；
【小问4详解】
由扇形统计图可知，C、D等级的学生约占总人数的，
建议：学校要多关注成绩为C、D等级的学生．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，弄清题中的数据是解本题的关键．
21. 如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；根据四边形ABCD是平行四边形，AB=BC即可得出四边形ABCD是菱形，再由（1）可知四边形AMCN是矩形；从而得出结论；
【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵ AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴AC⊥MN，
由（1）可知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；
22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．

（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）请结合图像直接写出不等式的解集；
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数的表达式为
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的图像经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得的坐标，根据、点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据、的坐标，结合图像即可求得；
（3）设直线交轴于点，根据三角形面积求出的长，根据的坐标即可得出的坐标．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图像经过，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵在反比例函数的图像上，
∴，
∴点为轴上一点，的面积为，，
∵点，在一次函数的图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
【小问2详解】
由图像可知：不等式的解集为：或．
【小问3详解】
如图，设直线交轴于点，
把代入得：，
∴，
∴，
∵点为轴上一点，的面积为，，，
∴，
∴，
∴当点在负半轴上时，点的坐标是；
当点在正半轴上时，点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，利用图像解不等式，三角形的面积的应用．数形结合思想的应用是解题的关键．
23. 某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，销售单价x应定在什么范围？
（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）网店每天销售利润为3750元，该种工艺品销售单价是45元．
【解析】
【分析】（1）设销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为，把，代入，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，再建立不等式组解题即可；
（3）由每天销售利润为3750元，再建立一元二次方程，再解方程即可．
【小问1详解】
解：设销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为，
把，代入可得：
∴，
解得：，
∴销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为．
【小问2详解】
由题意可得：，
解得：；
【小问3详解】
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴网店每天销售利润为3750元，该种工艺品销售单价是45元．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，理解题意，熟练的建立不等式组与一元二次方程是解本题的关键．
24. 若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式；
（2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值．
（3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）2； （3）0或．
【解析】
【分析】（1）先求得，在根据点，在“数天数函数”图像上求出的值即可得解；
（2）由数天数函数的定义得，于是，即可得解；
（3）根据根与系数的关系以及，，且列方程求解即可得解．
【小问1详解】
解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴，，
∴，
∵点，在“数天数函数”图像上，
∴，解得，
∴；
【小问2详解】
解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴数天数函数，
∴，
∵，
∴，即的最小值为；
【小问3详解】
解：∵关于的方程的两个实数根、，
∴，，
∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得或．
【点睛】本题主要考查了新定义、一元二次方程的应用，求函数值以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25. 综合与探究：如图，直线AB：分别交x轴，y轴于点B，E，过点A作直线分别交x轴，y轴于点， ．
备用图
（1）求直线的解析式．
（2）在y轴左侧作直线轴，分别交直线，于点F，G．当时，过点G作直线轴，交y轴于点H．能否在直线上找一点P，使的值最小，求出P点的坐标．
（3）M为直线上一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在点Q使得以P，Q，M，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点Q的坐标，或，或．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数求解即可；
（2）可证，设，则，再根据对称性得、、，根据两点之间线段最短，可知点P为与直线的交点时， 取最小值．确定直线的解析式为，再令，求解；
（3）分三种情况讨论：四边形分别为，，，结合平行四边形的判定和点与坐标关系求解．
【小问1详解】
解；设直线解析式为，由， 得
，解得，
∴直线的解析式为．
【小问2详解】
解：与y轴交于点，与y轴交于点，
∴．
∴．
设，则，
将代入，得，解得，
∴，，．
直线AB：与y轴于点， 与点重合.
设F关于直线的对称点，则，
∵点P在上，由对称知，，
∴，
如图，连接，则,
当P，D ，三点共线，即点P为与直线的交点时，，此时取最小值．
设直线的解析式为，则
，解得，
∴直线的解析式为．
令，得，
∴．
小问3详解】
解：存在，点Q的坐标，或，或．
①如图，当，时，四边形是平行四边形；
由，时，，得，
∴
∴
∴．
②如图，当，时，四边形是平行四边形，
∵，
∴
③如图，当，，四边形是平行四边形，
过点P作轴，垂足为N，过点M作轴，垂足为K，
∵，
∴．
而，
∴．
∴．
又，，
∴．
∴，．
∴点M的纵坐标为．
时，，得
∴
综上，点Q的坐标为，或，．
【点睛】本题考查确定一次函数解析式，轴对称的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定等，掌握数形结合的思想，由平行四边形判定方法得到线段间的数量关系是是解题的关键．