2024-2025学年湖南省怀化市溆浦一中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省怀化市溆浦一中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.下列函数：①y=x−2，②y=3x，③y=x−1，④y=2x+1，⑤xy=11，⑥y=kx，⑦y=5x2，⑧yx=1.其中y是x的反比例函数的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.若方程(m−1)x|m|+1−2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A. 1B. −1C. ±1D. 不存在
3.关于反比例函数y=−4x，点(a,b)在它的图象上，下列说法中错误的是( )
A. 当x<0时，y随x的增大而增大B. 图象位于第二、四象限
C. 点(b,a)和(−b,−a)都在该图象上D. 当x<−1时，y<2
4.已知关于x的一元二次方程x2−2mx−4m+5=0有两个相等的实数根，则m的值为( )
A. m=−5B. m=1
C. m=−5或m=1D. m=−1或m=5
5.如图是三个反比例函数y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x在x轴上方的图象，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A. k1>k2>k3
B. k2>k3>k1
C. k1>k3>k2
D. k3>k1>k2
6.已知函数y=kx(k≠0)中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标平面内的大致图象是( )
A. B. C. D.
7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽.另有一竹竿，也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺，则可列方程为( )
A. (x+2)2=(x−4)2+x2B. (x+4)2=x2+(x−2)2
C. x2=(x−4)2+(x−2)2D. (x+4)2=(x+2)2+x2
8.已知m，n是不为0的实数，且m≠n，若m+1m=5,n+1n=5，则nm+mn的值为( )
A. 23B. 15C. 10D. 5
9.如图，点A、B是反比例函数y=kx图象上任意两点，且BD⊥x轴于点D，AC⊥y轴于点C，△OAC和△OBD面积之和为6，则k的值为( )
A. −6
B. −12
C. 6
D. 12
10.两个反比例函数y=kx和y=1x在第一象限内的图象如图所示，点P在y=kx的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=1x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B，当点P在y=kx的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是______．
12.若点A(−3,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)都在函数y=−3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______(用“>”连接)．
13.如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园.它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，则围成矩形的长为______．
14.已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是−2，则这个方程为______．
15.设m，n分别为方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则m2+3m+n=______．
16.新定义：关于x的一元二次方程a1(x−c)2+k=0与a2(x−c)2+k=0称为“同族二次方程”.例如：
5(x−6)2+7=0与6(x−6)2+7=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程(m+2)x2+(n−4)x+8=0与2(x−1)2+1=0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是______．
17.两个反比例函数y=2x和y=4x在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数y=4x的图象上，它们的纵坐标分别为y1，y2，y3，…，y2021，横坐标分别为2，4，6，…，共2021个偶数，过点P1，P2，P3…，P2021分别作y轴的垂线，与y=2x的图象交点依次为Q1(x1,y1)，Q2(x2,y2)，Q3(x3,y3)，…，Q2021(x2021,y2021)，则x2021=______．
三、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.（3分）已知y=(m2+2m)x|m|−3是关于x的反比例函数，求(m−2)2023的值．
19.（8分）解下列方程：
(1)9(x−1)2−4=0；
(2)2x2−4x−5=0．
20.（6分）已知：y1与x+1成正比例，y2与x−2成反比例，y=y1+y2，当x=1时，y=5，x=3时，y=7，求y与x的函数解析式．
21.（8分）已知关于x的方程x2−(k+1)x+14k2+1=0．
(1)k取什么值时，方程有两个实数根．
(2)如果方程有两个实数根x1，x2，且|x1−x2|=2，求k的值．
22.（8分）已知关于x的函数y=mm+1x+3m+1m+1(m≠−1)图象经过点A(m−1,n)．
(1)用含m的代数式表示n；
(2)当m= 5时，若反比例函数y=kx的图象也经过点A，求k的值．
23.（8分）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：(注：利润=销售价−进货价)
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚(进货价和销售价都不变)；且进货总价不高于1350元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
24.（8分）如图，一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象交于点A(2,3)，B(a,−1)，设直线AB交x轴于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)直接写出k1x+b(3)若点P是反比例函数图象上的一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
25.（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程x2−6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2−6x+8=0就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程x2−3x+c=0是“倍根方程”，则c=______；
(2)若(x−2)(mx−n)=0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式4m2−5mn+n2的值；
(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
26.（12分）如图，在△ABC中，AB=BC=5，△ABC的面积为152，AD是边BC上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BD−DA匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接AP、PC.设点P的运动时间为t秒．
(1)求AD的长；
(2)用含t的代数式表示PD的长；
(3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求△ACP的面积；
(4)点P在BD上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形.且不是直角三角形时，直接写出t的值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.C
6.B
7.C
8.A
9.A
10.C
11.13
12.y2>y1>y3
13.8m
14.x2−x−6=0
15.2023
16.2024
17.2021
18.解：因为y=(m2+2m)x|m|−3是关于x的反比例函数，
所以|m|−3=−1m2+2m≠0，解得，m=±2m≠0,m≠−2，
所以m=2，
所以(m−2)2023=(2−2)2023=0．
19.解：(1)∵9(x−1)2−4=0，
∴9(x−1)2=4，
∴(x−1)2=49，
∴x−1=±23，
解得x1=53,x2=13；
(2)∵2x2−4x−5=0，
∴a=2，b=−4，c=−5，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×2×(−5)=56>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=4±2 144=2± 142，
解得x1=2+ 142,x2=2− 142．
20.解：∵y1与x+1成正比例，∴y1=m(x+1)，
∵y2与x−2成反比例，∴y2=nx−2，
∵y=y1+y2，
∴y=m(x+1)+nx−2，
∵当x=1时，y=5，x=3时，y=7，
∴2m−n=54m+n=7，
∴m=2n=−1，
∴y=2(x+1)−1x−2．
21.解：(1)∵方程有两个实数根，
∴(k+1)2−4×1×(14k2+1)
=k2+2k+1−k2−4
=2k−3≥0，
解得：k≥32；
(2)∵方程有两个实数根x1，x2，且|x1−x2|=2，
∴x1+x2=k+1，x1⋅x2=14k2+1， (x1−x2)2=4，
∴ (x1+x2)2−4x1x2=4，即 (k+1)2−4(14k2+1)=4，
平方得：(k+1)2−4(14k2+1)=16，
整理得：2k=19，
解得：k=9.5．
22.解：(1)∵关于x的函数y=mm+1x+3m+1m+1(m≠−1)图象经过点A(m−1,n)，
∴n=mm+1×(m−1)+3m+1m+1
=m2+2m+1m+1
=(m+1)2m+1
=m+1；
(2)当m= 5时，则A( 5−1, 5+1)，
∵反比例函数y=kx的图象也经过点A，
∴k=( 5−1)( 5+1)=4，
∴k的值为4．
23.解：(1)设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，
15x+20y=580x+y=32，
解得x=12y=20，
答：购进A款纪念币12个，B款纪念币20个；
(2)设购进m个A款纪念币，则购进(80−m)个B款纪念币，
依题意得：15m+20(80−m)≤1350，
解得：m≥50．
设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，
则w=(25−15)m+(32−20)(80−m)=−2m+960．
∵−2<0，
∴w随m的增大而增小，
∴当m=50时，w取得最大值，最大值=−2×50+960=860(元)，
此时80−m=80−50=30(个)．
即购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元；
(3)设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为(a−15)元，平均每天可售出6+2(25−a)=(56−2a)个，
依题意得：(a−15)(56−2a)=84，
解得：a1=21，a2=22．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元．
24.解：(1)将点A(2,3)代入y=k2x(k2≠0)得，k2=2×3=6，
∴y=6x，
将点B(a,−1)代入y=6x得，a=−6，
∴B(−6,−1)，
将点A(2,3)，B(−6,−1)代入y=k1x+b得，
2k1+b=3−6k1+b=−1，
解得k1=12b=2，
∴一次函数的解析式为y=12x+2；
(2)由图象知：当x<−6或0(3)当y=0时，12x+2=0，
∴x=−4，
∴C(−4,0)，
∵PC=PO，
∴点P在OC的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为−2，
∴P(−2,−3)．
25.(1)2；
(2)解方程(x−2)(mx−n)=0(m≠0)得，x1=2，x2=nm．
∵方程两根是2倍关系，
∴x2=1或4，
当x2=1时，x2=nm=1，即m=n，
代入代数式4m2−5mn+n2=0，
当x2=4时，x2=nm=4，即n=4m，
代入代数式4m2−5mn+n2=0．
综上所述，4m2−5mn+n2=0；
(3)根据“倍根方程”的概念设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为t和2t．
∴原方程可以改写为a(x−t)(x−2t)=0，
∴ax2+bx+c=ax2−3atx+2at2，
∴b=−3atc=2at2．
解得2b2−9ac=0．
∴a，b，c之间的关系是2b2−9ac=0．
26.解：(1)∵AB=BC=5，△ABC的面积为152，AD是边BC上的高，
∴12BC⋅AD=152，
∴5AD=15，解得AD=3；
(2)∵AB=BC=5，AD=3，
∴BD= AB2−AD2=4，
∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BD−DA匀速向终点A运动，
①当点P在BD上运动时(即0有BP=t，
∴PD=BD−BP=4−t，
②当点P在DA上运动时(即4∴PD=t−BD=t−4，
综上所述，当0(3)①当点P在BD上运动，△APD为等腰直角三角形时，
有AD=PD，
∴3=4−t，解得t=1，
∴BP=1，
∴PC=5−1=4，
∴△ACP的面积为：12PC⋅AD=12×4×3=6；
②当点P在DA上运动时，△PDC为等腰直角三角形时，
有DC=PD，
∵DC+BD=PD+BD=5，
∴t=5，
∴PD=DC=5−4=1，
∴AP=AD−PD=3−1=2，
∴△ACP的面积为：12AP⋅CD=12×2×1=1；
综上所述，△ACP的面积为6或1；
(4)点P在BD上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
①△APC为等腰三角形，AP=AC，
∵AD⊥PC，
∴PD=CD=BC−BD=5−4=1，
∴BP=BD−PD=4−1=3，
∴t=31=3秒，
②△APC为等腰三角形，PC=AC，
∴5−t= 32+12，
整理得(5−t)2=10，解得t1=5+ 10>7(不合题意，舍去)，t2=5− 10，
③△ABP为等腰三角形，BP=AP，
即t2=(4−t)2+32，解得t=258．
综上所述，t=5− 10或t=3或t=258．
类别价格
A款纪念币
B款纪念币
进货价(元/枚)
15
20
销售价(元/枚)
25
32