2024-2025学年湖南省衡阳市雁峰区成章实验中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省衡阳市雁峰区成章实验中学九年级（上）入学数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为( )
A. 2.01×10−7B. 0.201×10−7C. 2.01×10−8D. 20.1×10−6
2.下列式子从左到右变形一定正确的是( )
A. ab=a2b2B. ab=a+1b+1C. ab=a−1b−1D. a2ab=ab
3.已知点P(m−1,4)与点Q(2,n−2)关于x轴对称，则mn的值为( )
A. 6B. −6C. −19D. 19
4.冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查.四个菜市第四个季度白菜的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5.第四季度白菜价格最稳定的菜市场是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.关于反比例函数y=6x的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限B. y的值随x值的增大而减小
C. 当x>−2时，y<−3D. 点(1,6)和点(6,1)都在该图象上
6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b与正比例函数y=k2x的图象交于点A，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为( )
A. x<−1
B. x>−1
C. −1D. x>0
7.已知下列命题：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线垂直且相等的四边形是正方形．其中真命题有( )
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
8.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，则点D的坐标为( )
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (1,3)
D. (2,3)
9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA=BE，则∠AED=( )
A. 95°
B. 105°
C. 100°
D. 110°
10.如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.式子 x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.若分式x2−92x+6的值为0，则x的值为______．
13.若关于x的方程xx−5=3+m5−x有增根，则m= ______．
14.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=−2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为______．
15.若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．
16.反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，AB/​/y轴，若△ABC的
面积为3，则k的值为______．
17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD=140°，则∠CDE的大小是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x−1与x轴交于点A1，以OA1为一边作正方形OA1B1C1，使得点C1在y轴正半轴上，延长C1B1交直线l于点A2，按同样方法依次作正方形C1A2B2C2、正方形C2A3B3C3、…、正方形Cn−1AnBnCn，使得点A1A2A3、…An，均在直线l上，点C1，C2，C3…Cn在y轴正半轴上，则点B2024的横坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(−1)2004+(12)−2−(3.14−π)0+|−2|．
20.(本小题6分)
先化简：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6，再从−3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
21.(本小题8分)
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：
七年级：86ㅤ94ㅤ79ㅤ84ㅤ71ㅤ90ㅤ76ㅤ83ㅤ90ㅤ87
八年级：88ㅤ76ㅤ90ㅤ78ㅤ87ㅤ93ㅤ75ㅤㅤ87ㅤ87ㅤ79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______；
(2)A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(3)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．
22.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=−2x+m的图象交于点A(−1,4)，BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)当OD=1时，求线段BC的长．
23.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F，BC=CF，连接CE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)若AB=5，BC=8，CE⊥AD，求四边形ABCD的面积．
24.(本小题9分)
随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点.某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备.已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
25.(本小题10分)
课本再现：如图1，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，BD=6．
(1)求AB，AC的长．
应用拓展：
(2)如图2，E为AB上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，连接EF．
①求出点D到EF距离的最小值；
②如图3，连接OF，CF，若△OCF的面积为6 3，求BE的长．
(备用结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半)
26.(本小题10分)
如图1，已知直线l1：y=−x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C(0,−1)，与直线l1交于点D(2,t)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ//y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG=2S△QCG，求此时P点的坐标；
(3)如图3，点P是直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且CQ是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5.D
6.A
7.B
8.A
9.D
10.C
11.x≥4
12.3
13.−5
14.3
15.2
16.−6
17.20°
18.22023
19.解：原式=1+4−1+2
=6．
20.解：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6
=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=x−1x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=2x−1，
∵x+3≠0，x−1≠0，
∴x≠−3，x≠1，
∴当x=2时，原式=22−1=2．
21.(1)85，87；
(2)A同学得了8(6分)，大于8(5分)，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：七；
(3)510×200+610×200=220(人)，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人．
22.解：(1)∵反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=−2x+m的图象交于点A(−1,4)，
∴4=k−1，4=−2×(−1)+m，
∴k=−4，m=2，
∴反比例函数为y=−4x，一次函数为y=−2x+2；
(2)∵BC⊥y轴于点D，
∴BC//x轴，
∵OD=1，
∴B、C的纵坐标为1，
把y=1代入y=−4x，得x=−4，
把y=1代入y=−2x+2，得x=12，
∴B(−4,1)，C(12,1)，
∴BC=12+4=412．
23.(1)证明：∵BC=CF，
∴∠FBC=∠F，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠F，
∴AB//CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)解：∵BC=CF，AB=CD=5，BC=8，
∴DF=CF−CD=8−5=3，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠FED=∠F，
∴ED=FD=3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：EC= CD2−ED2= 52−32=4，
∴S▱ABCD=BC⋅CE=8×4=32．
24.解：(1)设B型设备的单价是x元，则A型设备的单价是1.2x元，
根据题意得：18001.2x−1000x=5，
解得：x=100，
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×100=120(元)．
答：A型设备的单价是120元，B型设备的单价是100元；
(2)根据题意得：w=120a+100(60−a)，
即w=20a+6000，
∵购进A型设备数量不少于B型设备数量的一半，
∴a≥12(60−a)，
解得：a≥20，
∴w与a的函数关系式为w=20a+6000(20≤a<60)．
∵20>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=20时，w取得最小值，最小值=20×20+6000=6400(元)．
答：w与a的函数关系式为w=20a+6000(20≤a<60)，最少购买费用是6400元．
25.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，AC=2OA，OD=OB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=6，∠ABD=60°，
∴OA= 32AB=3 3，
∴AC=6 3；
(2)①如图1，
连接CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD=CD，
∴∠ADC=180°−∠DAB=120°，
∵DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，
∴∠EDF=120°，ED=DF，
∴∠EDF=∠ADC，
∴∠EDF−∠CDE=∠ADC−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAE=60°，AE=CF，
∴点F在与CD成60° 的直线上运动，
∴当DF⊥CF时，D到EF距离最小，
∴DF最小= 32CD=3 3
∴AE=3 3，
∴BE=AB−AE=6−3 3；
②由上知：AD=CD，∠ADC=120°，∠DCF=60°，AE=CF，
∴∠ACD=∠DAC=30°，
∴∠OCF=∠ACD+∠DCF=90°，
∴S△OCF=12OC⋅CF，
∴12×3 3⋅CF=6 3，
∴CF=CF=4，
∴AE=AB−AE=6−4=2．
26.解：(1)∵直线l1：y=−x+5经过点D(2,t)，
∴t=−2+5=3，
∴D(2,3)，
设直线l2的解析式为y=kx+b，把C(0,−1)，D(2,3)代入，
得：b=−12k+b=3，
解得：k=2b=−1，
∴直线l2的解析式为y=2x−1；
(2)设P(t,−t+5)，则Q(t,2t−1)，G(t,0)，
∴PG=|−t+5|，GQ=|2t−1|，
∵S△PCG=2S△QCG，
∴12×|−t+5|×|t|=2×12×|2t−1|×|t|，
解得：t=−1或t=75，
∴P点的坐标为(−1,6)或(75,95)；
(3)设P(m,−m+5)，Q(n,2n−1)，
当四边形CEPQ是正方形时，如图，过点P作PG//y轴，过点Q作QG⊥y轴于点F，交PG于点G，
则∠G=∠CFQ=90°，PG=−m+5−(2n−1)=−m−2n+6，GQ=n−m，FQ=n，CF=2n−1−(−1)=2n，

∵四边形CEPQ是正方形，
∴PQ=QC，∠CQP=90°，
∵∠QPG+∠PQG=90°，∠CQF+∠PQG=90°，
∴∠QPG=∠CQF，
在△QPG和△CQF中，
∠G=∠CFQ∠QPG=∠CQFPQ=QC，
∴△QPG≌△CQF(AAS)，
∴PG=FQ，GQ=CF，
∴−m−2n+6=nn−m=2n，
解得：m=−3n=3
∴点Q的坐标为(3,5)；
当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，过点Q作QG⊥y轴于点G，
则∠PHC=∠CGQ=90°，CH=−1−(−m+5)=m−6，PH=m，QG=−n，CG=−1−(2n−1)=−2n，
∵四边形CQEP是正方形，
∴PC=CQ，∠PCQ=90°，
∴∠PCH+∠QCG=90°，
∵∠CQG+∠QCG=90°，
∴∠PCH=∠CQG，

在△PCH和△CQG中，
∠PHC=∠CGQ∠PCH=∠CQGPC=CQ，
∴△PCH≌△CQG(AAS)，
∴CH=QG，PH=CG，
∴m−6=nm=−2n，
解得：m=4n=−2，
∴点Q的坐标为(−2,−5)；
综上所述，点Q的坐标为(3,5)或(−2,−5)．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
6.6