黑龙江省绥化市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考数学试卷（原卷版+解析版）

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出题人：杨彦思
一､单选题
1. 设向量，，若，则（ ）
A. B. 0C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解值．
【详解】向量，，若，
则，解得．
故选：D．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可得，进而可得.
【详解】由，
所以，
故选：B.
3. 已知向量，，若，则m的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论.
【详解】根据题意知，，，
则，解之可得
故选：D
4. 如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）

A 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接、，易知，

所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角），
由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等，
可设三棱柱的棱长都为，则，，，
因为，所以为直角三角形，
所以
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：.
5. 已知一组数据为2，5，7，8，9，12，则这组数据的分位数为（ ）
A. 9B. C. 8D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．
【详解】因为，
所以这组数据的分位数是第5个数，即为9．
故选：A．
6. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数.
【详解】因为，
所以．
故选：D．
7. 在中，角的对边分别为.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理可得.
故选：B
8. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三棱柱侧面积公式求出，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理求出外接球半径的平方，再根据球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于的等边三角形，侧面积为，
∴，∴，
取三棱柱的两底面中心，连结，
取的中点，则为三棱柱外接球的球心，
连结，则为三棱柱外接球的半径．
∵是边长为的正三角形，是的中心，
∴．
又∵
∴．
∴三棱柱外接球的表面积.
故选：B.

二､多选题
9. 若复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在复平面内对应的点在第四象限B. 的虚部为
C. D. 的共轭复数
【答案】AD
【解析】
【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出共轭复数判断D作答.
【详解】对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A正确；
对于B，的虚部为，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，的共轭复数，D正确.
故选：AD
10. 在空间中，已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）
A. 若，且，，，则
B. 若，且，，则
C. 若a与b相交，且，，则与相交
D. 若，且，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可
【详解】若，且，，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；
若，且，，则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；
若a，b相交，且，，即两平面的法向量相交，则，相交成立，故C正确；
若，且，，则与平行或相交，故D错误；
故选：AC.
【点睛】此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题
11. 已知圆锥的底面半径为1，其母线长是2，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的高是B. 圆锥侧面展开图的圆心角为
C. 圆锥的表面积是D. 圆锥的体积是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式求解判断即可.
【详解】圆锥的底面半径为，其母线长是，
则圆锥的高，故A正确；
设圆锥侧面展开图圆心角为，则，解得，故B错误；
圆锥的表面积是，故C正确；
圆锥的体积是，故D错误.
故选：AC.
三､填空题
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理即可求的值．
【详解】在中，因为，，，则，
由正弦定理，可得：．
故答案为：．
13. 已知球的半径为3，则该球的表面积等于__________，则该球的体积等于__________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据球的表面积公式和体积公式直接求解即可.
【详解】因为球的半径为3，
所以球的表面积为，体积为.
故答案为：，
14. 某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取__________人
【答案】40
【解析】
【分析】高一年级人数乘以抽样比即可．
【详解】由题意，应从高一年级抽取的人数为：.
故答案为：40.
四､解答题
15. 已知向量，满足，且．
（1）求向量，夹角；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积运算律得出，再根据夹角公式得夹角的余弦值，即可求出结果；
（2）根据条件及（1）中结果，利用数量积的运算性质，即可求出结果.
【小问1详解】
由，得到，又，
所以，得到，
所以，又，所以
【小问2详解】
由（1）知，又，
所以，
所以.
16. 已知内角的对边分别为，设.
（1）求；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.
【小问1详解】
原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的内角；
【小问2详解】
，
，
，
.
17. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；
（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．
【答案】（1），
（2）72.9 （3）
【解析】
【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可；
（2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程，解出即可；
（3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案.
【小问1详解】
由题意知，
解得.
估计这200名员工所得分数的平均数
，
.
【小问2详解】
频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，
所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.
【小问3详解】
的人数：，
的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：.
18. 如图，在正方体中，
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证；
（2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证.
【小问1详解】
在正方体中，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
连接、，在正方体中为正方形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
19. 在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，设，连接，结合三角形中位线证得线线平行，利用线面平行判定定理得证；
（2）由正三棱柱，得平面，从而得到，，证得平面，二面角定义得到二面角的平面角是，作，连接，因为平面平面，得到平面，找到直线和平面所成的角为，计算得到结果；
【小问1详解】
证明：连接，设，连接，
在中，，，∴，
又平面，平面，
∴平面．
【小问2详解】
由正三棱柱，可得平面，
∵平面，∴，∵为的中点，∴，
又，，平面，
故平面，
而，平面，故，，
∴二面角的平面角是，
在平面内作，连接，
∵平面，∴平面平面，
又平面平面，平面，
故平面，
∴直线和平面所成的角为，
又平面，∴，
∴，
∴直线和平面所成角的正弦值为．