2024-2025学年黑龙江省绥化二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化二中高二（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设向量a=(12,m)，b=(2m,6)，若a//b，则m=( )
A. −6B. 0C. 6D. ±6
2.已知复数z=1−ii，则|z|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 2
3.已知向量a=(2,m)，b=(m+1,−1)，若a⊥b，则m=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
4.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1,AB1= 2AB,M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为( )
A. 1
B. 104
C. 64
D. 510
5.已知一组数据为2，5，7，8，9，12，则这组数据的80%分位数为( )
A. 9B. 8.5C. 8D. 7
6.已知复数z满足z−(1−i)=3+5i，则复数z=( )
A. 4+4iB. 4−4iC. −1+4iD. −1−4i
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=4,b=5,C=π3，则c=( )
A. 61B. 21C. 2 6D. 19
8.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是( )
A. 83πB. 283πC. 3πD. 43π
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z= 3−i，则下列说法正确的是( )
A. z在复平面内对应的点在第四象限B. z的虚部为−i
C. z2=4−2 3iD. z的共轭复数z−= 3+i
10.在空间中，已知a，b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是
( )
A. 若a//b，且a⊥α，b⊥β，则α//β.
B. 若α⊥β，且a//α，b//β，则a⊥b.
C. 若a与b相交，且a⊥α，b⊥β，则α与β相交．
D. 若a⊥b，且a//α，b//β，则α⊥β．
11.已知圆锥的底面半径为1，其母线长是2，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的高是 3B. 圆锥侧面展开图的圆心角为2π3
C. 圆锥的表面积是3πD. 圆锥的体积是2 3π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a= 3，B=45°，C=75°，则b=______．
13.已知球的半径为3，则该球的表面积等于______，则该球的体积等于______．
14.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取______人.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a,b满足|a|= 2|b|=2，且(a+b)⋅(a−2b)=2．
(1)求向量a,b的夹角；
(2)求2a+b．
16.(本小题12分)
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB−sin C)2=sin2A−sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若b+c=4，△ABC的面积为 32，求a的值．
17.(本小题12分)
某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40,100]内，将所得数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)和中位数(精确到0.1)；
(2)现从[70,80)，[80,90)，[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70,80)这组中抽取的人数．
18.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中.
(1)求证：AB/​/平面A1B1CD;
(2)求证：AC1⊥B1C.
19.(本小题12分)
在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为棱BC的中点，如图所示．
(1)求证：A1B/​/平面AEC1；
(2)若二面角C−AE−C1的大小为60°，求直线AC和平面AEC1所成角的正弦值．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.A
6.D
7.B
8.B
9.AD
10.AC
11.AC
12. 2
13.36π 36π
14.40
15.解：(1)因为(a+b)⋅(a−2b)=2，
所以a2−a⋅b−2b2=2．
因为|a|= 2|b|=2，
所以22−a⋅b−2×( 2)2=2，即a⋅b=−2．
因为a⋅b=|a||b|cs ⟨a,b⟩，
所以cs ⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=−22× 2=− 22，
又因为0≤a,b≤π，
所以⟨a,b⟩=3π4．
(2)由(1)知，a⋅b=−2，且|a|=2,|b|= 2，
所以(2a+b)2=4a2+4a⋅b+b2=4×4+4×(−2)+2=10，
所以|2a+b|= 10．

16.解：(1)在ΔABC中，(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，
由正弦定理得到(b−c)2=a²−bc，化简可得b2+c2−a2=bc，
所以csA=c2+b2−a22bc=12，A∈(0,π)，故A=π3．
(2)∵S=12bcsin A= 34bc= 32，
∴bc=2，又b+c=4，
∴a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc=16−6=10，
∴a= 10．
17.解：(1)由题意知(0.005+0.010+0.025+0.035+a+0.010)×10=1，
解得a=0.015．
估计这200名员工所得分数的平均数x=45×0.05+55×0.1+65×0.25+75×0.35+85×0.15+95×0.1=72.5．
[40,70)的频率为(0.005+0.010+0.025)×10=0.4，
[40,80)的频率为(0.005+0.010+0.025+0.035)×10=0.75，
所以中位数落在区间[70,80)，设中位数为m，
所以(0.005+0.010+0.025)×10+(m−70)×0.035=0.5，
解得m≈72.9，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9．
(2)[70,80)的人数：0.035×10×200=70，
[80,90)的人数：0.015×10×200=30，
[90,100]的人数：0.010×10×200=20，
所以[70,80)这组中抽取的人数为：24×7070+30+20=14．

18.证明：(1)∵正方体ABCD−A1B1C1D1，
∴AB//CD，又CD⊂平面A1B1CD，且AB⊄平面A1B1CD，
∴AB//平面A1B1CD．
(2)【法一】连接AC1，AD1，BC1，
正方体ABCD−A1B1C1D1中AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥B1C，
在正方形BCC1B1中，BC1⊥B1C，又AB∩BC1=B，AB⊂平面ABC1D1，BC1⊂平面ABC1D1，
所以B1C⊥平面ABC1D1，
又AC1⊂平面ABC1D1，
所以AC1⊥B1C.
【法二】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，
则BC1为AC1在面BCC1B1内射影，
又B1C⊂平面BCC1B1，
在正方形BCC1B1中，BC1⊥B1C，
由三垂线定理得，AC1⊥B1C.

19.解：(1)证明：如图，连接A1C，设A1C∩AC1=O，连接OE，

在△A1BC中，A1O=OC，BE=EC，∴OE//A1B，
又A1B⊄平面AEC1，OE⊂平面AEC1，
∴A1B//平面AEC1．
(2)由正三棱柱ABC−A1B1C1，可得BB1⊥平面ABC，
∵AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
又BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AE⊥平面BCC1B1，又C1E，EC⊂平面BCC1B1，
∴AE⊥C1E，AE⊥EC，
∴二面角C−AE−C1的平面角是∠CEC1=60°，
在平面BCC1B1内作CH⊥C1E，连接AH，
∵AE⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面BCC1B1，
又平面AEC1∩平面BCC1B1=C1E，CH⊂平面BCC1B1，
故CH⊥平面AEC1，
∴直线AC和平面AEC1所成的角为∠CAH，
又AH⊂平面AEC1，∴CH⊥AH，
∴sin∠CAH=CHAC=CE⋅sin60°AC= 34，
∴直线AC和平面AEC1所成角的正弦值为 34．